TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PARIS 6
Spécialité : MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
PRÉSENTÉE PAR
Marc OUDIN
EN VUE DE L’OBTENTION DU TITRE DE DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS 6
SUJET :
ETUDE D’ALGORITHMES DE TRAITEMENT D’ANTENNE SUR SIGNAUX LARGE BANDE
ET SIGNAUX RADAR BANDE ÉTROITE À ANTENNE TOURNANTE
soutenue le 1er février 2008
devant le jury composé de :
Rapporteurs Mme Sylvie MARCOS LSS
Mr Nikolaos LIMNIOS UTC
Directeurs de thèse Mr Paul DEHEUVELS Université Paris 6
Mr Jean Pierre DELMAS Telecom SudParis
Examinateurs Mr François LE CHEVALIER THALES Airborne Systems
Mr Eric CHAUMETTE ONERA
Invité, co-encadrant Mr Frédéric BARBARESCO THALES Air Systems

Avant-propos
Le présent rapport récapitule les travaux entrepris par l’auteur dans le cadre de sa préparation du Doctorat
de l’Université Pierre et Marie Curie, Paris VI, commencée en octobre 2004 au sein du Département
Communication, Image et Traitement de l’Information de l’Institut National des Télécommunications et
de Thales Air Systems/Surface Radar sous l’encadrement de Mrs Paul Deheuvels, Jean-Pierre Delmas et
Frédéric Barbaresco.
Marc OUDIN,
Evry, le 14 août 2007

Remerciements
Je souhaiterais tout d’abord remercier les personnes qui ont bien voulu prendre part au jury de cette
thèse, en commençant par Monsieur François Le Chevalier, Directeur Scientifique à Thales Airborne
Systems, pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury. Je suis également très reconnaissant envers
Madame Sylvie Marcos, Directeur de recherche au LSS, et Monsieur Nikolaos Limnios, Professeur à
l’UTC, qui ont accepté de donner de leur temps pour rapporter cette thèse. Enfin, je remercie Monsieur
Eric Chaumette de l’ONERA d’avoir accepté d’être membre du jury et pour l’intérêt qu’il a porté à ce
travail.
Je remercie vivement Monsieur Paul Deheuvels, Professeur et Directeur du LSTA à l’Université Paris
6, pour sa bienveillance et pour m’avoir fait l’honneur de diriger cette thèse.
J’exprime ma profonde reconnaissance à mon directeur de thèse, Monsieur Jean-Pierre Delmas, Professeur
et Directeur adjoint de l’UMR CNRS Samovar de Telecom SudParis pour la qualité de son encadrement
ainsi que pour sa disponibilité et sa gentillesse. Monsieur Delmas m’a fait profiter d’un suivi
enthousiaste et rigoureux qui m’a permis d’avancer sereinement dans les travaux de thèse.
Je tiens à remercier tout particulièrement Monsieur Frédéric Barbaresco de m’avoir accueilli dans les
équipes de Thales Air Systems. Je le remercie pour son soutien tout au long de mon travail de thèse. Je
remercie également Mademoiselle Cécile Germond pour sa sympathie et son encadrement précieux lors
des deux premières années de thèse ainsi que Monsieur Claude Adnet pour ses conseils avisés qui m’ont
permis d’enrichir mes travaux. Enfin, je remercie Madame Florence Dietzi-Neyme pour ses nombreux
encouragements au cours de cette thèse ainsi que tous mes collègues de Thales pour leur accueil et leur
bonne humeur.
Je remercie la DGA qui m’a financièrement permis de réaliser cette thèse et en particulier Messieurs
Sébastien Paillardon et Christian Delhote pour le regard critique porté sur le travail, qui m’a toujours
permis de progresser.
Je remercie également tous les enseignants chercheurs et le personnel du département CITI de Telecom
SudParis et en particulier Mademoiselle Julie Bonnet pour sa disponibilité et son aide dans les démarches
administratives. Mes pensées s’adressent aussi à tous mes amis doctorants de CITI, Boujemaa, Dalila,
Habti, Kader, Jérôme, Nicolas ... dont la compagnie a contribué à rendre ces années de thèse très agréables.
Enfin, je remercie mes amis et toute ma famille de m’avoir soutenu et accompagné pendant ces années
ainsi que Marjorie, pour tout ce qu’elle m’apporte et à qui je dédie ce travail.

Résumé
Cette thèse est consacrée à l’étude d’algorithmes de filtrage spatial ou spatio-temporel dans deux
contextes d’application différents. Dans une première partie de la thèse, nous nous intéressons à des algorithmes
de traitement d’antenne sur signaux large bande. Puis, dans une seconde partie, nous considérons
le problème du filtrage de signaux radar bande étroite en configuration radar terrestre à antenne tournante.
Dans la première partie de ce document, notre contribution a porté principalement sur les points suivants :
– dans le cadre de l’étude de robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la
largeur de bande, le calcul en statistiques exactes d’expressions explicites de la perte en performance
en termes de SINR en présence de signaux non strictement bande étroite et la relation entre cette
perte et le critère couramment utilisé dans la littérature pour définir un environnement bande étroite.
– la démonstration d’une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices
Hermitiennes bloc Toeplitz et multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz générées par des séquences
d’éléments absolument sommables et l’application des résultats à l’étude de performance asymptotique
au sens du nombre de retards, en statistiques exactes, du filtrage spatio-temporel large bande
maximisant le SINR.
Dans la deuxième partie de ce document, notre contribution a porté principalement sur les points suivants :
– la proposition d’algorithmes de filtrage spatial non stationnaire basés sur un calcul de filtres variant
dans le temps, pour l’antibrouillage en contexte radar à antenne tournante, et l’étude de performance
théorique et par simulations de ces algorithmes.
– la proposition d’algorithmes de filtrage spatio-temporel, pour la rejection conjointe des brouilleurs
et du fouillis en contexte radar à antenne tournante, et leur étude de performance théorique et/ou
par simulations.

Abstract
This thesis is devoted to the analysis of algorithms of spatial or space-time filtering in two different
application contexts. In a first part of the document, we consider array processing algorithms with wideband
signals. Then, in a second part of the document, we consider processing of narrowband signals in
the context of ground-based rotating radar system.
In the first part of the document, our study has dealt with the main following points :
– in the framework of robustness study of adaptive narrowband beamforming with respect to bandwidth,
the computation in exact statistics of explicit expressions of the loss of performance in terms
of SINR when filtering non strictly narrowband signals and the relation between this SINR loss and
the criterium, currently used in literature to characterize a narrowband environment.
– the proof of an extension of Szegö’s theorem to the generalized eigenvalues of Hermitian block Toeplitz
matrices and multilevel Toeplitz block Toeplitz matrices generated by sequences of absolutely
summable elements and its application to the performance analysis, asymptotic in the number of
taps, in exact statistics, of maximum SINR space-time beamforming.
In the second part of the document, our study has dealt with the main following points :
– the design of non stationary spatial filtering algorithms, based on the computation of time-varying
filters, for rejection of jamming signals, in the context of a ground-based rotating radar systems,
and their performance analysis theoretically and by simulations.
– the design of space-time filtering algorithms, for joint jamming and clutter rejection, in the context
of a ground-based rotating radar systems, and their performance analysis theoretically and/or by
simulations.

Table des matières
1 Notations et abréviations 21
2 Introduction 23
2.1 Généralités sur le traitement d’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Modélisation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Modèle de signaux bande étroite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Modèle de signaux large bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Formation de faisceaux optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Modèle général des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Critère Minimum Variance Distortionless Response (MVDR) . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 Critère Minimum Mean Square Error (MMSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4 Critère Maximum Signal to Interference plus Noise Ratio (MSINR) . . . . . . . . . 27
2.4 Algorithmes de formation de faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Algorithme de régularisation : surcharge diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Méthodes de réduction de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.3 Méthodes de contraintes sur le gabarit du filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Implémentation de la formation de faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 Implémentation directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Implémentation récursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.3 Implémentation par une méthode du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Cadre et objectif de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Publications de l’auteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I Etude d’algorithmes de traitement d’antenne sur signaux large bande 39
3 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de
bande 41
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Modèle des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Influence de la largeur de bande sur le filtrage spatial . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Expression du critère de robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Relation entre la perte en SINR et la définition de bande étroite de Zatman . . . . 45
3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Approximation du SINR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 Approximation des matrices de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Cas d’une source d’interférence vue dans les lobes secondaires . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4 Cas d’une source d’interférence vue dans le lobe principal . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.5 Définition d’un signal bande étroite au sens de la formation de faisceaux . . . . . . 54

12 TABLE DES MATIÈRES
3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes . . 55
3.5.1 Décomposition par TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 Décomposition par banc de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande
MSINR 65
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Problème des valeurs propres généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Points stationnaires d’un quotient de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Théorème d’entrelacement généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.3 Cas Toeplitz et bloc Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz . . . 68
4.3.1 Notations et résultats existants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz 70
4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1 Modélisation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.2 Expression des matrices de covariance spatio-temporelles . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.3 Etude de performance asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.4 Exemples illustratifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.5 Cas d’un signal d’interférence MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux
Toeplitz Bloc Toeplitz 83
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Notations et résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices MTBT . . . . . . 87
5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
II Etude d’algorithmes de traitement d’antenne sur radar en configuration antenne
tournante 91
6 Filtrage optimal sur radar à antenne tournante 93
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Généralités sur le traitement radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 Description de la chaîne radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.2 Description de l’environnement radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.3 Filtrage cohérent pour réhausser le rapport SINR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Modélisation physique des données radar en contexte antenne tournante . . . . . . . . . . 96
6.3.1 Modélisation de la rotation d’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.2 Expression du signal reçu au niveau de l’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3.3 Expression des vecteurs spatiaux et spatio-temporels du signal reçu . . . . . . . . . 97
6.4 Détection optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.1 Détection d’un signal déterministe de paramètres utiles connus en présence de paramètres
de nuisance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.2 Application au problème radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

TABLE DES MATIÈRES 13
7 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante 103
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Algorithme OLS à coefficients variables dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.2 Description de l’algorithme OLS à coefficients variables dans le temps . . . . . . . 104
7.2.3 Etude de performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.4 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Algorithme MVDR à coefficients variables dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3.2 Description des algorithmes ESMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3.3 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante 117
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2.1 Modélisation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2.2 Influence de la rotation d’antenne sur les traitements spatio-temporels . . . . . . . 120
8.3 Traitement proposé en présence de référence brouillage seul . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.3.1 Description du traitement proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4.1 Utilisation d’un préfiltrage ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4.2 Filtrage STAP après formation de faisceaux et filtrage Doppler . . . . . . . . . . . 131
8.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 Conclusions et perspectives 141
A Approximations du SINR 147
B Preuve de Théorème 1 151
C Preuve de Théorème 2 153
D Preuve de Résultat 7 157
E Expression du signal reçu au niveau de l’antenne 159
F Calcul du SINR normalisé après application de l’algorithme ESMI avec la contrainte
standard 161
G Calcul de la puissance résiduelle de fouillis après préfiltrage ACF 163

14 TABLE DES MATIÈRES

Table des figures
2.1 Equivalence entre les algorithmes DFP et GSC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Représentation d’un filtrage de Wiener multi-étages de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Fluctuation des diagrammes spatiaux pour 10 réalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Diagrammes spatiaux stabilisés par l’application d’une fonction de pénalisation . . . . . . 33
3.1 SINR (3.8) en fonction de la DOA de la source utile, pour différentes valeurs de bande
fractionnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 SINR exact (3.8) et approché (3.16) (3.17), en fonction de la DOA de la cible. . . . . . . 47
3.3 SINR approché (3.16)-(3.17) avant et après approximation de (3.16)-(3.17) par les matrices
de covariance données par (3.18), en fonction de la DOA de la source utile. . . . . . . . . 48
3.4 Rapports de SINR r exact (3.10)(—) et approché (3.21)(- -) pour différentes bandes fractionnées,
en fonction de la DOA de la source utile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Rapports de SINR r exact (3.10) et approché (3.25) en fonction de la DOA de la source
utile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Valeurs de r min exacte et approchée (3.27) en fonction de la bande fractionnée. . . . . . . 53
3.7 Valeurs de r min exacte et approchée (3.27) en fonction du nombre de capteurs. . . . . . . 53
3.8 Bande fractionnée admissible maximale selon (3.29) avec β = 0.69, pour différentes DOAs
de la source utile, en fonction du nombre de capteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.9 Bande fractionnée admissible maximale selon (3.30) avec β = 0.69, pour différentes DOAs
de la source utile, en fonction du nombre de capteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.10 a(f,m) pour m = 0..15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.11 Comparaison de a(f,0) et g(f,0) pour M = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.12 Comparaison entre le SINR approché (3.41) (- -) et le SINR exact (3.34) (—), en fonction
de M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.13 Comparaison des valeurs propres des différentes matrices S n (m) lorsque M = 16 . . . . . 61
3.14 Comparaison entre le SINR approché (3.41) (- -) et le SINR exact (3.34) (—), en fonction
de M, lorsque la fréquence d’échantillonnage est égale à B ech . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.15 Fonction de transfert des filtres du banc de filtres, avec M = 8 sous bandes . . . . . . . . 62
3.16 Comparaison entre le SINR approché (3.41) (- -) et le SINR exact (3.34) (—), en fonction
de M, avec décomposition par banc de filtres, lorsque la fréquence d’échantillonnage est
égale à B ech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 SINR spatio-temporel optimal avec T = 1 1
B
(- -) et T =
2B
(-+-) pour différentes valeurs
du nombre de retards, en fonction de la DOA de la source utile. . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2 Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal pour deux distances inter-capteurs, en fonction de la DOA de la source
utile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 SINR spatio-temporel optimal pour différentes valeurs du nombre de retards, en fonction
de la DOA du signal utile, avec b = 3B 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

16 TABLE DES FIGURES
4.4 SINR spatio-temporel optimal pour différentes valeurs du nombre de retards, en fonction
de la DOA du signal utile, avec b = B 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.5 Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal, pour différentes largeurs de bande du signal d’interférence, en fonction de la
DOA du signal utile, avec M = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 SINR spatio-temporel optimal pour différentes valeurs du nombre de retards, avec T = 1
2B ,
en fonction de la DOA du signal utile, pour b = B 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.7 Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal en présence d’un signal d’interférence coloré MA, pour différentes valeurs de
ρ (pointillés), et en présence d’un signal d’interférence blanc (trait plein), en fonction de la
DOA du signal utile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.8 Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal en présence d’un signal d’interférence coloré MA avec ρ = 0.99, pour
différentes valeurs du nombre de retards, en fonction de la DOA de la source utile. . . . . 81
6.1 Principe général d’un radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Illustration de la rotation d’antenne d’angle ωt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Signal reçu sur un capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Schéma de la chaîne de traitement du signal radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1 Diagrammes des voie principe et auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2 Variations de gain en fonction de θ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3 Puissance résultante de brouillage avec θ J = 10 deg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.4 Puissance résultante de brouillage avec θ J = 7 deg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5 Puissance résultante de brouillage avec θ J = 10 deg, σn 2 = −20dB, σ2 S
= −10dB . . . . . . 110
7.6 Formulation GSC de l’algorithme ESMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.7 Position de α dans la rafale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.8 SINR normalisé ρ en fonction de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.9 Comparaison des SINRs résultants des différents algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.1 Hypothèses sur les diagrammes d’émission et de réception . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.2 60 premières valeurs propres de la matrice de covariance spatio-temporelle totale de bruit 121
8.3 Fréquence Doppler normalisée en fonction de θ S et θ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4 Modification du diagramme spatial de l’antenne après rotation . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.5 Diagrammes spatiaux avant rotation de 10 deg. et après compensation de rotation . . . . 123
8.6 Diagramme du filtrage spatio-temporel SAPTAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.7 Comparaison des performances optimales, STAP (–), SAPTAP (- -) . . . . . . . . . . . . 125
8.8 Comparaison des performances adaptatives avec f S = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.9 Comparaison des performances adaptatives avec f S = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.10 Position du préfiltrage ACF dans la chaîne de traitement spatio-temporel . . . . . . . . . 128
8.11 Nombre de récurrences maximal au sens de (8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.12 Réduction de la puissance d’un réflecteur totalement corrélé après préfiltrage, (–) exact, (-
-) approximé par (8.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.13 Réduction de la puissance d’un réflecteur partiellement corrélé après préfiltrage, (–) exact,
(- -) approximé par (8.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.14 Principe du filtrage BDSTAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.15 Exemple de grappe de faisceaux formée pour le filtrage BDSTAP . . . . . . . . . . . . . . 132
8.16 Comparaison entre les valeurs exactes (–) et (- -) approchée (8.13) de SINR norm pour
différentes valeurs de θ j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.17 SINR normalisé exact pour différentes valeurs de θ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.18 SINR normalisé exact pour différentes valeurs de θ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

TABLE DES FIGURES 17
8.19 SINR normalisé des différents algorithmes de filtrage spatio-temporel, en fonction de ω . . 138
8.20 SINR normalisé des différents algorithmes de filtrage spatio-temporel, en fonction de K . 139

18 TABLE DES FIGURES

Liste des tableaux
7.1 Paramètres de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Comparaison des différentes implémentations de l’algorithme SMI . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 Influence des paramètres sur le rapport SINR normalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4 Paramètres de la simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

20 LISTE DES TABLEAUX

Chapitre 1
Notations et abréviations
Abréviations
Dans ce document, les abréviations suivantes seront utilisées :
ACF : Anti-Clutter Filter
AIC : Akaike Information Criterium
ALU : Antenne Linéaire Uniforme
BDSTAP : Beamspace post-Doppler Space-Time Adaptive Processing
CPI : Coherent Processing Interval
DFP : Direct Form Processor
DL : Diagonal Loading
DOA : Direction d’arrivée
DSP : Densité Spectrale de Puissance
ESMI : Extended Sample Matrix Inversion
EVP : Eigenvector Projection
GSC : Generalized Sidelobe Canceller
LCMV : Linear Constrained Minimum Variance
LMS : Leas Mean Square
LSMI : Loaded Sample Matrix Inversion
MDL : Minimum Description Length
MMSE : Minimum Mean Square Error
MSINR : Maximum Signal to Interference plus Noise Ratio
MTBT : Multilevel Toeplitz Block Toeplitz
MVDR : Minimum Variance Distortionless Response
MWF : Multistage Wiener Filter
OLS : Opposition dans les Lobes Secondaires
PRF : Pulse Repetition Frequency
PRI : Pulse Repetition Interval
QMF : Quadrature Mirror Filter
SAPTAP : Space Adaptive Processing Time Adaptive Processing
SAR : Synthetic Aperture Radar
SER : Surface Equivalente Radar
SINR : Signal to Interference plus Noise Ratio
SMI : Sample Matrix Inversion
SNR : Signal to Noise Ratio
STAP : Space-Time Adaptive Processing

