Minimisation des temps d'attente pour un tournoi sportif joué sur un ...

Nous cherchons à trouver un modèle dans G 2,3
n qui puisse se répéter
autant de fois que souhaité, afin d’obtenir un résultat valable quel que soit
le nombre d’équipes considérées. La figure 2.1 illustre que 21 périodes sont
nécessaires avant de parvenir à cette structure. A partir de là, nous voyons
qu’il est possible d’ajouter un multiple quelconque de six équipes.
Fig. 2.1: 2-facteur dans le graphe G 2,3
n .
Montrons que ce 2-facteur est celui qui minimise le total des attentes.
En considérant les 21 premières périodes uniquement, nous remarquons que
TW = 14 · 2 + 6 · 3 = 46. Nous avons donc six arêtes représentant des
attentes de trois périodes. Voyons s’il est possible de diminuer ce nombre.
Tout d’abord, remarquons que les arêtes (1,4), (1,5), (2,5), (2,6), (3,6),
(3,7), (9,12) et (9,13) sont obligatoires si l’on cherche un 2-facteur. Parmi
ces huit arêtes, quatre représentent des attentes de trois périodes. Le sommet
8 peut être relié aux sommets 4, 11 et 12. Parmi ces trois arêtes, deux
représentent des attentes de trois ; nous sommes donc obligés d’en prendre
une. Enfin, si on choisit l’arête (10,13), on doit utiliser une arête de 3 attentes
sur le sommet 16. Si on ne prend pas l’arête (10,13), on doit utiliser l’arête
(10,14), qui représente trois attentes. Nous voyons donc qu’il est impossible
d’utiliser moins de huit arêtes avec trois attentes. Ainsi, le modèle proposé
dans la figure 2.1 minimise le total des attentes.
Pour les structures de six périodes qui peuvent se répéter dans le graphe,
il est impossible d’obtenir moins d’attentes. En effet, un maximum d’arêtes
représentant deux attentes est utilisé.
Pour couvrir l’ensemble des possibilités, il est maintenant nécessaire de
considérer trois cas séparément :
1. n mod 6 = 1 ;
2. n mod 6 = 3 ;
3. n mod 6 = 5.
Dans le cas où n = 6p + 1 (premier cas), la figure 2.2 illustre le 2-facteur
dans G 2,3
n . Il est nécessaire d’avoir au moins 43 équipes pour réaliser un tel
modèle.
En considérant les 22 dernières périodes uniquement, ce modèle engendre
38 attentes. Il est possible de trouver un 2-facteur générant moins de temps
14