Equations différentielles. Méthodes numériques

3 Quelques exemples de méthodes à un pas
3.1 Méthode d’Euler.
On a déjà décrit cette méthode appelée aussi méthode de la tangente qui correspond au cas de la
fonction :
φ(t, y, h) = f(t, y)
indépendante de t, définie sur U × R.
Calcul de l’erreur de consistance
en =z(tn + hn) − z(tn) − hn.f(tn, z(tn))
=z(tn + hn) − z(tn) − hn.z ′ (tn) par définition de z
Lorsque f est de classe C 1 , z est de classe C 2 et l’erreur de consistance prend la forme suivante grâce
à la formule de Taylor.
Ainsi la méthode d’Euler est d’ordre un.
3.2 Méthode de Taylor d’ordre p.
en = 1
2 h2 nz ′′ (tn) + o(h 2 n)
1
2 h2 nf [1] (tn, z(tn)) + o(h 2 n)
On suppose ici que f est de classe C p . On a vu alors que z est de classe C p+1 et on a défini des
fonction f [k] , construite par récurrence à partir de f et de ses dérivées partielles telles que z (k) (t) =
f [k−1] (t, z(t)), pour k = 1, . . . , p + 1. La formule de Taylor à l’ordre p + 1 s’écrit alors :
z(tn + hn) = z(tn) +
p
k=1
h k n
1
k! f [k−1] (tn, z(tn)) +
ou avec la formule de Taylor Lagrange :
p
z(tn + hn) = z(tn) + h k 1
n
k! f [k−1] (tn, z(tn)) +
k=1
1
(p + 1)! f [p] (tn, z(tn))h p+1
n + o(h p+1
n )
1
(p + 1)! f [p] (tn + θhn, z(tn + θhn))h p+1
n , θ ∈]0, 1[.
Ceci suggère le schéma numérique suivant obtenu en remplaçant les valeurs inconnues z(tk) par les yk.
⎧
p
⎪⎨ yn+1 = yn + h
(Tp)
⎪⎩
k=1
k 1
n
k! f [k−1] (tn, yn)
La fonction Φ associée à cette méthode est :
tn+1 = tn + hn
Φ(t, y, h) =
p
k=1
k−1 1
h
k! f [k−1] (t, y)
Le résultat suivant généralise celui qu’on a déjà trouvé pour la méthode d’Euler (T1).
Proposition 3 La méthode de Taylor (Tp) est du point de vue de l’erreur de consistance d’ordre p.
Plus précisément, si on considère un cylindre de sécurité C = [t0 − T, t0 + T ] × B(y0, r), on a une
majoration :
en ≤
1
(p + 1)!
sup f
(t,y)∈C
[p] (t, y)h p+1
n