22 Notations et abréviations
TFD : Transformée de Fourier Discrète
Notations
Dans tout le texte, les scalaires seront écrits avec le style d’écriture standard, les vecteurs en minuscule
gras et les matrices et vecteurs spatio-temporels en majuscule gras. Puis, nous utiliserons les notations
suivantes :
Symbole
N
M
L
K
T rec
T e
B
f 0
ω
θ
f
σS
2
σJ
2
σc
2
σn
2
Signification
Nombre de capteurs de l’antenne
Nombre de récurrences ou de retards
Nombre d’échantillons par récurrence
Nombre d’échantillons par récurrence pour l’estimation
Période de récurrence
Période d’échantillonnage dans la récurrence
Largeur de bande du signal émis
Fréquence porteuse du signal émis
Vitesse de rotation d’antenne
Direction d’arrivée
Fréquence Doppler
Puissance de signal utile
Puissance de brouillage
Puissance d’écho fixe
Puissance de bruit thermique
Puis, nous utiliserons les notations mathématiques suivantes :
Symbole
Signification
E(.) Espérance mathématique
(.) H Transposition conjuguaison
⊗ Produit de Kronecker :
◦ Produit de Hadamard :
( ) ( )
a1 b1
⊗ =
a 2 b 2
( ) ( )
a1 b1
◦ =
a 2 b 2
⎛
⎜
⎝
⎞
a 1 b 1
a 1 b 2
⎟
a 2 b 1
⎠
a 2 b 2
( )
a1 b 1
a 2 b 2
(.) ˆ Estimée
I Matrice identité
Tr(A) Trace de la matrice A
Vect(A) Espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice A
∝ Proportionnel à
o(x)
o(.) Négligeable devant (lim x→0 x = 0)
O(.) De l’ordre de (| O(x)
x
| < c au voisinage de x = 0)
[x] Partie entière de x

Chapitre 2
Introduction
Sommaire
2.1 Généralités sur le traitement d’antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Modélisation des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Formation de faisceaux optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Algorithmes de formation de faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Implémentation de la formation de faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Cadre et objectif de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Publications de l’auteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1 Généralités sur le traitement d’antenne
Le traitement d’antenne est la discipline qui utilise un réseau de capteurs répartis dans l’espace pour
recevoir des signaux provenant de différentes sources. Son principe est d’ exploiter les caractéristiques
spatiales des signaux reçus afin d’en extraire de l’information [1–6]. Ainsi, le réseau de capteurs effectue
un échantillonnage spatial d’un champ d’ondes (pouvant être de nature acoustique ou électromagnétique)
et un traitement est appliqué sur les échantillons formés. Généralement, des signaux perturbateurs (interférences)
viennent s’ajouter au signal d’intérêt. Comme leurs directions d’arrivée sont la plupart du
temps différentes, il est possible de les séparer par filtrage spatial.
Les principaux domaines d’utilisation sont les systèmes radar (cf. par exemple [7,8]), sonar (cf. par
exemple [9]), les télécommunications (cf. par exemple [10,11]), l’imagerie médicale (cf. par exemple [12])
et les explorations astrophysique (cf. par exemple [13,14]) ou géophysique (cf. par exemple [9,12]). Les
systèmes utilisés peuvent être actifs (comme par exemple dans le domaine radar) lorsque les signaux sont
émis puis récupérés par le système après avoir été réfléchis par des cibles, ou passifs lorsque l’antenne ne
fonctionne qu’en réception (par exemple dans le domaine sonar).
Parmi les principaux objectifs du traitement d’antenne, on peut citer :
– l’estimation des signaux provenant d’une direction donnée
– la détection d’un signal dans une direction donnée
– l’estimation de la direction d’arrivée d’un signal (Direction Of Arrival ou DOA)
Afin d’évaluer les performances des algorithmes utilisés lors du traitement des signaux, par rapport à
un objectif donné, différents critères sont utilisés. Lorsque l’optimal d’un critère peut être atteint par un
algorithme, ce dernier est qualifié d’optimal au sens du critère considéré.

24 Introduction
2.2 Modélisation des signaux
Nous supposons que le milieu de propagation des ondes est homogène, c’est à dire que la vitesse de
propagation est constante. Cette vitesse est notée c. De plus, on suppose que les sources sont très éloignées
de l’antenne, de sorte que l’on peut considérer un modèle d’onde plane. Les rayons reçus par les différents
capteurs peuvent ainsi être supposés parallèles.
On considère un modèle de signaux passe bande. La fréquence porteuse des signaux est notée f 0 et la
bande passante B. Puis, on note s(t) l’enveloppe complexe du signal de cible par rapport à f 0 à l’instant
t et τ n le retard de propagation en sortie du capteur n par rapport à un capteur de référence. En sortie
du réseau de N capteurs, le vecteur du signal de cible s’écrit donc :
⎛
s mod (t) = ⎜
⎝
Re(s(t − τ 1 )e jω 0(t−τ 1 ) )
Re(s(t − τ 2 )e jω 0(t−τ 2 ) )
.
Re(s(t − τ N )e jω 0(t−τ N ) )
avec ω 0 = 2πf 0 ou encore après démodulation, son enveloppe complexe est :
⎛
s(t) = ⎜
⎝
s(t − τ 1 )e −jω 0τ 1
s(t − τ 2 )e −jω 0τ 2
.
s(t − τ N )e −jω 0τ N
⎞
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ . (2.1)
Dans la suite, on distingue deux modèles de signaux et on précise l’écriture de (2.1) dans chacun des cas.
2.2.1 Modèle de signaux bande étroite
Lorsque l’un signal est à bande étroite, le temps de traversée du réseau de capteurs est négligeable
devant le temps de cohérence du signal (correspondant à l’inverse de sa bande passante). Par conséquent,
l’enveloppe complexe peut être supposée constante durant la traversée du réseau de sorte que (2.1) devient :
⎛
s(t) = s(t) ⎜
⎝
e −jω 0τ 1
e −jω 0τ 2
.
e −jω 0τ N
⎞
⎟
⎠ .
En notant
φ S
def
=
⎛
⎜
⎝
e −jω 0τ 1
e −jω 0τ 2
.
e −jω 0τ N
⎞
⎟
⎠ ,
le vecteur directionnel du signal utile on obtient finalement :
s(t) = s(t)φ S . (2.2)
2.2.2 Modèle de signaux large bande
Sous l’hypothèse d’un signal large bande, l’enveloppe complexe n’est plus invariante durant la traversée
du réseau de capteurs. Pour préciser l’écriture de (2.1), on utilise la représentation spectrale de l’enveloppe

2.3 Formation de faisceaux optimale 25
complexe de signaux à bande limitée, stationnaires au second ordre s(t) = ∫ B
2
− B 2
ce qui s’écrit encore sous la forme :
⎛
s(t) =
⎜
⎝
∫ B
2
− B 2
∫ B
2
− B 2
∫ B
2
− B 2
e j2πft e −j2π(f 0+f)τ 1
dµ(f)
e j2πft e −j2π(f 0+f)τ 2
dµ(f)
.
e j2πft e −j2π(f 0+f)τ N
dµ(f)
⎞
⎟
⎠
e j2πft dµ(f). On obtient :
s(t) =
∫ B
2
− B 2
e j2πft φ S (f 0 + f)dµ(f) (2.3)
avec
⎛
φ S (f 0 + f) = ⎜
⎝
e −j2π(f 0+f)τ 1
e −j2π(f 0+f)τ 2
.
e −j2π(f 0+f)τ N
⎞
⎟
⎠ .
2.3 Formation de faisceaux optimale
Après avoir explicité les modèles bande étroite et large bande des signaux, on s’intéresse maintenant
au problème du filtrage linéaire optimal. Pour cela, on introduit maintenant les trois principaux critères
d’optimisation des filtres spatiaux. Notons qu’un filtre peut être optimal au sens d’un certain critère mais
ne pas l’être au sens d’un autre.
2.3.1 Modèle général des données
Afin de simplifier la présentation des différents critères d’optimisation des filtres, on se limite au modèle
temporel bande étroite des données. Ainsi, on suppose que les données reçues s’écrivent sous la forme :
x(t) = s(t)φ S + b(t)
où s(t)φ S correspond à la partie signal utile et b(t) est le bruit total (qui se décomposera dans la suite
en un terme d’interférences et un terme de bruit thermique). On suppose que b(t) est modélisé par un
processus aléatoire complexe stationnaire au second ordre, centré et de matrice de covariance connue égale
à R. Le bruit est supposé décorrélé du signal utile. De plus, on suppose que la direction d’arrivée du signal
utile est connue (et donc également φ S ). Le signal de source s(t) peut être modélisé par un processus
aléatoire complexe stationnaire au second ordre ou être supposé déterministe mais inconnu. Finalement,
en notant σ 2 S = E{|s(t)|2 } la puissance du signal utile, la matrice de covariance des données est égale à :
E{x(t)x(t) H } = σ 2 Sφ S φ H S + R. (2.4)
Après filtrage par un filtre spatial noté w les données y(t) sont égales à :
y(t) = s(t)w H φ S + w H b(t).
On explicite maintenant les trois principaux critères d’optimisation du filtre spatial puis on détaille l’expression
du filtre optimal au sens des différents critères.

26 Introduction
2.3.2 Critère Minimum Variance Distortionless Response (MVDR)
Le critère MVDR consiste à vouloir minimiser la puissance résultante de bruit, tout en imposant une
contrainte de non distortion du signal utile 1 [15]. Plus précisément, il s’agit de minimiser la variance de
bruit :
sous la contrainte sur le filtrage de la partie utile :
E{(w H b(t)) ∗ (w H b(t))} = w H Rw
w H φ S = 1.
En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, on trouve alors l’expression du filtre optimal au
sens du critère MVDR :
w MVDR =
R−1 φ S
φ H S R−1 φ S
. (2.5)
2.3.3 Critère Minimum Mean Square Error (MMSE)
Le critère MMSE consiste à minimiser l’erreur quadratique moyenne d’estimation du signal utile s(t)
par les données filtrées y(t). L’erreur quadratique moyenne a pour expression :
E{|s(t) − y(t)| 2 } = E{|s(t) − w H x(t)| 2 }.
Le filtre optimal au sens de la MMSE est tel que l’erreur de projection du signal sur l’espace des données
doit être orthogonale aux vecteurs de ce dernier. On a donc :
E{(s(t) − w H x(t)) ∗ x(t)} = 0
d’où on déduit l’expression du filtre MMSE optimal :
Le signal utile et le bruit étant supposés décorrélés, on a :
w MMSE = E{x(t)x(t) H } −1 E{s(t) ∗ x(t)}. (2.6)
Puis, en utilisant le lemme d’inversion matricielle sur (2.4), on a :
E{s(t) ∗ x(t)} = σ 2 Sφ S . (2.7)
E{x(t)x(t) H } −1 = R −1 − σ2 S R−1 φ S φ H S R−1
1 + σ 2 S φH S R−1 φ S
. (2.8)
En insérant (2.7) et (2.8) dans (2.6), on obtient l’expression finale du filtre MMSE optimal :
w MMSE =
σ 2 S
1 + σ 2 S φH S R−1 φ S
R −1 φ S . (2.9)
1 Notons, comme dans [6, chap. 6.2] qu’avec le modèle de données considéré, ce critère est équivalent au critère de minimisation
de la variance d’un estimateur sans biais.

2.4 Algorithmes de formation de faisceaux 27
2.3.4 Critère Maximum Signal to Interference plus Noise Ratio (MSINR)
Le SINR a pour expression :
∣
SINR = σ2 ∣
S w H φ S 2
w H Rw .
En écrivant au numérateur le terme ∣ ∣ w H φ S
∣ ∣
2 sous la forme
∣ ∣w H R 1/2 R −1/2 φ S
∣ ∣
2
, et en considérant le
produit scalaire < a,b >= a H Rb, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Ainsi, on montre que le
SINR est majoré par σ 2 S φH S R−1 φ S et que cette borne est atteinte lorsque le filtre spatial a pour expression :
w MSINR ∝ R −1 φ S . (2.10)
Finalement, on remarque qu’avec le modèle considéré dans ce chapitre, les filtres MVDR (2.5), MMSE
(2.9) et MSINR (2.10) sont égaux à une constante multiplicative près. De plus, les filtres MVDR et MMSE
sont optimaux au sens du critère MSINR. Notons enfin que toutes ces propriétés ne sont plus vraies avec
un modèle de signal utile aléatoire stationnaire au second ordre large bande.
Dans la suite, on se limite à l’expression MVDR (sauf mention contraire) du filtre optimal, les différents
filtres optimaux étant proportionnels.
2.4 Algorithmes de formation de faisceaux
Dans la section précédente, nous avons supposé connues les statistiques de second ordre du bruit. Cependant,
dans la pratique, la matrice de covariance de bruit doit être estimée à partir des données. En fonction
de la durée de stationnarité de l’environnement, un nombre plus ou moins important d’échantillons
peut être utilisé, conduisant à des estimées plus ou moins précises de la matrice de covariance de bruit. Par
conséquent, bien qu’ optimaux sous l’hypothèse de matrices de covariance connues, les filtres présentés
précédemment peuvent conduire à de mauvaises performances dans des applications pratiques. Pour y
remédier, différentes méthodes ont été développées et présentées dans la littérature. Nous présentons deux
grandes catégories de ces méthodes, à savoir la régularisation par surcharge diagonale 2 et les méthodes
de réduction de rang dans les deux premiers paragraphes de cette section.
D’autre part, nous ne nous sommes pas intéressés à la forme des diagrammes d’antenne. Or, il est
dans la pratique important de maîtriser ces derniers. Dans le troisième paragraphe, nous présentons les
principales méthodes de contrainte sur le gabarit du filtre spatial.
2.4.1 Algorithme de régularisation : surcharge diagonale
Cet algorithme consiste à ajouter un terme diagonal à la matrice de covariance du bruit. Ainsi, cette
dernière est remplacée par (R + δI) où δ est le facteur de surcharge (Diagonal Loading). Cette méthode
possède deux avantages principaux. Tout d’abord, elle peut être utilisée lorsque le nombre d’échantillons
pour estimer la matrice de covariance de bruit est inférieur à sa dimension. Puis, Carlson a montré
dans [17] que le rajout d’un terme diagonal permettait de compenser en partie les erreurs d’estimation
sur la matrice de covariance. En effet, le filtre optimal est égal au vecteur directionnel auquel on retire une
pondération de sa projection dans le sous-espace des interférences (i.e. le bruit total sans la partie bruit
thermique). Lorsque la matrice est mal estimée, les coefficients de la projection du vecteur directionnel
dans le sous-espace de bruit thermique deviennent non nuls. On a en effet comme expression du filtre
optimal (ici au sens MSINR) :
ŵ MSINR ∝ ˆR −1 φ S = 1
ˆλ min
(
φ S −
N∑
n=1
(ˆλn − ˆλ
) )
min
(û H n
ˆλ φ S)û n
n
2 Notons qu’il existe d’autres méthodes de régularisation basées sur des approches bayésiennes [16, chap. 2].

28 Introduction
Fig. 2.1: Equivalence entre les algorithmes DFP et GSC
où (ˆ.) représente une quantité estimée et où ˆλ n,n=1..N et û n,n=1..N représentent respectivement les valeurs
et vecteurs propres de la matrice de covariance de bruit estimée. Lorsque la matrice de covariance est idéale,
on a l’égalité λ n = λ min pour n supérieur à la dimension du sous-espace des interférences et donc le terme
soustrait au vecteur directionnel appartient à ce sous-espace. Par contre, lorsque des erreurs d’estimation
apparaissent, on a ˆλ n ≠ ˆλ min . Par conséquent, un vecteur appartenant au sous-espace de bruit thermique
est soustrait au vecteur de focalisation. Cela a pour conséquence de déformer le diagramme antibrouillé
[17]. Ajouter une surcharge diagonale permet alors de diminuer l’importance de ce phénomène. En effet,
les coefficients des vecteurs de bruit thermique deviennent proportionnels à :
( ˆλn−ˆλ min
ˆλ n+δ
)
≪
( ) ˆλn−ˆλ min
ˆλ n
lorsque δ ≫ ˆλ n . En pratique, on choisit une valeur de surcharge diagonale très supérieure au niveau de
bruit thermique mais si possible très inférieure aux valeurs propres associées aux interférences. Ainsi, on
se place dans le cas précédent, sans dégrader la rejection des interférences.
2.4.2 Méthodes de réduction de rang
L’algorithme MVDR consiste à rechercher un vecteur dans un espace de dimension N pour l’approche
directe ou N − 1 pour l’approche indirecte. Les méthodes de réduction de rang ont pour objectif de
réduire la dimension de l’espace dans laquelle s’effectue l’optimisation. Les vecteurs de base du nouvel
espace peuvent être prédéfinis (non adaptatifs), fonctions des données (adaptatifs) et fonctions de la
direction de focalisation (dépendants du signal utile).
Avant de nous intéresser aux méthodes de réduction de rang, nous rappelons l’équivalence entre la
formulation directe et la formulation indirecte du filtrage MVDR, utile pour la compréhension de la suite.
Filtrage MVDR : approche directe ou approche indirecte
Le problème du minimum de variance sous contrainte directionnelle est un problème d’optimisation
sous contrainte. Il est cependant équivalent à un problème d’optimisation sans contrainte lorsqu’une
transformation sur les données est appliquée afin de se ramener à un problème d’annulation de bruit par
filtrage de Wiener. Les deux schémas de Fig.2.1 sont ainsi équivalents. Dans la littérature, la forme directe
est nommée DFP (Direct Form Processor) et la forme indirecte GSC (Generalized Sidelobe Canceller).
Etudions maintenant l’équivalence entre les deux approches en montrant que les solutions aux deux
problèmes sont identiques. Tout d’abord, rappelons que l’application d’une transformation inversible à
des données ne change pas la solution d’un problème MVDR. Par conséquent cette dernière peut s’écrire
sous la forme :
w MVDR =
T(TH RT) −1 T H φ S
φ H S T(TH RT) −1 T H φ S
(2.11)

2.4 Algorithmes de formation de faisceaux 29
[
N
avec T une matrice inversible quelconque. Ensuite, choisissons 3 T H =
−1 φ H ]
S
en prenant B une
B
matrice de dimension (N −1)×N telle que Bφ S = 0 (une telle matrice est surnommée matrice ’bloquante’
parce qu’elle bloque le signal utile). Introduisons ensuite x 0 = Bx et d 0 = N −1 φ H S x. Avec ces notations,
le filtre de Wiener est égal à : w 0 = E{x 0 x H 0 }−1 E{x 0 d ∗ 0 }. On peut alors montrer (cf. par exemple [18])
que le calcul de (2.11) conduit à la solution wMVDR H = N −1 φ H S − wH 0 B. Par conséquent, il est équivalent
d’effectuer un filtrage de Wiener sur des données transformées par T ou d’effectuer un filtrage MVDR.
Réduction de rang non adaptative (ou réduction de dimension)
Cette méthode de réduction de rang est la plus simple à implémenter car elle ne nécessite pas un calcul
adaptatif de la base de l’espace réduit. Nous présentons ici la méthode dans l’approche directe. Celle-ci
consiste à résoudre le problème d’optimisation suivant :
w = argmin Vect(T0 )
{
w H Rw } s.c. w H φ S = 1
où Vect(T 0 ) est le sous-espace réduit (de dimension inférieure à N). Notons que ce problème a une solution
lorsque φ S n’appartient pas au sous-espace orthogonal à Vect(T 0 ). La solution est alors donnée par la
relation :
w =
T 0(T H 0 RT 0) −1 T H 0 φ S
φ H S T 0(T H 0 RT 0) −1 T H 0 φ .
S
En pratique, cette méthode consiste à former des sous-réseaux avec une matrice de fusion égale à T 0 et
à résoudre le problème MVDR en sortie des sous-réseaux.
Réduction de rang adaptative, indépendante du signal utile
On présente maintenant une méthode de réduction de rang dans laquelle le sous-espace réduit est
formé à partir des données. Cette méthode est dénommée EVP pour EigenVector Projection [19] et
est basée sur la décomposition de l’espace des vecteurs complexes de dimension N en sous-espace des
interférences et sous-espace de bruit thermique (par définition le sous-espace supplémentaire du sousespace
des interférences). La méthode repose sur la décomposition en éléments propres de la matrice
R :
R = U I Λ I U H I + U NΛ N U H N
où U I est la matrice des vecteurs propres du sous-espace des interférences, Λ I la matrice diagonale des
valeurs propres associées, U N la matrice des vecteurs propres du sous-espace de bruit et Λ N = σ 2 N I.
Le problème d’optimisation s’écrit alors sous une forme identique à celle du paragraphe précédent en
remplaçant la matrice T 0 par la matrice U N :
w = argmin Vect(UN )
{
w H Rw } s.c. w H φ S = 1.
Comme pour le paragraphe précédent, la solution est donnée par la relation suivante :
w =
U N(U H N RU N) −1 U H N φ S
φ H S U N(U H N RU N) −1 U H N φ .
S
Cependant, en raison de la définition de U N cette expression se simplifie pour donner :
w =
U NU H N φ S
φ H S U NU H N φ .
S
En pratique, cette méthode sera implémentée en utilisant le fait que U N U H N = I − U IU H I . L’algorithme
EVP nécessite donc d’estimer les vecteurs propres des interférences, par exemple par une décomposition
en éléments propres après avoir estimé la dimension du sous-espace des interférences. Ce dernier point est
abordé dans la suite.
3 Pour être cohérent avec les notations de φ S définies en 2.2.

