Equations différentielles. Méthodes numériques

d’où les formules d’approximation :
i−1 z(tn,i) ∼ z(tn) + hn j=1 ai,jg(ci)
q z(tn+1) ∼ z(tn) + hn i=1 big(ci)
L’algorithme de Runge Kutta associé aux opérateurs d’intégration approché Σ et Σi s’obtient en
remplaçant chaque g(ci) par des valeurs approchées notées pn,j, puis z(tn,i) par des valeurs approchées
yn,i, où on utilise l’O.I.A. Σi avec les pn,j au lieu des g(cj). Il reste à poser au ième pas : yn,i =
f(tn,i, yn,i). Le passage de yn à yn+1 se fait alors en utilisant de la même façon l’O.I.A. Σ.
On parle d’algorithme de type RKq, pour indiquer le nombre des ci. La méthode étant explicite
ai,j = 0 pour j ≥ i et on est donc dontraint à prendre c1 = 0, et pn,1 = f(tn, yn).(NB : RK1 explicite
n’est donc rien d’autre que la méthode d’Euler). Le détail de l’algorithme RKq est donc le suivant :
– c1 = 0 , tn,1 = tn , yn,1 = yn , pn,1 = f(tn, yn)
–
⎡
Pour i = 2, · · · , q,
⎣
tn,i = tn + ci hn
i−1 yn,i = yn + hn j=1 ai,jpn,j
pn,i = f(tn,i , yn,i)
tn+1 = tn + hn
–
yn+1 = yn + hn
q
j=1 bjpn,j
Proposition 6 Tout schéma de type RKq définit une méthode à un pas explicite de la forme : yn+1 =
yn + hnΦ(tn, yn, hn).
Il suffit en effet de vérifier par récurrence sur i l’existence de formules :
yn,i = yn + hnΦi(tn, yn, hn),
pn,i = Qi(tn, yn, hn).
On part de Φ1 = 0 et Q1 = f(t, y), et la récurrence se fait selon les formules :
i−1
Φi =
ai,jQj(t, y, h)
Qi(t, y, h) = f(t + cih, y + hΦi(t, y, h)).
et se conclut par Φ(t, y, h) = q
j=1 bjQj(t, y, h).
6.2 Quelques exemples
j=1
On fait systématiquement l’hypothèse que les O.I.A utilisés sont d’ordre au moins zéro(=exacts
sur les fonctions constantes), ce qui setraduit par les égalités :
i−1
q
ci = ai,j 1 = bj.
On présent usuellement les données sous forme d’un tableau :
j=1
c1 = 0 | 0
c2 | a2,1 0
c3 | a3,1 a3,2 0
. |
. |
j=1
cq | aq,1 aq,2 · · · · · · aq,q−1 0
− − − | − − − − − − − − − − − − − − − − − −
1 | b1 b2 · · · · · · bq−1 bq
. ..
. ..