Equations différentielles. Méthodes numériques

5.2 Problèmes de Cauchy bien posés numériquement, probl‘emes mal conditionnés
Exemple 0.- On a déjà vu que le problème de Cauchy :
y ′ = 2|y|, y(0) = 0
est mal posé mathématiquement car la solution n’est pas unique.
Dans les deux exemples suivants on se place dans les conditions du théorème de Cauchy, mais
d’autres difficultés surgissent.
Exemple 1.-
y ′ = 3y − t
y0 = 1
3
à 10 −n près
calculer y(10).
Dans cet exemple 10 −n représente la pr ´ ”ecision de la machine traité comme un majorant de l’erreur
d’arrondi. On prendra donc les conditions initiales respectives :
y0 = 1
3 , et ˜y0 = 1
+ ɛ avec |ɛ| < 10−n
3
Les solutions exactes se calculent et valent : z(t) = Ce3t + t + 1
3
comparer les deux solutions
1
y(t) = t + 3
y(t) ˜ = t + 1
3 +ɛe3t
Donc |y(t) − ˜
y(t)| = |y(0) − ˜
y(0)|e 3t = ɛe 3t , ce qui donne la majoration :
|y(10) − ˜
y(10)| ≤ 10 −n e 30
1
, avec C = z(0) − 3 . On a donc à
Conclusion : Le problème du calcul de y(10) est mal posé numériquement si on travaille avec n = 12
chiffres significatifs, car le majorant 10 −12 e 30 ≈ 10, 7 est excessif d l’oredre de grandeur de y(10) ?
La notion d’être mal posé numériquement dépend bien sur de la longueur T de l’intervalle sur
lequel on travaille, et aussi de l’exposant (L=3 ici) de l’exponentielle qui n’est autre que la constante
de Lipschitz de f. Pout T = 1 (calcul de y(1) = 4/3 + e 1 ), le probolème serait bien posé avec une
amplification de l’erreur d’arrondi initiale e.10 −12 . De même le problème de y(10) reste bien posé si
on prend 16 chiffres significatifs et cesse de l’être à parti de T = 13 environ.
Toutes ces considération reflètent le fait que la constante de stabilité qu’on a trouvé dans le
théorème 5 est en fonction de la constante de Lipschitz e LT , donc la constante d’amplification trouvé
dans la section précédente est SCT = E LT .C.T
Exemple 2.-
y ′ = −150y + 30
y0 = 1
5
à 10 −n près
calculer y(10).
Cette fois le problème est bien posé numériquement car en conservant les notation analogues a celles
de l’exemple 1 :
˜y(t) = 1
+ ɛe−150t
5
et le problème est bien posé numériquement puisque |y(0) − ˜ y(0)|e−1500 est très petit même pour de
grandes valeurs de ɛ. Ceci montre qu’en un certain sens le problème est trop bien posé : a l’inversse si
on trouve : +
on cherche a retrouver ˜y0, a partir d’une perturbation majorée α de y(10) = 1
5
ce qui est numériquement impraticable.
tildey(10) − 1
| < α ⇒ | y(0) ˜ −
5 1
| < α.e+1500
5