30 Introduction
Fig. 2.2: Représentation d’un filtrage de Wiener multi-étages de dimension 3
Réduction de rang adaptative, dépendante du signal utile
Nous présentons enfin une méthode dans laquelle le sous-espace réduit est engendré à partir des
données et de la focalisation. La méthode présentée correspond à l’algorithme du filtrage de Wiener
multi-étages [18]. Contrairement aux algorithmes de réduction de rang indépendante du signal utile, cette
méthode présente l’avantage d’être robuste par rapport à la dimension du sous-espace des interférences (cf.
par exemple [20, chap. 5]), ce qui est très important dans les applications pratiques. De plus, contrairement
aux deux méthodes précédentes, la réduction de rang se fait ici sur le sous-espace engendré par la matrice
bloquante B dans l’approche annulation de bruit. Le critère d’optimisation est le suivant :
{ ∣∣w
w i = argmin Vect(Li )E
H Bx − φ H S x∣ ∣ 2}
où i représente la dimension du sous-espace réduit. Les matrices L i sont formées de la façon suivante :
⎛
h H ⎞
1
h H 2
L i = ⎜
B 1
⎟
⎝ . ⎠
B i−1 ...B 2 B 1
Cette méthode correspond à la troncature de la matrice permettant de transformer un problème de filtrage
de Wiener vectoriel [ ] en une succession de filtrages de Wiener scalaires. Les vecteurs h i et les matrices B i
h
H
sont tels que i
est inversible et B
B i h i = 0. A chaque étage, les données x i−1 sont transformées en
[ ] i
[ ]
di h
H
données = i
x
x i B i−1 . Enfin, les vecteurs h i sont choisis de façon proportionnels à la corrélation
i
croisée r xi−1 d i
et de norme unité. Ce choix qui paraît intuitif si l’on suppose que l’on souhaite s’approcher
du filtre optimal de Wiener à l’étage i, à savoir R −1
x i
r xi d i
, sans connaissance de la matrice de covariance
R xi . De plus, ce choix permet de justifier l’équivalence entre le filtrage de Wiener vectoriel et le filtrage
de Wiener multi-étages [18]. A titre d’illustration, Fig.2.2 représente un filtrage de Wiener multi-étages
de dimension 3.
Estimation de la dimension du sous-espace des interférences
Jusqu’à présent, nous avons supposé connue la dimension du sous-espace des interférences. Cependant,
dans la pratique cette dernière est inconnue et doit être estimée à partir des données. Des algorithmes
d’estimation sont alors souvent utilisés dont les plus courants utilisent les critères AIC (Akaike
Information Criterium) et MDL (Minimum Description Length). Ces derniers ont été introduits par
Akaike [21] et Rissanen et Schwartz [22], [23]. Ensuite, ils ont été utilisés en traitement d’antenne en
1985 par Wax et Kailath [24]. Les deux critères sont construits de la même manière, en introduisant la

2.4 Algorithmes de formation de faisceaux 31
log-vraisemblance minimale des paramètres du modèle pour une dimension de sous-espace donnée et une
fonction de pénalisation croissante par rapport à la dimension. Les paramètres du modèle de dimension
d sont donnés par le vecteur [6, chap. 7.8] :
θ (d) = [ λ 1 , ... ,λ d , σ 2 n, φ 1 , ... ,φ d
]
où σn 2 est la puissance du bruit thermique, et la log-vraisemblance minimale dans le cas d’interférences
gaussiennes est égale à :
⎡
⎤
⎢
L d (d) = K(N − d)ln ⎣
1
N−d
∑ N
i=d+1 ˆλ i
( ∏N
i=d+1 ˆλ i
) 1
N−d
où K est le nombre d’échantillons de données. Pour le critère AIC, la fonction de pénalisation correspond
au nombre de paramètres du modèle, à savoir d(2N −d) [6, chap. 7.8], alors que pour MDL, elle est justifiée
d’un point de vue de la théorie de l’information et vaut 1 2
[d(2N − d) + 1] ln(K). Puis, d est estimée par
minimisation de AIC(d) et MDL(d) avec :
⎥
⎦
AIC(d) = L d (d) + d(2N − d)
MDL(d) = L d (d) + 1 2
[d(2N − d) + 1] ln(K)
2.4.3 Méthodes de contraintes sur le gabarit du filtre
Les algorithmes étudiés jusqu’à présent permettent d’accélérer la vitesse de convergence de la solution
vers l’optimal. Cependant, ils ne s’intéressent pas à la forme du diagramme obtenu sauf dans la direction
supposée du signal utile et des interférences. Or, il est dans la pratique important de contrôler le diagramme
d’antenne 4 . Cela peut par exemple se faire en abaissant le niveau des lobes secondaires et en limitant leur
fluctuation. Dans cette section, nous nous intéressons à deux types de méthodes permettant de contrôler le
diagramme. Tout d’abord, nous considérons un filtrage permettant d’imposer des contraintes ponctuelles
au gabarit du filtre spatial. Puis, nous présentons deux types de méthodes servant à imposer des contraintes
sur la forme du gabarit du filtre dans une certaine région de l’espace angulaire.
Formation de faisceaux Linear Constrained Minimum Variance (LCMV)
L’algorithme LCMV généralise l’algorithme MVDR en imposant une contrainte plus générale qu’une
contrainte de non distortion sur le filtre spatial. Différents types de contraintes existent, dont les plus
connues sont les contraintes directionnelles (la contrainte de non-distortion en étant un cas particulier), les
contraintes d’annulation du diagramme en différents points ou les contraintes sur la dérivée du diagramme
afin, par exemple, d’aplatir le lobe principal d’antenne. De façon générale, le critère d’optimisation LCMV
s’écrit :
min
w wH Rw sous contrainte C H w = f
où C est la matrice de l’ensemble des contraintes linéaires et f est un vecteur de dimension égale au
nombre de contraintes. La solution à ce problème est donnée par le filtre LCMV :
w LCMV = R −1 C(C H R −1 C) −1 f.
4 Récemment, de nombreux algorithmes de formation de faisceaux robuste ont été présentés dans la littérature (cf. par
exemple [25–27]). Ces algorithmes sont pour la plupart basés sur le critère MVDR où la contrainte directionnelle ponctuelle
est remplacée par une contrainte plus souple de type sphérique ou elliptique (cf. [28] pour une revue des principales méthodes
de formation de faisceaux robustes). Cela permet de tenir compte d’éventuelles erreurs sur la DOA de la cible (résultant
par exemple d’erreurs de calibration d’antenne ...) et ainsi d’éviter le phénomène d’annulation de la cible. Ce phénomène
peut en effet se produire lorsque le signal utile est présent dans la matrice de covariance et que la focalisation n’est pas
faite exactement dans la direction d’arrivée de la cible [6, chap.6.6]. Cependant, en contexte radar, ce phénomène est peu
important, la formation de faisceaux se faisant souvent avant compression d’impulsion (cf. chapitre 6). Par conséquent, la
puissance du signal utile dans les données d’estimation est négligeable et la perte résultante en termes de SINR est donc
limitée.

32 Introduction
0
Diagramme de reception, focalisation = 0 0 0
−5
−10
−15
−20
dB
−25
−30
−35
−40
−45
−50
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
azimut en degres
Fig. 2.3: Fluctuation des diagrammes spatiaux pour 10 réalisations
Contraintes de gabarit au repos
La première méthode de contrainte du gabarit dans une certaine zone angulaire consiste à imposer un
diagramme au repos. Le filtre associé à ce dernier est noté w q . Pour imposer un diagramme au repos, on
forme ¯w q = wq
‖w q‖ 2 et on réalise un filtrage MVDR avec la nouvelle contrainte : w H ¯w q = 1.
Contrainte ‘douce’
La seconde méthode de contrainte du gabarit dans une certaine zone angulaire consiste à introduire
dans la fonction à minimiser, une distance entre le diagramme formé et un diagramme de référence. Ainsi,
au lieu de minimiser w H R −1 w comme dans l’algorithme MVDR traditionnel, on cherche à minimiser
une expression de la forme w H Rw + k 2 E sous contrainte directionnelle. On a introduit un scalaire E qui
peut être interprété comme une distance entre le diagramme souhaité et un diagramme de référence et
que l’on pondère par k. Dans [29], les auteurs choisissent comme distance l’expression : E = d(w,w q ) =
(w−w q ) H Z(w−w q ) où w q représente le filtre de référence et Z = ∫ θ h(θ)φ(θ)φ(θ)H dθ. Dans cette dernière
expression, h(θ) est une fonction de pondération continue et positive à définir et φ(θ) est le vecteur
directionnel associé à l’angle θ. Cet algorithme nécessite donc de choisir 5 la constante de pondération
k, le filtre de référence et la fonction de pondération h(θ). L’objectif de l’algorithme est d’atténuer les
fluctuations du filtre spatial d’une réalisation à une autre.
Fig.2.3 illustre la fluctuation des diagrammes associés à différents filtres spatiaux, avec une focalisation
à 0 deg. et une source d’interférence de DOA 35 deg. On observe que la fluctuation est importante en dehors
des zones de focalisation et d’antibrouillage (35 deg.). On visualise ensuite en Fig.2.4 les diagrammes
obtenus lorsque l’on calcule les filtres spatiaux par la méthode décrite précédemment. On vérifie que les
diagrammes sont stabilisés et presque identiques de réalisation à réalisation.
5 L’inconvénient majeur de cette méthode est que le respect de la contrainte de gabarit peut se faire au détriment de
l’antibrouillage. La gestion du compromis entre contrainte de gabarit et antibrouillage s’effectue au travers du paramétrage
et en particulier du choix de k. Dans [30], il a été proposé un algorithme dans lequel l’optimisation sur la forme du diagramme
s’effectue au travers des vecteurs du sous-espace orthogonal au sous-espace des interférences et à la contrainte de focalisation.
De cette manière, la rejection des interférences n’est pas altérée bien que la forme du diagramme soit contrôlée.

2.5 Implémentation de la formation de faisceaux 33
0
Diagramme de reception, focalisation = 0 0 0
−5
−10
−15
−20
dB
−25
−30
−35
−40
−45
−50
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
azimut en degres
Fig. 2.4: Diagrammes spatiaux stabilisés par l’application d’une fonction de pénalisation
2.5 Implémentation de la formation de faisceaux
Après avoir explicité les différents critères d’optimisation des filtres spatiaux et présenté les principaux
algorithmes de formation de faisceaux, on s’intéresse maintenant à l’implémentation de ces derniers.
Trois approches sont distinguées. La première consiste à implémenter directement les filtres spatiaux, en
remplaçant les matrices de covariance exactes par leurs estimées. Il s’agit d’un traitement par blocs de
données. La seconde approche correspond à une implémentation récursive des filtres. Enfin, la troisième
approche correspond à la mise en oeuvre de la résolution d’un problème d’optimisation par un algorithme
du gradient.
2.5.1 Implémentation directe
Cette implémentation est connue sous le nom SMI (Sample Matrix Inversion) 6 et a pour la première
fois été étudiée dans [31].
Elle consiste à remplacer la matrice de covariance de bruit par son estimée obtenue par moyenne
empirique à partir des données 7 :
ˆR(K) = 1 K∑
x k x H k
K
où K représente le nombre d’échantillons disponible pour l’estimation. Ensuite, cette matrice est directement
inversée pour calculer le filtre spatial correspondant.
Dans l’article historique [31], les auteurs étudient l’implémentation SMI de la solution MSINR (2.10)
et donnent l’expression du SINR normalisé lorsque les échantillons utilisés dans la matrice ne contiennent
pas de signal utile et sont gaussiens, indépendants et identiquement distribués. Dans ce cas, ils montrent
6 elle est également parfois dénommée DMI [1].
7 sous l’hypothèse où les données spatiales sont modélisées par des échantillons de vecteurs aléatoires gaussiens complexes,
i.i.d. (indépendants et identiquement distribués), cette matrice est l’estimée de la matrice de covariance des données au sens
du maximum de vraisemblance [6, chap. 7.2].
k=1

34 Introduction
que le SINR normalisé ρ = SINR
SINR opt
suit une loi bêta de densité de probabilité :
P(ρ) =
K!
(N − 2)!(K + 1 − N)! (1 − ρ)N−2 ρ K+1−N .
En considérant ensuite l’espérance du SINR normalisé, (E(ρ) = K+2−N
K+1
), ils ont déduit une règle pour le
choix du nombre d’échantillons à utiliser dans l’estimation de la matrice de covariance. Cette règle stipule
que le nombre d’échantillons nécessaires pour être à 3 dB de l’optimum est égal à 2N.
2.5.2 Implémentation récursive
Cette implémentation consiste à calculer le filtre spatial estimé avec K échantillons à partir du filtre
estimé avec K −1. Contrairement à la méthode SMI du paragraphe précédent, cette implémentation peut
s’effectuer ’en ligne’. Son intérêt est de réduire la complexité de calcul par rapport à une approche directe,
tout en conservant des performances proches. Elle est basée sur l’écriture de la matrice de covariance
estimée sous la forme
ˆR(K) = ˆR(K − 1) + x k x H k
de façon à en déduire une expression de l’inverse par l’utilisation du lemme d’inversion matricielle, faisant
intervenir l’inverse de ˆR(K − 1). Cela permet d’obtenir une relation entre le filtre estimé avec K
échantillons et celui estimé avec K − 1 échantillons. Par exemple, si on implémente l’algorithme MSINR,
on obtient la relation de récurrence suivante pour le calcul du filtre :
avec
ŵ MSINR (K) = (I − v(K)x H K )ŵ MSINR(K − 1)
ˆR −1 (K − 1)x K
v(K) =
1 + x H ˆR K −1 (K − 1)x K
représentant le gain de Kalman, dans lequel l’inverse de la matrice de covariance est calculée récursivement
par l’expression ˆR −1 (K) = (I − v(K)x H K ) ˆR −1 (K − 1).
2.5.3 Implémentation par une méthode du gradient
Plutôt que d’implémenter directement ou récursivement les filtres spatiaux présentés dans les sections
2.3 et 2.4, les algorithmes du gradient ont pour objectif de rechercher l’optimum d’un critère de manière
récursive en effectuant une mise à jour des filtres dans la direction du gradient du critère à optimiser.
En pratique, les algorithmes du gradient les plus fréquemment utilisés sont stochastiques (Least Mean
Square ou LMS), dans lesquels les moments (matrices de covariance ou intercorrélation) intervenant
dans l’expression du gradient sont estimés par des valeurs instantanées. Différents algorithmes LMS ont
été proposés, dont l’avantage principal est une complexité faible (de l’ordre de O(N) contre O(N 2 ) par
exemple pour des algorithmes d’implémentation récursive RLS à faible complexité), mais au détriment
d’une convergence plus lente vers le filtre optimal que les implémentations directes ou récursives. Pour
cette raison, ces dernières implémentations seront dans la suite préférées à une implémentation par une
méthode du gradient.
Pour fixer les idées, considérons l’exemple de l’implémentation LMS de l’algorithme LCMV, originellement
proposé par Frost [32]. Dans cet algorithme, le critère à minimiser a pour expression :
J = w H Rw + (w H C − f H )λ + λ H (C H w − f)
où λ est tel que la contrainte C H w = f soit respectée. Le gradient complexe de ce critère est égal à :
∆ w = Rw + Cλ.

