simulation de variables aleatoires application a la resolution d'un ...

SIMULATION
DE
VARIABLES ALEATOIRES
APPLICATION A LA RESOLUTION
D’UN PROBLEME D’ACTUARIAT
On se propose de résoudre un problème d’actuariat en simulant des réalisations de variables
aléatoires. Pour ce faire, on utilisera le logiciel MATLAB. La fonction rand() fournissant une
valeur tirée selon une loi uniforme sur [0 1] sera le point de départ de toute simulation (elle
existe dans la plupart des logiciels scientifiques). Dans tout ce qui suit, U désigne une variable
uniforme sur [0 1] et U
1, U
2
,... des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme
sur [0 1].
MODELE DE RISQUE EN ASSURANCES
On considère une compagnie d’assurances pour laquelle :
• Les instants d’arrivées des nouveaux assurés sont modélisés par un processus ponctuel
de Poisson de tauxν .
• Les instants d’apparition des sinistres concernant chaque assuré sont modélisés par un
processus ponctuel de Poisson de taux λ .
• Le temps pendant lequel chaque assuré reste dans la compagnie est modélisé par une
variable aléatoire exponentielle de paramètre µ .
Le montant de l’indemnité versée consécutive à un sinistre suit une loi uniforme sur = [ a b]
v .
Pour simplifier, on supposera que le paiement des primes versées par un assuré à la
compagnie s’effectue de façon continue avec le temps. C’est-à-dire que si t
0
et t 1
désignent
deux dates quelconques ( t
0
< t 1
) auxquelles un assuré est couvert par la compagnie, alors le
t est s× ( − ) avec s constante indépendante du
montant versé par cet individu entre t 0
et 1
temps et identique pour chaque assuré.
t 1
t 0
Les différentes variables aléatoires introduites précédemment sont supposées indépendantes.
On se propose d’effectuer une simulation de ce modèle afin d’estimer la probabilité pour que
le capital de la compagnie soit toujours positif de la date 0 à la date T.
Pour ce faire, on décrira le système à un instant donné > 0
n, c avec n le
nombre d’assurés et c le montant du capital de la compagnie. On notera n
0
le nombre
d’assurés à l’instant initial et c
0
le capital.
t par le couple ( )
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Afin de faciliter la construction de l’ algorithme, si t désigne une date quelconque à laquelle le
nombre d’ assurés est n , on notera :
- X
A
le laps de temps écoulé depuis t pour qu’ un nouvel assuré soit couvert par la
compagnie
- X
D
le laps de temps écoulé depuis t pour qu’ on enregistre le premier départ parmi les n
clients
- X
S
le laps de temps écoulé depuis t pour que le premier sinistre déclaré par l’ un des n
assurés survienne.
L’ évolution du système en fonction du temps sera décrite en considérant l’ occurrence des
événements :{un nouvel assuré est couvert},{un assuré quitte la compagnie} et {un sinistre
est déclaré}.
0. Quelles sont les lois suivies par X
A
,
X
D
et X
S
?
1. Quelle relation doivent satisfaireν , µ et n pour qu’ en moyenne le nombre de départs soit
compensé par le nombre d’ arrivées ?
2. Comment choisir s en fonction des autres paramètres pour qu’ en moyenne le capital initial
reste à peu près constant ?
3. Réaliser l’ algorithme décrivant le fonctionnement du système sur une durée T. Ecrire le
script traçant l’ évolution de n et de c au cours du temps en prenant c 100000 ,
n = 300 , µ = 1,
= 0. 001 v = 9001100 , T = 20
0
et s et ν de telle sorte que les
relations des questions 1 et 2 soient satisfaites. A partir de cette configuration, on pourra
faire varier un paramètre à la fois ( µ ,ν , λ ou s) en essayant de prévoir les effets.
λ , [ ]
0 =
4. On se propose maintenant de trouver la valeur minimum de s pour que la compagnie soit
assurée, à au moins 80%, d’ augmenter son capital initial de 25% au bout du temps T. Pour
ce faire, on simulera N fois la vie de la compagnie sur une durée T et on calculera, à
chaque fois, le rapport du nombre de fois où le capital a effectivement augmenté de 25%
au nombre de cycles simulés. Ensuite, on tracera les N points correspondant à ce rapport.
Cela revient à estimer la probabilité d’ un événement par sa fréquence relative
d’ apparition. Les valeurs des paramètres, excepté s, seront celles de la question
précédente. On pourra prendre N = 100 .
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