Equations différentielles. Méthodes numériques

DémonstrationL a reprise de l’algorithme de (RK4) lorsque f(t, y) = −y donne en effet ;
et enfin
yn,2 = yn − hn
2 yn = −pn,2
yn,3 = yn + hn
2 (hn
2 − 1)yn = yn(1 − hn
2 + h2n 4
yn,4 = yn − hn(1 − hn
2 + h2 n
4 )yn = yn(1 − hn + h2 n
yn+1 =yn − hn
6 yn(1 + 2(1 − hn
2
=yn − hn
6 yn(6 − 3hn + h 2 n − h3 n
4 )
=yn(1 − hn + h2 n
2 − h3 n
6 − h4 n
24 )
) = −pn,3
2 − h3n ) = −pn,4
4
) + 2(1 − hn
2 + h2 n
4 ) + 1 − hn + h2 n
2 − h3 n
4 )
Ainsi on trouve par récurrence yn = (1 − hn + h2n 2 − h3n 6 − h4n 24 )n , ce qui en reportant h = 0, 1, puis
n = 10, fournit les valeurs numériques approchées indiquées.
On remarque que sur cet exemple, le résultat est le même que celui que fournit la méthode de
Taylor d’ordre 4.
6.3.2 Ordre d’une méthode (RK)4.
La fonction Φ(t, y, h)), s’obtient de la façon suivante : on réécrit l’algorithme de Runge Kutta en
substituant au départ t et y et h à tn et yn et hn, le même calcul fournissant alors des fonctions
yi(t, y, h) et pi(t, y, h) au lieu des yn,i pn,i et la fonction cherchée provient de y + h.Φ(t, y, h)) a
la place de yn+1.
–
⎡
Pour i = 2, · · · , q,
ti = t + ci h
⎣ yi = y + h i−1 j=1 ai,jpj(t, y, h)
pi(t, y, h) = f(ti , yi(t, y, h))
– Φ(t, y, h) = q j=1 bjpj(t, y, h)
La méthode est consistante car on trouve aisément par récurrence sur i et pour tout i :
yi(t, y, 0) = y pi(t, y, 0) = f(t, y)
d’où Φ(t, y, 0) = ( q
j=1 bj)f(t, y) = f(t, y) ce qui est la condition suffisante trouvée dans le
théorème 4.
Lemme 2
∂Φ
(t, y, 0) = (
∂h
q
bjcj)f [1] (t, y)
DémonstrationO n a Φ = q
i=1 bif(t + cih, yi(t, y, h)) d’où :
∂Φ
(t, y, h) =
∂h
q
i=1
j=1
∂f
bici
∂t (t + cih, yi(t, y, h)) +
Par ailleurs yi(t, y, h) = y + q
j=1 ai,jf(t + cjh, yj(t, y, h)), donc :
∂yi
∂h =
q
ai,jf(t + cjh, yj(t, y, h)) + h
j=1
q
j=1
q
i=1
ai,j
∂yi ∂f
bi
∂h ∂y (t + cih, yi(t, y, h))
∂
∂h [f(t + cjh, yj(t, y, h))]