2.6 Cadre et objectif de la thèse 35
Sous l’hypothèse de matrice de covariance connue, l’expression du filtre obtenu par utilisation de l’algorithme
du gradient déterministe est alors :
w(K) = P ⊥ C (I − αR)w(K − 1) + w q
avec P ⊥ C = (I − C(CH C) −1 C H ) et w q = C(C H C) −1 f. Dans l’implémentation LMS (connue sous le nom
d’algorithme LMS de Frost), le filtre est estimé par la relation récursive suivante :
2.6 Cadre et objectif de la thèse
ŵ(K) = P ⊥ C(I − αx K x H K)ŵ(K − 1) + w q .
Ce chapitre introductif a donné lieu à la présentation de généralités sur le traitement d’antenne,
relatives à la modélisation des signaux, aux critères d’optimisation des filtres, aux principaux algorithmes
standards de formation de faisceaux et à leur implémentation. Dans ce cadre général, la thèse porte sur
l’étude d’algorithmes en traitement d’antenne, dans deux contextes différents. Plus précisément, nous
nous intéressons dans cette thèse à deux principaux problèmes. Ainsi, nous considérons tout d’abord le
problème du traitement d’antenne sur signaux large bande. Puis, nous nous plaçons dans un contexte de
traitement d’antenne sur radar en configuration antenne tournante. En particulier, nous y considérons le
problème du filtrage spatio-temporel de signaux bande étroite.
Ce document est organisé en deux parties indépendantes, comprenant chacune trois chapitres. Puis,
une conclusion générale et des perspectives après ce travail de thèse sont présentées dans un dernier
chapitre. Plus précisément, le document est organisé de la façon suivante :
– Le chapitre 3 porte sur l’étude de robustesse du filtrage spatial bande étroite, par rapport à la largeur
de bande. L’étude est effectuée en statistiques exactes (i.e. en supposant les matrices de covariance
connues). Elle porte sur le calcul des performances, en termes de SINR, du filtre maximisant le
SINR (2.10) sous des hypothèses bande étroite, appliqué sur des signaux large bande. Tout d’abord,
nous introduisons un critère de robustesse défini par le rapport entre le SINR sous des hypothèses
large bande et le SINR sous des hypothèses bande étroite. Ensuite, nous établissons une relation
entre ce critère et celui couramment utilisé pour définir des signaux large bande, à savoir le rapport
entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences+bruit et la valeur propre
de bruit. Puis, nous développons des approximations explicites du critère de robustesse introduit,
mettant en evidence l’influence des différents paramètres sur la perte en performance résultant
de l’augmentation de largeur de bande. Enfin, nous étendons les résultats obtenus à l’étude de
performance du filtrage par sous-bandes indépendantes de signaux large bande, afin d’y expliciter
l’influence du nombre de sous-bandes sur le SINR.
– Le chapitre 4 porte sur l’étude de performance du filtrage spatio-temporel maximisant le SINR,
de signaux large bande. Afin de compenser les pertes en performance décrites dans le chapitre
précédent, un filtrage spatio-temporel peut en effet être utilisé. L’objet de ce chapitre est donc
l’étude de performance, en un sens asymptotique par rapport au nombre de retards, de ce type de
filtre. Pour procéder, le SINR optimal est dans un premier temps interprété comme la valeur propre
généralisée maximale des matrices de covariance du signal utile et du bruit, ayant une structure bloc
Toeplitz. Ensuite, des résultats sur la distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de
matrices ayant cette structure, sont démontrés. En particulier, un théorème de Szegö étendu aux
valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz est introduit. La démonstration de ce théorème
fait l’objet de la première partie de ce chapitre. Puis, dans la deuxième partie du chapitre, ces
résultats sont appliqués à l’étude de performance du filtrage spatio-temporel maximisant le SINR.
Ils permettent ainsi d’obtenir des expressions explicites du SINR spatio-temporel asymptotique
optimal. Enfin, des simulations numériques permettent d’illustrer les résultats obtenus ainsi que
la convergence du SINR spatio-temporel optimal vers son expression limite, pour différents types
d’interférences.

36 Introduction
– Le chapitre 5 porte sur l’extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices
multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz. Bien que ce résultat ne soit pas directement applicable au
problème d’étude de performance du filtrage spatio-temporel de signaux large bande, il s’agit, à
notre connaissance, d’un résultat nouveau, applicable à de nombreux problèmes de détection et
d’estimation dans différents domaines du traitement du signal ou du traitement d’image.
– Le chapitre 6 présente une introduction à la deuxième problématique considérée dans la thèse, à
savoir l’étude d’algorithmes de traitement d’antenne sur radar à émission de signaux bande étroite,
en configuration antenne tournante. Ce chapitre permet notamment d’introduire les principales
notions de radar nécessaires à la compréhension de la suite. En particulier, nous y présentons les
différents filtrages utilisés par un radar dans un but de réhausser le rapport signal sur bruit avant
détection. Ensuite, nous effectuons la modélisation physique des données radar en configuration
antenne tournante. Enfin, nous donnons l’expression du filtre global optimal au sens d’un critère de
détection, en montrant que ce dernier peut se décomposer en un filtre spatio-temporel suivi d’un
filtre adapté en distance.
– Le chapitre 7 traite du problème d’antibrouillage en contexte non stationnaire. En effet, la rotation
d’antenne rend les signaux non stationnaires, ce qui dégrade l’antibrouillage. Pour compenser
les pertes en performance résultantes, une méthode de filtrage spatial non stationnaire, basée sur
l’utilisation de filtres variables dans le temps, est introduite. Cette méthode est ensuite déclinée sur
deux types d’algorithmes pouvant s’appliquer dans deux situations différentes.
– Le chapitre 8 traite du problème de rejection conjointe de signaux de brouillage et de fouillis. En effet,
la rotation d’antenne dégrade non seulement l’antibrouillage, comme nous l’avons vu dans le chapitre
précédent, mais également la rejection de fouillis. Cela s’explique par la dépendance, résultant de
la rotation d’antenne, entre les paramètres de direction d’arrivée et récurrence/fréquence Doppler.
Ainsi, contrairement à la configuration radar à antenne fixe, le filtrage spatio-temporel doit être
considéré de manière conjointe. Dans ce chapitre, nous présentons différents algorithmes de filtrage
spatio-temporel, en fonction de la nature des données d’estimation disponibles pour le calcul des
filtres. Tout d’abord, nous considérons la situation dans laquelle nous disposons des données servant
de référence brouillage+bruit thermique seul (sans présence de fouillis). Puis, nous considérons le
cas où cette hypothèse n’est plus valable. Dans le premier cas, nous proposons l’utilisation d’un
filtrage STAP séparable (spatial puis temporel). Dans le second cas, nous proposons l’utilisation
d’un préfiltrage sur les données pour se ramener au cas précédent où l’utilisation d’un algorithme
STAP à réduction de dimension (post-Doppler).
2.7 Publications de l’auteur
Le travail effectué dans le cadre de cette thèse a été l’occasion de proposer les contributions suivantes :
Revues internationales
M. Oudin, J.P. Delmas, “ Robustness of adaptive narrowband beamforming with respect to bandwidth”,
accepté pour publication à IEEE Trans. Signal Processing, June 2007.
M. Oudin, J.P. Delmas, « Asymptotic optimal SINR performance bound for space-time broadband beamformers»,
soumis à IEEE Trans. Antennas Propagat., March 2008.
M. Oudin, J.P. Delmas, « Asymptotic generalized eigenvalue distribution of block multilevel Toeplitz
matrices», soumis à IEEE Trans. Signal Processing, March 2008.

2.7 Publications de l’auteur 37
Conférences internationales
M. Oudin, J.P. Delmas, C. Germond, C. Adnet, F. Barbaresco, « Alternative Constraint Strategies to
the ESMI algorithm in radar systems », Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech
and Signal Processing (ICASSP 06), Toulouse, France, May 14-19, 2006.
M. Oudin, J.P. Delmas, C. Germond, C. Adnet, F. Barbaresco, «Preprocessing for adaptive spatial filtering
in ground-based rotating radar systems », Proceedings of the 2006 IEEE Sensor Array and Multichannel
Signal Processing Workshop (SAM 2006), Boston, July 12-14, 2006.
M. Oudin, J.P. Delmas, C. Germond, C. Adnet, F. Barbaresco, « Spatio-temporal processing with groundbased
rotating radar systems », Proceedings of the 2006 Eurad Conference, Manchester, September 13-15,
2006.
M. Oudin, J.P. Delmas, C. Adnet, F. Barbaresco, « An adaptive beamforming based definition of the
narrowband assumption », Proceedings of the 2007 Eusipco Conference, Poznan, Poland, September 3-7,
2007.
M. Oudin, J.P. Delmas, « Asymptotic generalized eigenvalue distribution of block Toeplitz matrices and
application to space-time beamforming », Proceedings of the 2007 Eusipco Conference, Poznan, Poland,
September 3-7, 2007.
M. Oudin, J.P. Delmas, C. Adnet, F. Barbaresco, « Beamspace post-Doppler STAP with ground-based
rotating radar systems », accepté à RadarCon 2008.
M. Oudin, J.P. Delmas, “Asymptotic generalized eigenvalue distribution of Toeplitz block Toeplitz matrices”,
accepté à Icassp 2008.
Conférences nationales
M. Oudin, J.P. Delmas, C. Adnet, C. Germond, F. Barbaresco, « Antibrouillage radar en contexte de
rotation d’antenne », Actes du 20ème colloque GRETSI, Louvain-la-Neuve, Belgium, September 6-9, 2005.

38 Introduction

Première partie
Etude d’algorithmes de traitement
d’antenne sur signaux large bande

Chapitre 3
Robustesse de la formation de faisceaux
bande étroite par rapport à la largeur de
bande
Sommaire
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Modèle des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes
indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Introduction
L’utilisation de signaux large bande, rendue possible par les progrès technologiques, notamment dans
le domaine des antennes tout numérique, présente de nombreux avantages. Par exemple, elle permet
d’accroître la capacité de canal en télécommunications ou d’améliorer la résolution distance en radar.
Cependant, en traitement d’antenne, la formation de faisceaux bande étroite standard 1 n’est pas adaptée
à de tels signaux. Par conséquent, ses performances se dégradent lorsque la largeur de bande des signaux
augmente. Pour compenser ces pertes en performance, un filtrage spatio-temporel peut être utilisé,
implémenté dans le domaine temporel ou fréquentiel, mais au prix d’une augmentation de la charge de
calcul. Afin de pouvoir optimiser le choix du traitement à appliquer sur des signaux ayant une certaine
largeur de bande, il semble donc important de quantifier la dégradation des performances du filtrage par
formation de faisceaux bande étroite standard résultant de l’augmentation de largeur de bande.
Dans [33], Zatman propose une définition générale d’un environnement bande étroite qui est utilisée
comme référence dans les problèmes de formation de faisceaux ou d’estimation de direction d’arrivée.
Cette définition est basée sur le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance
interférences plus bruit et la valeur propre de bruit. Plus précisément, un environnement est qualifié de
bande étroite lorsque cette valeur propre est inférieure à la valeur de 3dB au dessus du seuil de bruit dans
la matrice de covariance interférences plus bruit. L’auteur a montré sur simulations qu’une augmentation
1 On appelle dans ce chapitre formation de faisceaux bande étroite standard, la formation de faisceaux optimale au sens
MSINR (cf. chapitre 2) sous des hypothèses bande étroite. Cette étude est donc également valable pour les filtres spatiaux
optimaux au sens des critères MVDR et MMSE. En effet, comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, ces derniers
sont également optimaux au sens du critère MSINR.

42 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
de la largeur de bande conduit au dépassement du seuil de bruit par la seconde valeur propre de la matrice
de covariance interférences plus bruit. Par conséquent, la dégradation des performances de l’algorithme
formation de faisceaux standard est liée à la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences
plus bruit. Cependant, il n’a pas donné de relation explicite entre la seconde valeur propre et les pertes
en performance de la formation de faisceaux ni clairement montré l’influence de la largeur de bande, pour
différents paramètres de scénarios. De plus, il a considéré un signal utile de largeur de bande nulle, alors
qu’en pratique, sa largeur de bande sera non nulle tout comme celle du signal d’interférence, impliquant
des pertes additionnelles sur le SINR. Ces questions ont été abordées dans [34] où les auteurs ont proposé
de définir le rapport entre le SINR après formation de faisceaux bande étroite sous des conditions de
largeur de bande non nulle sur celui du même traitement sous des conditions de largeur de bande nulle,
comme critère de définition d’une formation de faisceaux bande étroite. Cependant, ils ont considéré un
environnement sans interférence, ce qui ne peut donc pas s’appliquer dans la plupart des applications,
comme par exemple le radar. De plus, ils n’ont pas explicité la dépendance du critère choisi en la largeur de
bande. Dans ce chapitre, nous proposons d’utiliser le même critère que dans [34] pour étudier la robustesse
de la formation de faisceaux bande étroite, en présence d’un signal utile de largeur de bande non nulle
et d’une source d’interférence dont les DOAs sont supposées quelconques. Contrairement aux modèles
de [33] et [34], on considère un modèle général de signal utile de matrice de covariance de rang plein.
Dans un premier temps, nous cherchons à rattacher l’étude de robustesse de la formation de faisceaux
bande étroite au travail de Zatman dans [33]. Plus précisément, nous relions le critère du rapport de SINRs
considéré à celui proposé par Zatman pour définir un environnement bande étroite, c’est à dire le rapport
entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de
bruit. Ainsi, nous montrons que ce dernier critère peut être interprété comme une borne supérieure sur
la perte en SINR dûe à la largeur de bande, par rapport à la DOA de la source utile.
Dans un second temps, nous souhaitons obtenir une expression explicite de la perte en SINR et donner
des conditions suffisantes sur les paramètres pour que la valeur de perte maximale en SINR atteigne
presque la borne donnée par le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences
plus bruit et la valeur propre de bruit. Dans ce but, nous commençons par distinguer deux
cas selon la position de la source d’interférence par rapport à la source utile. En utilisant les résultats
sur les valeurs et vecteurs propres des matrices de covariance de signaux très rapprochés en fréquence,
nous approximons le SINR dans chacun des deux cas. Ensuite, sous l’hypothèse d’une faible largeur de
bande et d’un nombre élevé de capteurs, nous effectuons une analyse asymptotique résultant en d’explicites
expressions de la perte en SINR pour une source d’interférence dans le lobe principal ou les lobes
secondaires. Sous ces hypothèses, nous montrons que le critère de Zatman donne une estimée précise de la
perte maximale en SINR par rapport à la DOA de la source utile. Enfin, nous déduisons des expressions
de perte en SINR obtenues deux définitions pratiques de la notion de signal bande étroite, au sens de la
perte en SINR du filtrage formation de faisceaux bande étroite standard.
Dans un troisième temps, nous étendons les résultats de la partie précédente, à l’étude de performance
du filtrage par sous-bandes indépendantes afin d’y expliciter l’influence du nombre de sous-bandes sur le
SINR.
3.2 Modèle des données
On considère une antenne linéaire uniforme (ALU) composée de N capteurs qui sont espacés d’une
demi-longueur d’onde par rapport à la fréquence porteuse. Puis, on considère un environnement composé
d’une source d’interférence, de bruit thermique, et d’une source utile. Le signal d’interférence est modélisé
par un processus stationnaire au second ordre, blanc de largeur de bande non nulle et de puissance σ 2 J .
Le bruit thermique est modélisé par un processus blanc spatialement et temporellement, de puissance σ 2 n .
En utilisant le modèle de signaux large bande donné par (2.3), la matrice de covariance interférences plus

3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande 43
bruit est égale à :
avec
¯R =
∫ B
2
− B 2
σ 2 J
B φ J(f 0 + f)φ J (f 0 + f) H df + σ 2 nI (3.1)
[
]
φ J (f) = 1 e jπ f u f J j(N−1)π 0 · · · e f T
u f J 0
où u J = sin(θ S ) et θ J est la DOA de la source d’interférence. Enfin, le signal utile est également modélisé
par un processus stationnaire blanc de largeur de bande non nulle et de puissance σS 2 . Sa DOA est notée
θ S . En utilisant également le modèle de signaux large bande donné par (2.3), sa matrice de covariance est
donnée par :
∫ B
2 σS
¯R 2 S =
B φ S(f 0 + f)φ S (f 0 + f) H df (3.2)
avec
où u S = sin(θ S ).
− B 2
[
]
φ S (f) = 1 e jπ f u
f S j(N−1)π 0 · · · e f T
u
f S 0
3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande
Pour étudier la robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande,
on s’intéresse au critère de SINR. En pratique, il est important de savoir si un signal est à bande étroite
ou large bande (au sens de la formation de faisceaux), dans l’optique de choisir le traitement d’antenne
approprié. En effet, si le signal est bande étroite, un filtrage spatial seul est suffisant (cf. par exemple [2]).
Dans le cas contraire, sous des hypothèses large bande, un filtrage spatio-temporel ou par sous-bandes
permet d’améliorer les performances par rapport à un filtrage spatial seul (cf. par exemple [6, chap.6]
et [3,35–37]).
3.3.1 Influence de la largeur de bande sur le filtrage spatial
Sous l’hypothèse de largeur de bande nulle, le filtre spatial optimal au sens de la maximisation du
SINR (cf. expression (2.10)) a pour expression :
où
w ZB ∝ R −1 φ S (3.3)
R = σ 2 J φ Jφ H J + σ2 n I (3.4)
est la matrice de covariance interférences plus bruit et φ J = φ J (f 0 ) et φ S = φ S (f 0 ) sont respectivement
les vecteurs directionnels à bande nulle du signal d’interférence et du signal utile. Le SINR optimal est
alors égal à
SINR ZB = σ 2 S φH S R−1 φ S . (3.5)
Sous des conditions de largeur de bande non nulle, l’expression du SINR est donnée par
SINR = wH ¯RS w
w H ¯Rw
(3.6)
où ¯R et ¯R S sont respectivement données par (3.1) et (3.2). Notons w le filtre formation de faisceaux
bande étroite (i.e. d’une forme similaire à (3.3)) calculé sous des conditions de largeur de bande non nulle.
Son expression est :
w = ¯R −1 φ S . (3.7)

44 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
15
10
B/f 0
=0.05
bande nulle
B/f 0
=0.1
5
SINR (dB)
0
−5
−10
−15
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u = sin(θ )
S S
Fig. 3.1: SINR (3.8) en fonction de la DOA de la source utile, pour différentes valeurs de bande
fractionnée.
En insérant (3.7) dans (3.6), le SINR à bande non nulle résultant devient
SINR = φH S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S
φ H S ¯R −1 φ S
. (3.8)
Afin d’illustrer l’influence de la largeur de bande sur les performances du filtrage spatial bande étroite
en termes de SINR, on effectue maintenant des simulations. Fig.3.1 montre le SINR résultant après
formation de faisceaux bande étroite (3.7) sous des conditions de largeur de bande nulle (i.e. pour une
bande fractionnée B f 0
nulle) et sous des conditions de largeur de bande non nulle pour deux valeurs de
bande fractionnée ( B f 0
= 0.05 et B f 0
= 0.1). Les paramètres de la simulation sont N = 32, σJ 2 = 30 dB,
σS 2 = 30 dB, σ2 n = 0 dB, u J = 0.1.
On remarque que les pertes en SINR par rapport au cas où la largeur de bande est nulle, interviennent
à la fois pour des sources utiles de DOA éloignée de la normale à l’antenne ou pour des sources utiles de
DOA proche de celle de la source d’interférence. De plus, on observe que les pertes augmentent avec la
largeur de bande.
3.3.2 Expression du critère de robustesse
Nous introduisons maintenant le critère de robustesse défini par le rapport entre le SINR après formation
de faisceaux bande étroite appliquée sous des conditions de largeur de bande non nulle (3.7) et le
même filtrage appliqué sous des conditions de largeur de bande nulle (3.3). Ce critère permet de quantifier
la perte en SINR dûe à l’augmentation de la largeur de bande lorsque qu’un filtrage spatial adapté à des
signaux bande étroite est utilisé. Son expression est :
r =
SINR
SINR ZB
(3.9)
où SINR est donné par (3.8) et SINR ZB est donné par (3.5). Comme r < 1, r −1 sera appelée perte en
SINR tout au long du chapitre. En utilisant les expressions de SINR et SINR ZB dans (3.9), on obtient la

3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande 45
forme détaillée du critère de robustesse choisi :
r =
φ H S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S
σ 2 S φH S R−1 φ S φ H S ¯R −1 φ S
. (3.10)
3.3.3 Relation entre la perte en SINR et la définition de bande étroite de Zatman
Dans [33, Section 5], Zatman a considéré un signal d’interférence de largeur de bande non nulle mais
un signal utile de largeur de bande nulle. Avec nos notations, le SINR associé est égal à :
SINR = σ2 S |wH φ S | 2
w H ¯Rw
et le filtre formation de faisceaux bande étroite w (3.7) devient optimal du point de vue de la maximisation
du SINR, quelque soit la largeur de bande du signal d’interférence. Le SINR optimal devient :
SINR = σ 2 S φH S ¯R −1 φ S . (3.11)
Avec un modèle de signal utile à bande nulle, la perte en SINR dûe à une largeur de bande non nulle
n’apparaît que dans des scénarios de source d’interférence vue dans le lobe principal, comme justifié dans
l’annexe A. Notons que cela peut être également observé dans [33, Fig.6]. Le rapport de SINR exact r
devient après insertion de (3.11) et (3.5) dans (3.9) :
r = φH S ¯R −1 φ S
φ H S R−1 φ S
. (3.12)
On souhaite maintenant relier ce rapport de SINR (3.12) au rapport entre la seconde valeur propre de
la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de bruit. Sous l’hypothèse que la
bande fractionnée est faible, on montre le résultat suivant dans le cadre d’une antenne linéaire uniforme
composée de N capteurs espacés d’une demi-longueur d’onde par rapport à la fréquence porteuse :
Résultat 1 En présence d’un signal utile à bande nulle et d’un signal d’interférence de largeur de bande
non nulle, le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit
et la valeur propre de bruit est égal à une borne supérieure de la perte en SINR r −1 de la formation de
faisceaux optimale, dûe à la largeur de bande, par rapport à la DOA de la source utile.
Preuve En utilisant le développement effectué dans l’annexe A basé sur les résultats de [38], la matrice
de covariance du signal d’interférence à bande non nulle ¯R−σ nI 2 peut être approximée par une matrice de
rang deux 2 où les deux valeurs et vecteurs propres sont respectivement égaux à µ 1 − σn 2 ≈ Nσ2 J , µ 2 − σn
2
et u 1 ≈ √ φ J
N
et u 2 . Ensuite, en utilisant (3.4), R − σnI 2 = NσJ
2 φ √NJ
φ
√ H J
N
. On a donc :
¯R ≈ R + (µ 2 − σ 2 n)u 2 u H 2 .
Après utilisation du lemme d’inversion matricielle, on déduit :
(
)
¯R −1 ≈ R −1 − R −1 1
−1
u 2
µ 2 − σn
2 + u H 2 R −1 u 2 u H 2 R −1 . (3.13)
Après insertion de (3.13) dans (3.12), on obtient :
r ≈ 1 − |φH S R−1 u 2 | 2
φ H S R−1 φ S
×
1
1
(
µ 2
+ u
−σ H n
2 2 R−1 u 2 ) . (3.14)
2 Notons que cette hypothèse a été justifiée dans [33] par l’observation empirique selon laquelle les valeurs propres de ¯R
dépassent le seuil de bruit thermique l’une après l’autre, au fur et à mesure de l’augmentation de largeur de bande.

