Fiabilité - Laboratoire de Mathématiques de Besançon

Fiabilité
Alexei LOZINSKI
Laboratoire de Mathématiques de Besançon

Quelques remarques introductives
Tout dispositif (système) est susceptible de subir une
défaillance ou une panne (failure ou breakdown en anglais).
La probabilité cumulée de défaillance entre les instants 0 et t
sera notée F(t). C’est une fonction croissante.
On introduit aussi la variable aléatoire (v.a.) T qui est la
durée de vie du système. C’est la date de la première
défaillance
F(t)=P(Tt)=1-F(t)

Fiabilité R(t) et la probabilité cumulée
de défaillance F(t)
R(t) représente la probabilité qu’un dispositif choisi au hasard
dans la population n’ait pas de défaillance avant l’instant t.

Durée de survie et taux de défaillance
instantanée
Il est même plus intéressant de considérer la durée de vie
résiduelle après un temps t. A savoir, si le système a bien
fonctionné jusqu'au temps t, quelle est la probabilité qu'il
fonctionne encore x temps ? C'est la durée du survie au temps t
On définit le taux de défaillance instantanée au temps t comme la
probabilité d'avoir une défaillance entre t et t+x rapportée à la
durée x dans la limite de x minuscules :

La loi exponentielle
La loi exponentielle est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le
taux de panne instantanée est constant
La fiabilité est donnée en tout temps t par
La probabilité de défaillance cumulée au temps t est
La densité de probabilité de la v.a. T est

Le comportement du taux de panne
instantanée plus réaliste
Le diagramme en baignoire :

Les composants en série

Exercices I
1. Déterminer la fiabilité d'un système constitué de n composants en série
indépendants, chacun de loi exponentielle avec le temps moyen de bon
fonctionnement. (MTBF – Mean Time Before Failure) m i.
2. Calcul de la fiabilité d’une installation d’épuration des eaux usagées
Sur le temps de référence de 15000 heures on a relevé les pannes
suivantes (durées en heures)
Calculer la fiabilité et le MTBF du système

Les composants en parallèle

Exercices II

Une généralisation de la loi
exponentielle
Loi de Weibull
(une loi de probabilité continue, nommée d'après Waloddi Weibull).
Sa fonction de répartition (la probabilité cumulé de défaillances)
est définie par :
pour tout temps t>0.
La fiabilité
Exercices III:
1) Calculer la densité de probabilité f(t) et le taux de défaillance.
2) Pour quelle valeur de k, le taux de défaillance est croissant,
décroissant, constant ?

La représentation graphique et
estimation des paramètres
On peut donc estimer les paramètres de Weibull soit graphiquement, soit en
utilisant la régression linéaire

La régression linéaire
On a les données x i et y i qui sont liées approximativement de
manière linéaire
L’approximation des moindres carrés pour les coefficients :

Exercices IV
On a mis en fonctionnement 9 roulements à billes pour
tester une nouvelle série. Les résultats des durées de vie en
heures sont les suivants :
801, 312, 402, 205, 671, 1150, 940, 495 et 570.
Est-ce en accord avec le modèle de Weibull ?
Dans ce cas quelles en sont les paramètres ?
Estimer la fiabilité au temps 600h, 1200h
Corrigé :