46 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
Une borne inférieure sur le rapport de SINR (3.14) par rapport à la DOA de la source utile est obtenue en
considérant un vecteur directionnel sans contrainte φ S . Dans ce cas, (3.14) est minimisée lorsque le terme
|φ H S R−1 u 2 | 2
est maximisé, i.e., lorsque φ
φ H S R−1 φ S ∝ u 2 . Utilisant u H 2 R−1 u 2 ≈ 1 déduit de u H φ √NJ
S σn
2 2 ≈ u H 2 u 1 = 0,
la borne inférieure associée sur le rapport de SINR r est égale à 3 :
r lb = σ2 n
µ 2
. (3.15)
Par conséquent, le rapport entre la valeur propre de bruit et la seconde valeur propre de la matrice de
covariance interférences plus bruit peut être interprété comme une borne inférieure sur le rapport en SINR
r ou inversement, le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus
bruit et valeur propre de bruit comme une borne supérieure sur la perte en SINR r −1 .
De ce résultat, on déduit une borne supérieure sur la perte en SINR r −1 en présence d’un signal d’interférence
bande étroite, au sens de la définition de Zatman. Ainsi, lorsque la seconde valeur propre de
la matrice de covariance interférences plus bruit est inférieure à la valeur de 3 dB au dessus de la valeur
propre de bruit, Résultat 1 prouve que la perte en SINR sera inférieure à 3 dB quelque soit la DOA de la
source utile et de la source d’interférence. En effet, si µ 2 ≤ 2σ 2 n, on a :
1 ≤ perte en SINR = 1 r ≤ 1
r lb
= µ 2
σ 2 n
Après avoir donné une relation générale entre le critère de Zatman et la perte en SINR r −1 , on cherche à
estimer cette perte et en particulier la valeur du ‘pire cas’ r −1
min , en fonction des différents paramètres ( B f 0
,
σJ
2 ,DOAs, N). D’autre part, on souhaite donner des conditions suffisantes pour que la borne supérieure
σn
2 soit presque atteinte pour une certaine DOA de la source utile.
r −1
lb
≤ 2.
3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR
Dans cette section, notre objectif est d’analyser l’expression (3.10). Cependant, le fait de considérer
un signal utile de largeur de bande non nulle conduit à une expression complexe du rapport de SINR.
Pour l’analyser, il nous faut distinguer deux cas en fonction de la position de la source d’interférence par
rapport à la source utile. Ensuite, on utilisera l’hypothèse selon laquelle la bande fractionnée est faible et
le nombre de capteurs de l’antenne important. Notons que cette dernière hypothèse est justifiée dans la
plupart des applications radar, pour lesquelles une haute résolution spatiale est requise. Ces hypothèses
nous permettent d’obtenir des expressions limites du critère considéré, comme nous le verrons dans les
paragraphes 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 and 3.4.4. Pour aider à la compréhension de la suite, le tableau suivant
récapitule les différentes hypothèses sur lesquelles sont basés les différents paragraphes.
paragraphes 2.4.1 (lobes secondaires) 2.4.1 (lobe principal) 2.4.2 2.4.3 2.4.4
B
f 0
≪ 1 X X X X X
N ≫ 1 s.c. NB
f 0
≪ 1 X X X
3 Notons que l’approximation
k
de u 2 est donnée par la dérivée de φ J (f) par rapport à f, orthogonalisée par φ J , u 2 ≈
`
I− φ J φH J
N
‚
‚`I− φ J φH J
N
´ dφJ (f)
df
´ dφJ (f)
df
f=f 0 ‚ ‚‚
+ o( kf=f B f 0
) [38]. Comme il n’existe pas de DOA de source utile pour laquelle φ S est proportionnel à ce
0
vecteur, la borne inférieure sur le rapport de SINR ne peut pas être atteinte.

3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 47
20
lobes
secondaires
lobes
secondaires
10
0
SINR (dB)
−10
−20
−30
SINR exact
SINR approche
lobe principal
−40
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u = sin(θ )
S S
Fig. 3.2: SINR exact (3.8) et approché (3.16) (3.17), en fonction de la DOA de la cible.
3.4.1 Approximation du SINR
Bien que le rapport de SINR donné par (3.10) soit exact, il est difficilement calculable. Cependant, on
montre maintenant que le SINR (3.8) peut être simplifié en distinguant le cas où la source d’interférence
est vue dans les lobes secondaires de celui où elle est vue dans le lobe principal. Ainsi, on prouve les
résultats suivants en annexe A :
Résultat 2 Pour une source d’interférence vue dans les lobes secondaires, c’est à dire quand sa DOA
est éloignée de celle de la source utile (i.e. lorsque |u S − u J | ≫ 1 N
), et pour une source d’interférence vue
dans le lobe principal, c’est à dire de DOA proche de celle de la source utile (i.e. lorsque |u S − u J | ≈ 1 N ),
le SINR intervenant dans le critère (3.9) peut être approximé par respectivement :
SINR 1 = φH ¯R S S φ S
Nσn
2 (3.16)
SINR 2 = σS 2 φH ¯R S −1 φ S . (3.17)
On note que pour une source d’interférence vue dans les lobes secondaires, l’expression (3.16) montre
que le vecteur directionnel du signal utile se trouve dans un sous-espace presque orthogonal à celui du
signal d’interférence, et donc que seul le bruit thermique joue un rôle dans (3.8). De plus, pour une
source d’interférence vue dans le lobe principal, la relation (3.17) est l’expression du SINR optimal sous
l’hypothèse d’un signal utile à bande nulle comme donné par (3.11).
Ces approximations sont validées par de nombreuses comparaisons numériques, pour des puissances
arbitraires des interférences. A titre d’exemple, Fig.3.2 compare le SINR exact (3.8) avec les deux expressions
précédentes (3.16 et 3.17) pour une valeur de bande fractionnée importante B f 0
= 0.5. On observe
que les deux approximations sont précises dans les deux régions, même lorsque la bande fractionnée est
élevée.

48 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
20
lobes secondaires
lobe
principal
lobes secondaires
10
0
SINR (dB)
−10
−20
−30
SINR approche
approximation avec matrices de rang 2
−40
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
u = sin(θ )
S S
Fig. 3.3: SINR approché (3.16)-(3.17) avant et après approximation de (3.16)-(3.17) par les matrices de
covariance données par (3.18), en fonction de la DOA de la source utile.
3.4.2 Approximation des matrices de covariance
Après insertion de (3.16) ou (3.17) avec (3.5) dans le rapport de SINR (3.9), l’expression (3.10) est
simplifiée. Ensuite, pour poursuivre l’analyse, on utilise l’approximation proposée dans [33] pour remplacer
¯R et ¯R S dans (3.16) et (3.17) par des matrices de rang deux, valable sous l’hypothèse que seules les
deux premières valeurs propres des matrices de covariance du signal d’interférence et du signal utile sont
importantes. Ainsi, nous utilisons les approximations respectives suivantes :
˜R = σ2 J φ J,1φ H J,1 + σ2 J φ J,2φ H J,2
2
+ σ 2 n I
avec
˜R S = σ2 S φ S,1φ H S,1 + σ2 S φ S,2φ H S,2
2
(3.18)
φ J,1
φ J,2
= φ J (f 0 − ∆f)
= φ J (f 0 + ∆f)
où ∆f = B
2 √ 3 . De même pour le signal utile, nous avons φ S,1 = φ S (f 0 −∆f) et φ S,2 = φ S (f 0 +∆f). Nous
validons cette seconde approximation par de nombreuses simulations numériques. Cependant, contrairement
à l’approximation du SINR dans le paragraphe précédent, l’approximation rang deux conduit à
d’importantes erreurs dans l’expression du SINR lorsque la bande fractionnée est trop large. En effet,
dans ce cas, le rang effectif des matrices de covariance est supérieur à deux et l’approximation n’est
donc plus justifiée. Cependant, des simulations montrent que pour des largeurs de bande de l’ordre de
B
f 0
= 0.1, pour les paramètres choisis, l’approximation reste acceptable. C’est illustré en Fig.3.3 où on
trace les expressions (3.16) et (3.17) avec ou sans approximation des matrices de covariance selon (3.18)
pour B f 0
= 0.1. On observe que les erreurs résultant de cette seconde approximation sont relativement
faibles. Par conséquent, il paraît raisonnable d’utiliser (3.18) pour l’analyse de robustesse à des faibles
largeurs de bande.

3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 49
Après avoir effectué ces approximations préliminaires, nous sommes maintenant capables de développer
l’expression du rapport de SINR et de réaliser une analyse asymptotique de r, sous l’hypothèse d’une faible
largeur de bande fractionnée et d’un nombre élevé de capteurs. Cela nous permet d’obtenir des expressions
explicites du rapport de SINR qui pouvent servir à l’analyse de l’influence des différents paramètres du
scénario. Dans la suite, nous considérons tout d’abord le cas d’une source d’interférence dans les lobes
secondaires, pour lequel nous montrons que r peut être approché par l’expression (3.21), quelque soit
la position de la source utile. Ensuite, nous considérons le cas d’une source d’interférence dans le lobe
principal, ce qui conduit à l’expression (3.25). D’autre part, nous nous intéressons à la pire position de la
source utile par rapport à la source d’interférence (au sens du critère choisi), pour laquelle nous calculons
la valeur minimale r min de r et obtenons (3.27). Enfin, nous relions cette dernière expression à la borne
inférieure sur le rapport de SINR donnée par r lb dans (3.15).
3.4.3 Cas d’une source d’interférence vue dans les lobes secondaires
En insérant (3.18) dans (3.16) nous avons
où
φ H S ˜R S φ S = σ2 S
2
φ H S φ S,1
φ H S φ S,2
[ ∣∣φ
H
S φ S,1
∣ ∣
2
+
∣ ∣φ H
S φ S,2
∣ ∣
2 ] , (3.19)
−j(N−1)∆y sin(N∆y)
= e
sin(∆y)
j(N−1)∆y sin(N∆y)
= e
sin(∆y)
(3.20)
avec ∆y = π 2
∆f
f 0
u S . Après substitution de (3.20) dans (3.19), on obtient
φ H ˜R S S φ S = σS
2 sin 2 (N∆y)
sin 2 (∆y) .
En effectuant un développement limité sous les hypothèses ∆f
f 0
N ∆f
f 0
≪ 1, on obtient l’approximation :
( ( ) )
φ H ˜R S S φ S ≈ σSN 2 2 1 − N2 B 2
144 π2 u 2 S .
f 0
≪ 1 et N ≫ 1 mais sous la contrainte
Par conséquent, après avoir remarqué que SINR ZB ≈ Nσ2 S
σ
en présence d’une source d’interférence vue
n
2
dans les lobes secondaires, le rapport r peut être approché par :
( )
r ≈ 1 − π2 NB 2
144 u2 S . (3.21)
f 0
Ce résultat obtenu pour un réseau ALU de N capteurs espacés de d : demi-longueur d’onde par rapport à
la fréquence centrale peut s’écrire sous une forme plus générale pour pouvoir être transposable à un réseau
quelconque de distance intercapteur quelconque. En effet, puisque f 0 = 2c
d et u SNd ≈ D S (dimension de
l’antenne projetée sur la direction de l’onde incidente), (3.21) devient :
r ≈ 1 − π2
36
( ) 2 BDS
.
c
On valide maintenant le résultat précédent sur des simulations. Fig.3.4 compare le rapport exact (3.10)
à l’approché (3.21) pour deux valeurs de bande fractionnée. On observe que l’approximation donnée par
(3.21) est précise pour des faibles valeurs de bande fractionnée, sauf dans les premiers lobes secondaires.

50 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
0
−0.1
−0.2
−0.3
B/f 0
=0.03
r (dB)
−0.4
−0.5
−0.6
B/f 0
=0.05
−0.7
−0.8
−0.9
−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0
u = sin(θ )
S S
Fig. 3.4: Rapports de SINR r exact (3.10)(—) et approché (3.21)(- -) pour différentes bandes
fractionnées, en fonction de la DOA de la source utile.
3.4.4 Cas d’une source d’interférence vue dans le lobe principal
Comme nous l’avons détaillé dans les paragraphes précédents, le SINR peut être approximé dans le
cas d’une source d’interférence vue dans le lobe principal par σ 2 S φH S ˜R −1 φ S après insertion de (3.18) dans
(3.17). Après une double application du lemme d’inversion matricielle, on peut écrire :
∣ φ
H
S φ J,2
∣ ∣
2
∣ φ
H
S φ J,1
∣ ∣
2
φ H ˜R S −1 φ S = N σn 2 −
σnβ
4 −
σnα
4 ∣
∣ φ
H
S φ J,2 2 ∣ ∣ ∣φ H
J,2 φ J,1 2
−
σnβ 8 2 α
+
2
σ 6 nβα Re[(φH S φ J,2 )(φ H J,1φ S )(φ H J,2φ J,1 )]
avec β = 2
σ 2 J
+ N , α = β − |φH J,1 φ J,2| 2
σn
2 σn 4β
et
φ H S φ J,1 = e −j(N−1)x sin(Nx 1 1)
sin(x 1 )
φ H S φ J,2 = e −j(N−1)x sin(Nx 2 2)
sin(x 2 )
φ H −j2(N−1)∆x sin(2N∆x)
J,2φ J,1 = e
sin(2∆x)

3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 51
0
−2
−4
−6
−8
r (dB)
−10
−12
−14
−16
−18
exact
approche
−20
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
u = sin(θ )
S S
Fig. 3.5: Rapports de SINR r exact (3.10) et approché (3.25) en fonction de la DOA de la source utile.
où
x 1
x 2
= x 0 + ∆x
= x 0 − ∆x
x 0 = π 2 (u S − u J )
∆x = π 2
∆f
f 0
u J . (3.22)
Ensuite, après un développement limité sous l’hypothèse N ≫ 1 et ∆f
f 0
≪ 1 sous la contrainte N ∆f
f 0
≪ 1,
et σ2 J
σ 2 n
≫ 1, on peut écrire pour x 0 ≠ 0
avec {
(
φ H ˜R S −1 φ S ≈ φ H S R−1 φ S − b2 3σ 2 )
J ∆x2
4a N 3 σn 2σ2 J ∆x2 + 3σn
4
a = sin2 (Nx 0 )
sin 2 (x 0 )
b = Nsin(2Nx 0)
sin 2 (x 0
− sin2 (Nx 0 )sin(2x 0 )
) sin 4 (x 0
.
)
On en déduit une expression approchée du critère proposé :
(
r ≈ 1 −
b 2
4a
3σ 2 J ∆x2
N 3 σ 2 n σ2 J ∆x2 +3σ 4 n
)
(3.23)
(3.24)
φ H S R−1 φ S
. (3.25)
Pour valider cette dernière expression, on compare maintenant en Fig.3.5 la relation approchée (3.25)
avec la relation exacte (3.10) en fonction de la DOA de la source utile. La bande fractionnée est égale
à B f 0
= 0.1. On observe que lorsque la source utile a une DOA dans le voisinage de celle de la source
d’interférence, les pertes en SINR augmentent jusqu’à une position de source utile proche de celle de la
source d’interférence. Ensuite, à partir de cette position jusqu’à la DOA de la source d’interférence, les

52 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
pertes en SINR décroissent rapidement. Quand les DOAs de la source utile et de la source d’interférence
sont égales, les pertes ont presque disparu (le rapport exact (3.10) est égal à λ 1 σn+Nσ 2 J
2
µ 1
≈ 1 [38] où λ
NσS
2 1 et
µ 1 sont les valeurs propres les plus grandes de ¯R S et ¯R respectivement).
On souhaite maintenant estimer le rapport de SINR minimal r min par rapport à la DOA de la source
utile et relier cette valeur à la borne inférieure r lb (3.15). Dans ce but, on montre le résultat suivant :
Résultat 3 Sous l’hypothèse selon laquelle B f 0
≪ 1 et N ≫ 1 sous la contrainte N B f 0
≪ 1, la perte
maximale en SINR rmin −1 par rapport à la DOA de la source utile atteint presque la borne supérieure r−1
lb
égale au rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la
valeur propre de bruit.
Preuve
En remarquant que le rapport minimal de SINR r min est atteint lorsque 0 < |x 0 | ≪ 1, on peut effectuer
un développement limité du terme b2 a
dans (3.25). Ainsi, en écrivant que
déduit de (3.24), on obtient :
b 2 a = 4sin2 (Nx 0 )
sin 2 (x 0 )
(
N
tan(Nx 0 ) − 1
tan(x 0 )
) 2
b 2 a ≈ 4 9 N6 x 2 0 (3.26)
à partir d’un développement limité au 3ème ordre de tan(Nx 0 ) et tan(x 0 ) en Nx 0 et x 0 respectivement,
sous l’hypothèse que x 0 ≪ 1 et N ≫ 1 sous la contrainte Nx 0 ≪ 1. Ensuite, après avoir noté que
φ H S R−1 φ S ≈ N3 x 2 0
pour σ2 3σn
2 J
≫ 1, 0 < |x
σn 2 0 | ≪ 1 et utilisé (3.22), on obtient l’approximation suivante de la
valeur minimale de r :
r min ≈
σ 2 n
N 3
3 σ2 J ∆x2 + σ 2 n
=
N 3
3 σ2 J π2
48
σ 2 n
(
B
f 0
) 2
u
2
J
+ σ 2 n
. (3.27)
( ) 2
On remarque que N3
3 σ2 J π2 B
48 f 0
u
2
J
représente le développement limité au premier ordre de la seconde
valeur propre de la matrice de covariance du signal d’interférence seul (déduit de [33, expressions 27 et 28]
pour NB
f 0
≪ 1), de sorte que le dénominateur de (3.27) constitue une approximation de µ 2 . Finalement,
en prenant l’inverse de (3.27), on termine la preuve.
Afin d’observer l’influence de la bande fractionnée sur la valeur du rapport de SINR minimal r min , on
trace en Fig.3.6 cette dernière en fonction de B f 0
pour les mêmes valeurs de N que dans les simulations
précédentes. Premièrement, on observe que la courbe approchée (3.27) fournit une approximation très
précise de la valeur exacte r min obtenue par calcul numérique du minimum de (3.10), sauf lorsque la valeur
de bande fractionnée devient trop importante (par exemple pour B f 0
> 0.02 avec les paramètres considérés).
Deuxièmement, on remarque que r min décroît rapidement lorsque la largeur de bande augmente. On
analyse ensuite l’influence du nombre de capteurs sur r min . Fig.3.7 montre la valeur de ce minimum à
partir des expressions exacte et approchée, pour différentes valeurs de N et pour une bande fractionnée
égale à B f 0
= 0.01. On vérifie que l’approximation donnée par (3.27) est précise, sauf pour des valeurs
élevées du nombre de capteurs. Cela s’explique par le fait que le développement limité effectué dans
le paragraphe 3.4.4 est valable sous l’hypothèse N ∆f
f 0
≪ 1 (alors que par exemple, quand N = 64,
N ∆f
f 0
≈ 0.2).

3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 53
0
exact
approche
−5
−10
r min
(dB)
−15
−20
−25
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
B/f 0
Fig. 3.6: Valeurs de r min exacte et approchée (3.27) en fonction de la bande fractionnée.
0
exact
approche
−2
−4
r min
(dB)
−6
−8
−10
−12
−14
0 10 20 30 40 50 60 70
nombre de capteurs
Fig. 3.7: Valeurs de r min exacte et approchée (3.27) en fonction du nombre de capteurs.

54 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
0.7
0.6
u S
=1
u S
=0.5
0.5
0.4
B/f 0
0.3
0.2
0.1
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
number of sensors
Fig. 3.8: Bande fractionnée admissible maximale selon (3.29) avec β = 0.69, pour différentes DOAs de
la source utile, en fonction du nombre de capteurs.
3.4.5 Définition d’un signal bande étroite au sens de la formation de faisceaux
A partir du rapport de SINR (3.10) et du choix d’un seuil de performance 4 noté β, on peut définir
des signaux bande étroite du point de vue du SINR lorsque la condition suivante est vérifiée :
r ≥ 1 − β. (3.28)
Dans les paragraphes précédents, nous avons donné des approximations du rapport de SINR r. On remplace
maintenant ces dernières dans (3.28) pour calculer la valeur maximale de bande fractionnée au sens
de la condition considérée. Dans un premier temps, on s’intéresse au cas d’une source d’interférence vue
dans les lobes secondaires. En insérant (3.21) dans la condition (3.28), on obtient le résultat suivant :
Résultat 4 En présence d’une source d’interférence vue dans les lobes secondaires, les signaux sont bande
étroite du point de vue du SINR lorsque
u S
B
f 0
≤ 12√ β
Nπ . (3.29)
On note que la condition (3.29) est indépendante des différentes puissances. De plus, elle ne dépend
pas explicitement de u J . Cependant, comme le rapport en SINR est obtenu en supposant que la source
d’interférence est vue dans les lobes secondaires de l’antenne, il repose sur l’hypothèse |u S − u J | ≫ 1 N .
Pour visualiser cette condition, on trace en Fig.3.8 la valeur admissible maximale de bande fractionnée
en fonction de N. On choisit le seuil β = 0.69 correspondant à une perte en SINR d’environ 5 dB. Dans
un second temps, on étudie le cas d’une source d’interférence vue dans le lobe principal d’antenne. En
utilisant (3.27) dans la condition (3.28), on obtient le résultat suivant :
4 Comme il a été remarqué par Zatman, le choix d’un tel seuil est quelque peu arbitraire. Cependant, une valeur de perte
en SINR de 5 dB (correspondant à β = 0.69) sera utilisée dans la suite, car elle correspond à une limitation de performance
en détection à 75% de la portée du radar en contexte bande étroite [33].

3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes 55
0.06
u J
=0.5
u J
=0.1
0.05
0.04
B/f 0
0.03
0.02
0.01
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
nombre de capteurs
Fig. 3.9: Bande fractionnée admissible maximale selon (3.30) avec β = 0.69, pour différentes DOAs de
la source utile, en fonction du nombre de capteurs.
Résultat 5 En présence d’une source d’interférence vue dans le lobe principal, les signaux sont bande
étroite du point de vue du SINR lorsque
√
B
u J ≤
12σ n β
f 0 πN 3 2σ J
1 − β . (3.30)
On trace maintenant en Fig.3.9 la valeur admissible maximale de bande fractionnée en fonction de N, et
pour le pire cas de position de la source utile. Le seuil β est le même que précédemment. On observe que
les valeurs admissibles maximales de largeur de bande au sens de cette dernière condition sont largement
inférieures à celles de la condition (3.29). Cela est dû à la présence du terme √ N σ J
σ n
au dénominateur de
(3.30) qui n’apparaît pas dans (3.29).
3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sousbandes
indépendantes
Dans la section précédente, on a effectué une étude de robustesse du filtrage spatial bande étroite
par rapport à la largeur de bande du signal à filtrer. Les calculs effectués sont valables lorsque la largeur
de bande est relativement faible de sorte que les matrices de covariance du signal utile et du signal
d’interférence peuvent être approximées par des matrices de rang deux. Lorsque la largeur de bande des
signaux est importante, et que le filtrage spatial bande étroite conduit à des mauvaises performances
en termes de SINR, une décomposition par sous-bandes peut être effectuée, suivie d’un filtrage spatial
par sous-bandes indépendantes. La décomposition a pour objectif de suffisamment réduire la bande des
signaux pour que le filtrage spatial bande étroite sur chaque sous-bande soit efficace.
L’objectif de cette section est d’appliquer l’analyse du SINR après filtrage spatial bande étroite sur un
signal de largeur de bande non nulle, à l’analyse du SINR après filtrage par sous-bandes indépendantes. En
effet, après décomposition par un nombre suffisant de sous-bandes, les matrices de covariance des signaux
sur chaque sous-bandes peuvent être approximées par des matrices de rang deux. L’étude de robustesse

56 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
effectuée dans la section précédente peut donc s’appliquer, conduisant à une expression des puissances
de signal et de bruit sur chaque sous-bande à partir desquelles le SINR peut être calculé. Tout d’abord,
on étudie le cas d’une décomposition en sous-bandes par Transformée de Fourier Discrète (TFD). Puis,
on s’intéresse au cas d’une décomposition en sous-bandes par utilisation d’un banc de filtre sélectif en
fréquence.
3.5.1 Décomposition par TFD
Expression des matrices de covariance spatio-fréquentielles
On note M le nombre de sous-bandes en lequel les données sont décomposées par TFD et T la
période d’échantillonnage temporel. Ensuite, on appelle f max la fréquence maximale dans la bande et on
suppose que l’échantillonnage spatial s’effectue avec une distance intercapteur minimale (donc égale à
c
2f max
) afin d’éviter toute ambiguïté spatiale. Puis, on introduit Y = [y0 TyT 1 · · ·yT M−1 ]T les données spatiofréquentielles
où (y m ) m=0..M−1 sont les données spatiales sur la fréquence m. La matrice de covariance
spatio-fréquentielle des données est E{YY H } dont les blocs sont les matrices E{y m yl H }. Ensuite, notons
e mk = e
−j2π
mk
M les éléments de la transformation par TFD et :
⎡
e m = ⎢
⎣
1
e j2π m M
.
m(M−1)
j2π
e M
On introduit également la matrice T m = [ e m0 I N e m1 I N
]
... e mM−1 I N où IN est la matrice identité
de taille (N × N). Avec ces notations, on a :
⎤
⎥
⎦ .
E{y m y H l } = T m (R S,M + R M )T H l
où R S,M et R M sont les matrices de covariance spatio-temporelles respectives du signal utile et des
interférences plus bruit. Elles sont de dimension NM × NM. En raison de la stationnarité des processus,
ces matrices sont bloc-Toeplitz et peuvent s’écrire sous la forme :
⎡
⎤
R 0 R H 1 · · · R H M−1
. R .. . .. 1 R
H M−2
⎢
⎣
.
. ..
⎥
(3.31)
. ⎦
R M−1 R M−2 ... R 0
où
et
R m =
∫ B
2
− B 2
σ 2 S
B φ(θ S,f 0 + f)φ(θ S ,f 0 + f) H e −i2πmfT df
∫ B [
2 σ
2
]
R m = J
− B B φ(θ J,f 0 +f)φ(θ J ,f 0 +f) H + σ2 n
B I e −i2πmfT df
2
avec m = 0,...,M − 1, pour ¯R S,M et ¯R M respectivement. On en déduit que [39] :
∫ B
E{y m yl H 2
}= [ σ2 S
− B B φ S(f 0 +f)φ S (f 0 +f) H + σ2 J
B φ J(f 0 +f)φ J (f 0 +f) H ]a(f,m − l)df +δ(m − l)MσnI 2 N
2
avec
a(f,m) = ∣ ∣ e
H
m e(f) ∣ ∣ 2 , m = 0,...,M − 1 (3.32)

3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes 57
et
Enfin, on note :
⎡
e(f) = ⎢
⎣
⎤
1
e j2πfT
⎥
. ⎦ .
e j2πf(M−1)T
E{y m y H m } = S f(m) + S n (m)
la matrice de covariance spatio-fréquentielle des données sur la sous-bande m avec S f (m) et S n (m) correspondant
respectivement aux matrices de covariance spatio-fréquentielle du signal utile et des interférences
plus bruit.
Expression du SINR
Un filtrage spatial est appliqué sur chaque case fréquentielle. Lorsque l’algorithme MVDR est appliqué,
le filtre spatial s’écrit :
w m =
S−1 n (m)φ m
φ m S −1 , m = 0,...,M − 1 (3.33)
n (m)φ m
avec
⎡
⎤
1
e jπu S
fm
fmax
φ m =
⎢
⎥
⎣ . ⎦
et
f m =
e jπ(N−1)u S
fm
fmax
{
f0 + mB
M pour m < M 2
f 0 − B + mB
M sinon .
Ensuite, on suppose que E{y m y H l
} = δ(m − l)E{y m y H m}, ce qui est réaliste pour d’importantes valeurs
de M, cf. par exemple [6, chap. 5]. Dans ce cas, le SINR devient [6]
SINR ≈
avec S f (m) = ∫ B
2 σ
− B S 2
B
a(f,m)φ S (f 0 +f)φ H S (f 0+f)df et S n (m) = ∫ B
2
− B 2
2
Mσn 2I N. De plus, en développant (3.32), on obtient :
∑ M−1
m=0 wH mS f (m)w m
∑ M−1
m=0 wH m S n(m)w m
(3.34)
a(f,m) = sin2 ( πM(fT − m M ))
sin 2 ( π(fT − m M )) .
σ 2 J
B
a(f,m)φ J (f 0 +f)φ H J (f 0+f)df +
Comme cela a été expliqué dans [39], la fonction a(f,m) quantifie la puissance des fréquences différentes
de f m pour m = 0...M − 1 qui affectent S n (m). Idéalement elle vaut zéro sauf pour f = f m − f 0 . En
Fig.3.10, on trace les fonctions a(f,m) pour M = 16. Afin d’étudier dans la suite les performances du
filtrage par sous-bandes indépendantes après décomposition par TFD, on se placera dans le cas où le
signal utile se trouve dans la direction normale à l’antenne. Notons que l’on peut également se ramener
à cette situation en compensant les retards intercapteurs dans la direction visée (préfocalisation). Sous
cette hypothèse, on a (cf. [6]) :
SINR ≈
∑ M−1
m=0
M 2 σ 2 S
1
1 H S −1
n (m)1
que l’on obtient en utilisant (3.33) dans (3.34) avec φ m = φ S (f) = 1 de dimension (M × 1).
(3.35)

58 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
300
250
200
a(f,m)
150
100
50
0
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f/B
Fig. 3.10: a(f,m) pour m = 0..15
Etude de performance
Nous nous intéressons maintenant à l’étude de performance du filtrage par sous-bandes indépendantes
avec utilisation de l’algorithme MVDR. Plus précisément, on cherche à faire l’analyse du SINR donné par
(3.35). Ainsi, on remarque tout d’abord que le terme 1 H S −1
n (m)1 au dénominateur de (3.35) ressemble
au terme φ H ¯R S −1 φ S étudié lors de l’analyse de robustesse du filtrage spatial par rapport à la largeur
de bande. La différence entre les deux termes est liée à la présence de la fonction a(f,m) qui pondère
les différentes composantes fréquentielles intervenant dans S n (m). Notons ainsi que lorsque M = 1,
a(f,m) = 1 et les deux expressions sont identiques (en choisissant un signal utile normal à l’antenne).
Ce constat suggère d’utiliser l’approximation (3.23) obtenue dans la partie précédente pour analyser
1 H S −1
n (m)1. Une question se pose alors : lors de l’approximation de la matrice par une matrice de
rang deux, quel espacement fréquentiel prendre entre les matrices Précédemment, la valeur ∆f choisie
correspondait à l’écart type d’une variable aléatoire uniformément répartie entre −B/2 et B/2. Ce choix
est lié à la forme de la fonction de pondération des différentes composantes fréquentielles de ¯R à savoir
une fonction porte. Dans le cas présent, la fonction a(f,m) ressemble à une fonction gaussienne. On peut
donc choisir ∆f comme étant la valeur de l’écart type de la fonction gaussienne approchant la fonction
a(f,m). Introduisons pour cela la fonction gaussienne g(f,m) d’expression :
g(f,m) = M 2 e −(f+f 0 −fm)2
2σ 2 f (M) . (3.36)
Pour obtenir la valeur de σ f (M), on égalise les développements limités au premier ordre de chaque
fonction. Après un calcul rapide, on obtient :
σ f (M) =
√
3
2
B
πM . (3.37)
Afin d’illustrer cette approximation, on compare maintenant sur Fig.3.11 la fonction a(f,0) avec son
approximation gaussienne pour M = 8. En utilisant (3.37) à la place de ∆f dans (3.23), on obtient

3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes 59
70
60
a(f,0)
g(f,0)
50
40
30
20
10
0
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f/B
Fig. 3.11: Comparaison de a(f,0) et g(f,0) pour M = 8
l’approximation :
avec
1 H S −1
n (m)1 ≈ 1 (
M 1H R −1
n (m)1 −
b2 3σ 2 )
J ∆x2 (M)
4aM N 3 σn 2σ2 J ∆x2 (M) + 3σn
4
{
Rn (m) = σJ 2φm J φmH J + σn 2I N
φ m J = φ J(f m )
(3.38)
(3.39)
et a et b donnés par (3.24) et ∆x(M) = π σ f (M)
2 f max
u J . Nous remarquons que le second terme de (3.38)
est indépendant de la sous-bande m mais que ce n’est pas le cas du premier. Cependant, comme (3.38)
est une approximation, les termes négligeables devant le second ont été négligés et l’on peut se demander
( si la partie dépendante ) de la sous-bande dans 1 H R −1
n (m)1 ne peut pas être négligée devant
. Développons pour cela 1 H R −1
n (m)1 :
b 2
4aM
3σJ 2∆x2 (M)
N 3 σnσ 2 J 2∆x2 (M)+3σn
4
Or, pour Nπu JB
2f max
1 H R −1
n (m)1 = N σn
2 − σ2 J
σn
2
≪ 1, on peut écrire ∣ “
∣1 H φ m NπuJ
∣ 2 J = sin2 fm
2fmax
sin 2“ πu J fm
2fmax
∣ 1 H φ m ∣ 2
J
σn 2 + NσJ
2 .
” “ ” NπuJ
” ≈ sin2 f 0
2fmax
sin 2“ πu J f 0
2fmax
” = ∣ ∣1 H φ 0 ∣ 2 J . On en déduit
que lorsque le reste de l’approximation ( précédente, divisé par ) le nombre de capteurs (cf. l’expression de
1 H R −1
b2
n (m)1) est négligeable devant
4a
, on peut écrire :
3σ 2 J ∆x2 (M)
N 3 σ 2 n σ2 J ∆x2 (M)+3σ 4 n
1 H S −1
n (m)1 ≈ 1 M 1H R −1
n (0)1 −
b2
4aM
(
3σ 2 J ∆x2 (M)
N 3 σ 2 n σ2 J ∆x2 (M) + 3σ 4 n
)
(3.40)
qui est indépendant de m. Par conséquent, en remplaçant (3.40) dans (3.35) , on obtient :
(
SINR ≈ σS1 2 H R −1
n (0)1 − σ2 S b2 3σ 2 )
J ∆x2 (M)
4a N 3 σn 2σ2 J ∆x2 (M) + 3σn
4 . (3.41)

60 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
2.5
2
1.5
SINR (dB)
1
0.5
0
−0.5
exact, a(f,m)
approximation
exact, a(f,m)=g(f,m)
−1
0 10 20 30 40 50 60 70
M
Fig. 3.12: Comparaison entre le SINR approché (3.41) (- -) et le SINR exact (3.34) (—), en fonction de
M
Cette expression montre que le SINR est majoré par le SINR bande étroite σS 21H R −1
n (0)1. De plus,
elle converge vers cette valeur lorsque le nombre de sous-bandes M croit (parce que la fonction ∆x(M)
décroit). Afin d’illustrer l’approximation par simulations, on compare en Fig.3.12 la valeur approchée
du SINR (3.41) à la valeur exacte (3.35), en fonction de M. Le signal utile est normal à l’antenne
(u S = 0) et la source d’interférence a pour DOA u J = 0.05. Le nombre de capteurs est égal à N = 10.
Les autres paramètres sont inchangés. Puis, afin de distinguer les erreurs d’approximation provenant
de (3.23) de celles liées à la comparaison de a(f,m) avec la gaussienne g(f,m), on trace également le
SINR exact obtenu par (3.34) avec a(f,m) = g(f,m). On vérifie que les différentes courbes représentent
des fonctions croissantes du nombre de sous-bandes. Cependant, contrairement à la courbe du SINR
exact avec a(f,m) = g(f,m), on remarque une différence importante entre la courbe exacte avec la
véritable fonction a(f,m) et la courbe approchée. On en conclue donc que la différence provient de
l’erreur d’approximation de la fonction de pondération par une gaussienne. Cherchons donc maintenant
à analyser cette approximation.
Tout d’abord, en observant Fig.3.11, on note que la première différence importante entre les deux
fonctions est l’existence des lobes secondaires de a(f,m) qui n’existent pas avec g(f,m). Ensuite, la seconde
différence résulte de la périodicité de la fonction a(f,m). Ainsi, comme on peut le voir sur Fig.3.10, la
fonction a(f,m c ) avec m c = M 2
+ 1 a son lobe principal réparti autour des fréquences normalisées −0.5
et par périodicité 0.5. Par conséquent, les matrices S f (m c ) et S n (m c ) vont subir un étalement spectral
par rapport aux autres matrices S f (m) et S n (m) avec m ≠ m c , et l’antibrouillage de la sous-bande
correspondante s’en trouve dégradé. Pour illustrer cette remarque, on représente en Fig.3.13 les valeurs
propres de la matrice S n (m) lorsque M = 16. On vérifie que l’étalement spectral de S n (m c ) est plus
important que celui des autres matrices S n (m) avec m ≠ m c . Afin d’éviter cette dernière dégradation,
on peut modifier la fréquence d’échantillonnage. Ainsi, en suréchantillonnant, on peut éviter que le filtre
m c se trouve réparti autour des fréquences − B 2 et B 2 . Si l’on note B ech la fréquence d’échantillonnage, on
peut alors montrer qu’un choix empirique efficace est :
B ech = B(1 + 2 ). (3.42)
M

3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes 61
55
50
45
40
m c
=M/2+1
dB
35
30
25
m≠m c
20
15
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
indice de valeur propre
Fig. 3.13: Comparaison des valeurs propres des différentes matrices S n (m) lorsque M = 16
Pour observer l’influence de ce paramètre, on compare maintenant les performances exactes (3.35) et
approchées par (3.41) lorsque la fréquence d’échantillonnage est donnée par (3.42). En reprenant les paramètres
de Fig.3.12, on obtient Fig.3.14. En comparant Fig.3.12 et Fig.3.14, on note que les différences
entre la courbe exacte (—) et la courbe approchée (- -) s’atténuent sensiblement lorsque l’on suréchantillonne
suivant (3.42). Cependant, l’erreur d’approximation reste importante, montrant les limites de l’utilisation
d’une décomposition par TFD dans un contexte de filtrage adaptatif par sous-bandes.
3.5.2 Décomposition par banc de filtres
Formation du banc de filtres
Afin d’améliorer les performances d’antibrouillage, on cherche maintenant à modifier les filtres de
décomposition en sous-bandes, de façon à les rendre plus sélectifs en fréquence. Pour cela, on s’appuie
sur la théorie des bancs de filtres à reconstruction parfaite ou presque parfaite (cf. par exemple [40]). En
particulier, on s’intéresse à l’utilisation de bancs de filtres à TFD uniforme pour lesquels le filtre prototype
est formé par interpolation d’un filtre QMF comme dans [41]. Cette méthode permet d’effectuer une
décomposition en un nombre quelconque de sous-bandes (sous la seule contrainte de parité de ce nombre)
en s’appuyant sur les travaux de synthèse de filtres QMF existant. De plus, l’erreur de reconstruction
des signaux est déterminée par le prototype du banc de filtres QMF choisi et pour lequel de nombreuses
études d’optimisation ont été réalisées [42].
Tout d’abord, donnons un exemple de banc de filtres utilisé lorsque le nombre de sous-bandes est choisi
égal à M = 8. Le filtre prototype est formé par interpolation sur 4 points d’un filtre QMF. Les coefficients
de la réponse impulsionnelle de ce dernier sont repris de [43]. Dans cet article, l’auteur propose une optimisation
afin de minimiser la fluctuation de la réponse du système et de maximiser la rejection en dehors
de la bande passante. On choisit d’utiliser dans l’exemple le filtre ayant une réponse impulsionnelle de 32
coefficients (32 TAP C) dont les caractéristiques sont explicitées dans [43]. On représente la fonction de
transfert des différents filtres composant le banc de filtres en Fig.3.15. On vérifie que les lobes secondaires
des fonctions de transfert sont très faibles et que la réponse en fréquence du système est plate.

62 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
2.5
2
1.5
SINR(dB)
1
0.5
0
−0.5
−1
0 10 20 30 40 50 60 70
M
Fig. 3.14: Comparaison entre le SINR approché (3.41) (- -) et le SINR exact (3.34) (—), en fonction de
M, lorsque la fréquence d’échantillonnage est égale à B ech
10
0
−10
−20
−30
dB
−40
−50
−60
−70
−80
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
frequence normalisee
Fig. 3.15: Fonction de transfert des filtres du banc de filtres, avec M = 8 sous bandes

3.6 Conclusion 63
2.5
2
1.5
SINR(dB)
1
0.5
0
−0.5
−1
0 10 20 30 40 50 60 70
M
Fig. 3.16: Comparaison entre le SINR approché (3.41) (- -) et le SINR exact (3.34) (—), en fonction de
M, avec décomposition par banc de filtres, lorsque la fréquence d’échantillonnage est égale à B ech
Etude de performance
Cherchons maintenant à quantifier analytiquement les performances du filtrage en sous-bandes indépendantes
après décomposition par de tels bancs de filtres. A la différence de la décomposition par TFD, on remarque
que les fonctions de transfert des filtres sont plates dans leur bande passante. Par conséquent, la fonction
porte permet d’en donner une bonne approximation. Comme dans le paragraphe 3.4, on utilisera par
conséquent l’écart type σ f (M) =
B
2M √ dans (3.41). Dans Fig.3.16, on compare le SINR exact donné par
3
((3.35)) au SINR approché donné par (3.41) avec les mêmes paramètres que pour Fig.3.14. En comparant
Fig.3.16 à Fig.3.14, on remarque tout d’abord que les SINRs exacts et approchés de Fig.3.16 sont
respectivement supérieurs aux SINRs exacts et approchés de Fig.3.14 On vérifie ainsi que le filtrage par
sous-bandes indépendantes est beaucoup plus efficace lorsque les sous-bandes sont formées par utilisation
d’un banc de filtres que par TFD. Puis, on remarque sur Fig.3.16 que contrairement à Fig.3.14, la courbe
approchée donne maintenant une approximation précise du SINR exact.
3.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés à l’étude de robustesse du filtrage spatial adaptatif
bande étroite par rapport à la largeur de bande. Ainsi, nous avons considéré le critère de la perte en
performance du filtrage adaptatif bande étroite standard, en termes de SINR, résultant de l’augmentation
de largeur de bande. Dans un premier temps, nous avons montré que cette perte en SINR était majorée
par le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la
valeur propre de bruit. Ensuite, en utilisant des résultats sur les valeurs et vecteurs propres de matrices
de covariance de signaux très rapprochés en fréquence, une expression interprétable de la perte en SINR
a été calculée et des conditions suffisantes pour que la perte en SINR atteigne presque la borne supérieure
ont été données. A partir de l’expression de la perte en SINR obtenue, deux définitions de la notion de
‘bande étroite’ au sens du filtrage spatial adaptatif ont été proposées. Enfin, les résultats de l’étude de
robustesse ont été appliqués à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes.

64 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande

Chapitre 4
Etude de performance asymptotique du
filtrage spatio-temporel adaptatif large
bande MSINR
Sommaire
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Problème des valeurs propres généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc
Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1 Introduction
Dans de nombreuses applications en détection, comme le radar et le sonar, le principal critère de
performance est le rapport signal sur bruit (SINR). Si un filtre linéaire est appliqué sur les données, le SINR
correspond à un quotient de Rayleigh associé aux matrices de covariance des composantes de signal et
d’interférences plus bruit. Dans de nombreuses applications, ces matrices possèdent une certaine structure.
Par exemple, si les données d’observation sont modélisées par des processus aléatoires stationnaires au
second ordre, elles possèdent une structure de Toeplitz dans le cas d’un filtrage temporel et bloc Toeplitz
dans le cas d’un filtrage spatio-temporel. Dans le cas plus général d’un processus aléatoire stationnaire
au second ordre, de dimension quelconque, les matrices de covariance ont une structure multi-niveaux
Toeplitz bloc Toeplitz.
Dans ce chapitre, on étudie le problème de l’influence de l’ordre du filtre sur le SINR optimal. Plus
spécifiquement, on considère le cas de matrices bloc Toeplitz 1 . Comme le SINR optimal correspond à la
valeur maximale d’un quotient de Rayleigh, il peut être interprété comme la plus grande valeur propre
généralisée des deux matrices. Par conséquent, le problème de l’influence de l’ordre du filtre sur le SINR est
très lié au problème de valeurs propres généralisées. En analyse numérique, un problème similaire traite de
l’analyse du comportement des valeurs propres d’une matrice préconditionnée. Le préconditionnement est
par exemple utilisé avec la méthode du gradient conjugué et a pour but de concentrer les valeurs propres
d’une matrice pour accélérer la convergence de l’algorithme (cf. par exemple [44]). Pour ce problème,
des résultats sur le comportement asymptotique des valeurs propres de matrices bloc Toeplitz ont été
1 Le cas général des matrices multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz est étudié dans le chapitre suivant, car il n’est pas
directement applicable à l’étude de performance du filtrage spatio-temporel considérée dans ce chapitre.

66 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
obtenus [45]. En particulier, les auteurs ont calculé la valeur limite exacte du nombre de conditionnement
d’une séquence de matrices Hermitiennes bloc Toeplitz préconditionnées, après calcul de la limite des
plus petite et plus grande valeurs propres de cette séquence de matrice. Cette analyse a été effectuée sous
l’hypothèse mathématique selon laquelle la séquence de matrices Hermitiennes bloc Toeplitz est générée
par des fonctions matricielles Hermitiennes mesurables et bornées presque partout. Cependant, il n’y a
pas d’extension du célèbre théorème de Szegö [46], qui affirme que les valeurs propres d’une séquence de
matrices Hermitiennes de Toeplitz se comportent asymptotiquement comme les échantillons de la transformée
de Fourier de ses entrées, aux valeurs propres généralisées d’une paire de matrices Hermitiennes
dans [45], ni à notre connaissance dans la littérature. Ce théorème nous permet de caractériser la distribution
des valeurs propres de matrices de Toeplitz à partir de laquelle de nombreuses propriétés peuvent
être déduites (cf. par exemple [47]).
Ici, nous proposons une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées des matrices
bloc Toeplitz, la taille des blocs restant fixe. La preuve est faite sous l’hypothèse d’éléments absolument
sommables. Cette hypothèse nous permet d’utiliser l’approche proposée par Gray dans [48] et reposant
sur l’équivalence asymptotique de séquences de matrices. Auparavant, afin d’avoir une caractérisation
des valeurs propres généralisées de paires quelconques de matrices Hermitiennes complète, on introduit
une extension du théorème d’entrelacement de Cauchy qui fournit des inégalités sur les valeurs propres
généralisées d’une paire de matrices Hermitiennes et de leurs sous-matrices principales.
Ensuite, en seconde partie de ce chapitre, l’extension du théorème de Szegö est appliquée à l’étude de
performance du filtrage spatio-temporel (ou avec des lignes à retard) large bande (cf. par exemple, [6, chap.
6.13]) maximisant le SINR. On calcule ainsi l’expression du SINR spatio-temporel optimal asymptotique
par rapport au nombre de retards pour montrer qu’il peut améliorer le SINR spatial optimal à bande
étroite associé. Ce résultat est illustré par des simulations numériques, tout comme la convergence du
SINR à nombre fini de retards vers le SINR asymptotique. On peut noter que de nombreux auteurs ont
étudié la performance des algorithmes de formation de faisceaux large bande, implémentés dans le domaine
temporel (cf. par exemple, [49,50]), ou dans le domaine fréquentiel (cf. par exemple, [35,39]). Cependant,
à notre connaissance, ils ont considéré différents critères d’optimisation du filtre spatio-temporel, comme
les critères Minimum Mean Square Error (MMSE) (cf. par exemple, [3,49]), ou Minimum Variance with
Distortionless Response (MVDR) (cf. par exemple, [51]). De plus, la plupart des études ont été réalisées
au travers de simulations numériques (cf. par exemple, [49–52]) et peu de résultats analytiques existent.
De plus, ils ont été obtenus pour des cas particuliers d’antennes avec un nombre limité de capteurs (cf.
par exemple, [3,53,54]). Contrairement aux approches précédentes, notre approche est asymptotique au
sens du nombre de retards, ce qui nous permet de considérer des antennes quelconques avec un nombre
fixé mais arbitraire d’éléments.
Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Tout d’abord, le principe du problème des valeurs propres
généralisées est rappelé et un théorème d’entrelacement des valeurs propres généralisées est proposé. Puis,
après un rappel des résultats existants sur l’équivalence asymptotique de séquences de matrices, une
preuve du théorème de Szegö étendu au comportement asymptotique des valeurs propres généralisées de
matrices bloc Toeplitz est donnée. Enfin, ce théorème est appliqué à l’étude de performance asymptotique
du filtrage spatio-temporel large bande optimal au sens de la maximisation du SINR.
4.2 Problème des valeurs propres généralisées
Dans cette section, on commence par faire un rappel sur le problème des valeurs propres généralisées.
Ensuite, on étend le théorème d’entrelacement, bien connu dans le cas des valeurs propres de sous-matrices
Hermitiennes (cf. par exemple [55, theorem 4.3.15]), au cas des valeurs propres généralisées de matrices
Hermitiennes. Enfin, on fait quelques commentaires sur deux cas particuliers apparaissant fréquemment
dans des applications de traitement de signal.

4.2 Problème des valeurs propres généralisées 67
4.2.1 Points stationnaires d’un quotient de Rayleigh
Etant donné deux matrices Hermitiennes A et B de dimension m × m, et un vecteur w de dimension
(m × 1), avec B définie positive, le quotient de Rayleigh est défini comme le rapport :
r(w) = wH Aw
w H Bw . (4.1)
Ce rapport est très lié au problème des valeurs propres généralisées. Ses points stationnaires (i.e. les
vecteurs w annulant le gradient complexe) peuvent être interprétés comme les vecteurs propres généralisés
des matrices A et B. En effet, en annulant le gradient complexe de (4.1) par rapport à w, on obtient :
Aw = r(w)Bw.
C’est l’expression d’un problème de valeurs propres généralisées. 2 Par conséquent, les points stationnaires
w et valeurs stationnaires r(w) du quotient de Rayleigh sont respectivement les vecteurs et valeurs propres
généralisées λ(A,B) du problème de valeurs propres généralisées correspondant 3 . De plus, comme B est
définie positive, l’expression précédente est équivalente à
B −1 Aw = r(w)w
et les vecteurs et valeurs propres généralisées de A et B correspondent respectivement aux vecteurs et
valeurs propres de B −1 A, i.e., λ(A,B) = λ(B −1 A).
4.2.2 Théorème d’entrelacement généralisé
Le théorème d’entrelacement (ou théorème d’entrelacement de Cauchy) fournit des inégalités sur les
valeurs propres d’une matrice Hermitienne et celles de leurs sous-matrices principales. Pour toutes sousmatrices
principales A m−1 de dimension (m − 1) × (m − 1) d’une matrice Hermitienne A m , la propriété
d’entrelacement s’écrit sous la forme :
λ i+1 (A m ) ≤ λ i (A m−1 ) ≤ λ i (A m )
pour i = 1,...,m − 1, où les valeurs propres sont rangées par ordre décroissant. Ce résultat se déduit du
théorème Min-Max de Courant-Fischer [55, theorem 4.3.8]. Maintenant, plaçons nous dans le contexte du
problème de valeurs propres généralisées pour lequel nous souhaitons relier les valeurs propres généralisées
d’une paire de matrices Hermitiennes A et B aux valeurs propres généralisées de leurs sous-matrices
principales associées. En utilisant le théorème Min-Max, on montre en Annexe B le résultat suivant
semblable au théorème d’entrelacement :
Théorème 1 (théorème d’entrelacement généralisé) : soit A m et B m deux matrices Hermitiennes de
dimension m × m, où B m est définie positive, de valeurs propres généralisées λ i (A m ,B m ). Alors, pour
toutes sous-matrices principales A m−1 et B m−1 , associées aux mêmes lignes et colonnes, de respectivement
A m et B m , et pour tout i, 1 ≤ i ≤ m − 1 :
λ i+1 (A m ,B m ) ≤ λ i (A m−1 ,B m−1 ) ≤ λ i (A m ,B m ).
2 Notons que différentes extensions du problème des valeurs propres généralisées ont été proposées dans la littérature (cf.
par exemple [56]).
3 Notons que pour des matrices Hermitiennes A et B avec B définie positive, les valeurs propres généralisées sont réelles
et les vecteurs propres généralisés associés à différentes valeurs propres généralisées sont orthogonaux au sens du produit
scalaire (x,y) = x H By.

68 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
4.2.3 Cas Toeplitz et bloc Toeplitz
Appliquées aux statistiques, les matrices A et B peuvent être interprétées comme les matrices de covariance
de processus stochastiques et par conséquent Hermitiennes semi-définies positives. Très fréquemment,
les processus stochastiques sont la somme de deux processus centrés : le processus d’intérêt et le processus
de bruit, de matrices de covariance respectives A et B. Dans ce cas, le quotient de Rayleigh (4.1) peut
être interprété comme un SINR après application d’un filtre linéaire sur les processus stochastiques. Dans
ce cas, B est presque toujours définie positive et une question d’intérêt est la maximisation du quotient
(4.1) pour différents ordres du filtre linéaire.
Deux cas particuliers importants peuvent être développés, selon les propriétés du processus et de
l’échantillonnage. Tout d’abord, dans le cas d’un échantillonnage périodique temporel de processus aléatoires
stationnaires au second ordre, les matrices de covariance sont Toeplitz. Puis, dans le cas d’un échantillonnage
spatio-temporel, les matrices sont bloc Toeplitz si l’ordre d’échantillonnage est spatial puis temporel ou à
blocs de Toeplitz autrement (i.e., temporel puis spatial). Dans la suite, nous nous restreignons à l’analyse
de valeurs propres généralisées de cette dernière catégorie de matrices.
4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices
bloc Toeplitz
L’objectif de cette section est d’étendre le théorème de Szegö [46] au cas des valeurs propres généralisées
des matrices bloc Toeplitz sous l’hypothèse que les éléments générant les matrices sont absolument sommables.
Dans ce but, on commence par expliquer les notations puis on effectue un rappel des résultats
existants utiles dans la preuve du théorème (Théorème 2). Ensuite, on introduit trois lemmes (lemmes
2-4) sur lesquels on base notre preuve du théorème. Plus précisément, Théorème 2 utilise directement les
résultats de Lemme 4, prouvé grâce à Lemme 2 et 3.
4.3.1 Notations et résultats existants
Notations
Notons A ′ m,n et B ′ m,n deux matrices Hermitiennes bloc Toeplitz avec B ′ m,n définie positive. Les deux
matrices sont composées de m×m blocs de dimension n×n, où les blocs sont non nécessairement Toeplitz.
Elles sont associées avec les matrices à blocs de Toeplitz A m,n et B m,n par les relations
A ′ m,n = K m,n A m,n K n,m
B ′ m,n = K m,nB m,n K n,m
(4.2)
où K m,n représente la matrice de permutation lignes-colonnes [57] et par conséquent :
de sorte que les matrices B ′ −1
m,n A′ m,n
B ′ −1
m,nA ′ m,n=K −1
n,mB −1
m,nK −1
m,nK m,n A m,n K n,m =K −1
n,mB −1
m,nA m,n K n,m
et B−1 m,n A m,n sont semblables. Les paires (A ′ m,n ,B′ m,n ) et (A m,n,B m,n )
ont donc les mêmes valeurs propres généralisées. Cependant, la formulation à blocs de Toeplitz A m,n et
B m,n est préférée car elle permet de manipuler des blocs de Toeplitz pour lesquels Lemme 1 s’applique.
Ainsi, les matrices à blocs de Toeplitz A m,n sont égales à :
⎡
A m,n = ⎢
⎣
m ... A 1,n ⎤
m
m ... A 2,n
m
⎥
. . . ⎦
A n,1
m A n,2
m ... A n,n
m
Am 1,1 A 1,2
Am 2,1 A 2,2

4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz 69
où (A u,v
n ) u=1..n,v=1..n représentent les matrices Toeplitz de dimension m × m données par :
A u,v
m =
⎡
⎢
⎣
a u,v
0 a u,v
−1 ... a u,v
. .. . .. a
u,v
a u,v
1
.
a u,v
m−1
−(m−1)
−(m−2)
. .. .
a u,v
m−2 ... a u,v
0
⎤
⎥
⎦
(4.3)
où {a u,v
k } k=...,−1,0,1,... est une séquence de scalaires complexes absolument sommable, ce qui garantit
l’existence de la transformée de Fourier 2π périodique associée a u,v (ω) = ∑ k au,v k e−ikω . Ces notations
étendent les matrices à blocs de Toeplitz B m,n . Notons que A m,n est Hermitienne si et seulement si
A u,v
m = (A v,u
m ) H , u,v = 1,...,n équivalent à a u,v (ω) = (a v,u (ω)) ∗ , u,v = 1,...,n.
Résultats existants
Pour étudier le comportement asymptotique de séquences de matrices, deux normes ont été introduites
dans [48]. Ce sont la norme spectrale ‖.‖ (ou norme forte) et la norme de Frobenius normalisée |.| (norme
faible).
|A m | 2 def
= 1 m
m∑
i=1 j=1
m∑
|a i,j | 2 .
Les deux normes sont utilisées pour la définition de l’équivalence asymptotique donnée dans [48] :
Définition : deux séquences de matrices {A m } et {B m }, n = 1,2,... sont dites asymptotiquement
équivalentes et notées A m ∼ B m lorsque
1. ∃M < ∞ tel que ∀m, ‖A m ‖ ≤ M et ‖B m ‖ ≤ M
2. lim m→∞ |A m − B m | = 0.
On rappelle maintenant un lemme sur les matrices bloc Toeplitz [58], qui sera utile dans la suite :
Lemme 1 Pour toutes séquences absolument sommables {a u,v
k } k=...,−1,0,1,..., il existe une séquence de
matrices {C m (a)} asymptotiquement équivalente à {A m,n } et donnée par :
C m (a) = U H m,n ∆ m(a)U m,n
où U m,n = I n ⊗ U m est une matrice unitaire de dimension mn × mn indépendante de A m,n avec U m la
matrice de transformée de Fourier discrète unitaire et où ∆ m (a) est la matrice suivante :
∆ m (a) def =
⎡
⎢
⎣
D m (a 1,1 ) D m (a 1,2 ) · · · D m (a 1,n )
D m (a 2,1 ) D m (a 2,2 ) ... D m (a 2,n )
. . .
D m (a n,1 ) D m (a n,2 ) · · · D m (a n,n )
( )
avec D m (a u,v ) les matrices diagonales ayant leur k eme élément donné par (D m (a u,v )) k,k = a u,v 2π(k−1)
m
.
⎤
⎥
⎦
Notons que contrairement au lemme du cas original de Toeplitz (cf. par exemple [47]), la matrice C m (a)
n’est pas circulante et la matrice ∆ m (a) n’est pas diagonale.

70 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
4.3.2 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc
Toeplitz
Après le rappel de résultats utiles, on prouve maintenant un théorème qui étend le théorème de
Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz (Théorème 2). Tout d’abord, on détaille
trois lemmes (Lemmes 2-4) utilisés dans la preuve du théorème. Pour prouver en Annexe C, l’extension
du lemme [47, lemma 6], on introduit la matrice spectrale suivante :
⎡
a 1,1 (ω) a 1,2 (ω) · · · a 1,n ⎤
(ω)
a 2,1 (ω) a 2,2 (ω) ... a 2,n (ω)
A(ω) = ⎢
⎥
⎣ . . . ⎦
a n,1 (ω) a n,2 (ω) · · · a n,n (ω)
où a u,v (ω) est la transformée de Fourier des séquences absolument sommables { a u,v }
k
pour
k=...,−1,0,1,...
u,v = 1,...,n. B(ω) est définie de la même manière à partir de b u,v (ω). Notons que A(ω) est Hermitienne
pour tout ω si A m,n est Hermitienne. On suppose maintenant que A m,n et B m,n sont Hermitiennes. On
prouve le lemme suivant en Annexe C.
Lemme 2 Soit A m,n une matrice Hermitienne avec des blocs Toeplitz générés par des séquences absolument
sommables { a u,v }
k k=...,−1,0,1,... . Pour toutes valeurs propres quelconques λ(A m,n) de A m,n , on
a :
min
ω,λ λ(A(ω)) ≤ λ(A m,n) ≤ max
ω,λ λ(A(ω)) .
Considérant maintenant une matrice Hermitienne définie positive bloc Toeplitz, on prouve le lemme
suivant en Annexe C :
Lemme 3 Soit B m,n une matrice Hermitienne définie positive avec des blocs Toeplitz et des séquences
absolument sommables { b u,v }
k k=...,−1,0,1,... et la matrice asymptotiquement équivalente C m(b) donnée par
Lemme 1. Si, min ω,λ λ {B(ω)} = m b > 0, alors
Ensuite, on montre également en Annexe C :
B −1
m,n ∼ C −1
m (b).
Lemme 4 Avec les hypothèses de Lemme 3, si A m,n est une matrice Hermitienne avec des blocs Toeplitz
générés par des séquences absolument sommables {a u,v
k } k=...,−1,0,1,..., les matrices associées C m (a) et
C m (b) données par Lemme 1 vérifient :
B −1
m,nA m,n ∼ C −1
m (b)C m (a).
On introduit maintenant l’intervalle I ω = [min ω,λ λ(B −1 (ω)A(ω)),max ω,λ λ(B −1 (ω)A(ω))] et on prouve
en Annexe C l’extension suivante du théorème de Szegö [46] sur les valeurs propres généralisées de matrices
bloc Toeplitz. L’analyse utilise la propriété selon laquelle les valeurs propres généralisées de deux matrices
A et B sont les valeurs propres de B −1 A.
Théorème 2 Soit A m,n et B m,n deux matrices Hermitiennes avec des blocs Toeplitz, et B m,n définie positive,
respectivement générées par des séquences absolument sommables { a u,v
k
}k=...,−1,0,1,... et { b u,v }
k
avec min ω,λ λ {B(ω)} = m b > 0. Alors, pour toute fonction continue F sur I ω
lim m→∞
1
m
nm∑
k=1
F(λ k (A m,n ,B m,n )) = 1 ∫ π
2π −π
n∑
F(λ u (A(ω),B(ω))dω.
u=1
k=...,−1,0,1,... ,

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 71
Comme cela a été démontré dans [47, 48], et ajouté au fait que, pour tout m, les valeurs propres de
B −1
m,n A m,n sont dans I ω , Théorème 2 conduit au corollaire suivant :
Corollaire 1 Pour tout entier l, les l plus petites et plus grandes valeurs propres généralisées de (A m,n ,B m,n )
sont convergentes en m et
lim λ nm−l+1(A m,n ,B m,n ) = minλ n (A(ω),B(ω))
m→∞ ω
et
lim λ l(A m,n ,B m,n ) = max λ 1(A(ω),B(ω)).
m→∞ ω
Remarque : les résultats de ce paragraphe s’appliquent naturellement dans le cas particulier de matrices
Toeplitz Hermitiennes (n = 1) générées par les spectres scalaires a(ω) = ∑ k a ke −ikω et b(ω) = ∑ k b ke −ikω .
En particulier, les deux limites du corollaire précédent se réduisent à respectivement min ω b −1 (ω)a(ω) et
max ω b −1 (ω)a(ω).
4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle
La formation de faisceaux est utilisée dans de nombreuses applications. Elle consiste à filtrer spatialement
des signaux, grâce à un réseau de capteurs, et permet de former des trous dans la direction des
interférences tout en maintenant un gain donné dans la direction souhaitée. Habituellement, les signaux
sont bande étroite [33] et peuvent être efficacement traités par utilisation d’un filtrage spatial seul (cf. par
exemple [2]). Cependant, lorsque les signaux sont large bande, les performances de la formation de faisceaux
se dégradent (voir le chapitre précédent). Une sorte de compensation fréquentielle est requise pour
garder de bonnes performances en rejection des interférences. Cela peut se faire par des implémentations
dans le domaine temporel ou fréquentiel, dont les performances dépendent de l’environnement du signal
et des interférences [35,39,52,59]. Dans ce chapitre, on s’intéresse à une implémentation dans le domaine
temporel, par utilisation de lignes à retard (cf. par exemple [50]). Cette implémentation a été étudiée par
de nombreux auteurs au travers de simulations numériques [49–51,54] pour différents critères d’optimisation
des filtres. Cependant, à notre connaissance, peu de résultats analytiques existent dans le cas du
filtrage maximisant le SINR. De plus, les études précédentes ont été effectuées pour des antennes linéaires
ou circulaires ayant un nombre limité d’éléments (cf. par exemple [3,53,54]) parce que l’analyse avec un
nombre quelconque d’éléments est fastidieuse. A la différence des approches précédentes, notre approche
est asymptotique par rapport au nombre de retards mais peut être appliquée à des antennes quelconques
possédant un nombre fixé mais arbitraire de capteurs.
Comme dans [6], nous supposons que les signaux en sortie de chaque capteur ont été démodulés
en quadrature et que l’espacement entre les retards est inférieur ou égal à la période de Shannon 1 T =
B où B est la bande des signaux. Après le rappel de l’expression des matrices de covariance spatiotemporelles,
on montre que le SINR spatio-temporel optimal peut être interprété comme la valeur propre
généralisée maximale d’une paire de matrices bloc Toeplitz. Ensuite, en utilisant Corollaire 1, on étudie
les performances asymptotiques, en terme de SINR après formation de faisceaux spatio-temporelle, au
sens du nombre de retards. Finalement, on analyse l’influence des différents paramètres d’implémentation
et on illustre les résultats au travers d’exemples numériques.
4.4.1 Modélisation des données
Considérons un réseau composé de N capteurs. On note B la bande des signaux autour de la fréquence
porteuse f 0 . Ensuite, on considère un environnement composé d’un champ d’interférences, de bruit thermique
et d’un signal utile. Les signaux d’interférence et le bruit thermique sont modélisés par des processus
aléatoires stationnaires au second ordre, de largeur de bande non nulle, et de plus, le bruit thermique

72 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
est spatialement blanc, de puissance σn 2 . En bande de base, les signaux d’interférence ont pour puissance
(σj 2) j=1..J et pour densité spectrale de puissance (S j (f)) j=1..J . La matrice de covariance spatiale
interférences plus bruit est égale à :
¯R =
∫ B
2
− B 2
J∑
S j (f)φ(θ j ,f + f 0 )φ(θ j ,f + f 0 ) H df + σnI
2
j=1
avec
[
φ(θ j ,f + f 0 ) =
e jkrT 1 i(θ j)
e jkrT 2 i(θ j)
· · · e jkrT M i(θ j)
] T
où (r n ) n=1..N représente un vecteur pointant de l’origine au capteur n, i(θ j ) un vecteur de norme unité
pointant dans la direction θ j de la source d’interférence et k = 2π f+f 0
c
, où c est la vitesse de propagation
de l’onde. Le signal utile est également modélisé par un processus aléatoire stationnaire stationnaire au
second ordre ,de largeur de bande non nulle, de DSP (S S (f)) j=1..J et de puissance σS 2. La DOA θ S de la
source utile est supposée connue. Sa matrice de covariance spatiale de dimension N × N s’écrit sous la
forme :
¯R S =
∫ B
2
− B 2
S S (f)φ(θ S ,f + f 0 )φ(θ S ,f + f 0 ) H df.
4.4.2 Expression des matrices de covariance spatio-temporelles
Notons M le nombre de retards utilisé lors du traitement spatio-temporel. Les matrices de covariance
d’interférences plus bruit et du signal utile, respectivement ¯R M et ¯R S,M sont de dimension MN × MN.
Les processus étant stationnaires au second ordre, les matrices de covariance spatio-temporelles ont une
structure bloc Toeplitz et peuvent s’écrire sous la forme :
⎡
⎢
⎣
⎤
R 0 R H 1 · · · R H M−1
.
R .. . .. 1 R
H M−2
.
. ..
⎥ . ⎦
R M−1 R M−2 ... R 0
(4.4)
avec
et
⎡
∫ B
2
R m = ⎣
− B 2
R m =
⎤
J∑
S j (f)φ(θ j ,f+f 0 )φ(θ j ,f+f 0 ) H + σ2 n
B I ⎦e −i2πmfT df
j=1
∫ B
2
− B 2
S S (f)φ(θ S ,f + f 0 )φ(θ S ,f + f 0 ) H e −i2πmfT df
avec m = 0,...,M −1, pour ¯R M et ¯R S,M respectivement. Notons que les blocs ne sont pas nécessairement
Toeplitz, cela dépendant de la structure de l’antenne. Après introduction de ω = 2πfT et ω 0 = 2πf 0 T,
ces deux matrices de covariance spatio-temporelles deviennent :
⎡
R m = 1 ∫ πBT
⎣
2π −πBT
⎤
J∑
S j (ω)φ j (ω)φ j (ω) H + σn 2 I ⎦ e −imω dω
j=1
et
R m = 1 ∫ πBT
S S (ω)φ
2π
S (ω) φ S (ω) H e −imω dω
−πBT

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 73
avec S j (ω) def = 1 T S j( ω
2πT ), S S (ω) def = 1 T S S( ω
2πT ), φ j (ω) def = φ ( θ j , ω+ω )
0
2πT et φS (ω) def = φ ( θ S , ω+ω )
0
2πT . Par
conséquent, R m , m = ..., −1,0,1,..., (R −m = R H m ) sont générés par les coefficients de Fourier des fonctions
matricielles Hermitiennes de dimension N × N :
R(ω) =
{∑ J
j=1 S j(ω) φ j (ω)φ j (ω) H +σ 2 nI for |ω| ≤ πBT
0 for πBT < |ω| ≤ π
et
R S (ω) =
{
SS (ω) φ S (ω)φ S (ω) H for |ω| ≤ πBT
0 for πBT < |ω| ≤ π .
4.4.3 Etude de performance asymptotique
Interférences quelconques
La formation de faisceaux spatio-temporelle consiste à filtrer linéairement les données par un vecteur
où les filtres spatiaux aux différents retards sont concaténés. On note le filtre w M , lorsque M retards
sont utilisés. Dans ce chapitre, on considère le critère d’optimisation du SINR maximal. Le filtrage spatiotemporel
optimal (au sens de la maximisation du SINR) maximise le quotient de Rayleigh généralisé :
SINR(M) def w H
= max
¯R M S,M w M
w M wM H ¯R (4.5)
M w M
où ¯R S,M et ¯R M sont les matrices de covariance spatio-temporelles des signaux utiles et d’interférences
plus bruit, respectivement, données par (4.4). Comme cela a été remarqué précédemment, ¯RS,M et ¯R M
sont respectivement, Hermitienne semi-définie positive et Hermitienne définie positive. Par conséquent, la
solution de ce problème d’optimisation est donnée par le vecteur propre généralisé principal de ces deux
matrices, soit :
−1
w M ∝ P( ¯R ¯R M S,M )
où P(.) représente le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre généralisée d’une matrice.
Ensuite, le SINR spatio-temporel optimal est donné par la plus grande valeur propre généralisée de ¯R S,M
et ¯R M qui correspond également à :
SINR(M) = max
λ
−1
λ( ¯R ¯R M S,M ) = max λ( ¯R S,M , ¯R M ).
λ
Notant que le filtrage spatio-temporel avec M retards est un cas particulier du traitement avec M + 1
retards, où le filtre spatial correspondant au (M + 1) eme retard est forcé à zéro, on obtient l’inégalité
suivante relative à (4.5) :
SINR(M + 1) ≥ SINR(M).
Cette propriété peut également se déduire de Théorème 1 appliqué aux sous-matrices principales ¯R S,M
et ¯R M de ¯R S,M+1 et ¯R M+1 respectivement.
On considère dans la suite la limite du SINR par rapport à M pour des DOAs de sources d’interférence
et de source utile arbitraires. Dans le cas où T = 1 B
, les hypothèses de Théorème 2 et Corollaire 1 s’appliquent
à la séquence de matrices de covariance spatio-temporelles (R S,M ,R M ) par rapport au nombre
de retards :
lim SINR(M) =
M→∞
max
λ,ω∈[−π;π] {λ(R−1 (ω)R S (ω))}
= max
λ,f∈[− B 2 ; B 2 ] {λ(R −1 (f)R S (f))}

74 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
où
et
R(f) =
J∑
j=1
S j (f)φ (θ j ,f + f 0 )φ(θ j ,f + f 0 ) H + σ2 n
B I (4.6)
R S (f) = S S (f)φ(θ S ,f + f 0 )φ(θ S ,f + f 0 ) H .
Ensuite, comme R −1 (f)R S (f) est de rang un, elle possède l’unique valeur propre non nulle suivante,
associée au vecteur propre R −1 (f)φ (θ S ,f + f 0 ) :
et on obtient le résultat suivant :
S S (f)φ(θ S ,f + f 0 ) H R −1 (f)φ (θ S ,f + f 0 )
Résultat 6 Pour une formation de faisceaux spatio-temporelle optimale avec échantillonnage temporel à
la fréquence de Shannon, le SINR tend vers un SINR spatial optimal à bande nulle maximal, associé à
une fréquence dans la bande I f = [− B 2 ; B 2
] quand le nombre de retards tend vers ∞.
avec R(f) donnée par (4.6).
lim SINR(M) = max{S S (f)φ(θ S ,f + f 0 ) H R −1 (f)φ (θ S ,f + f 0 )} (4.7)
M→∞ f∈I f
Notons que le SINR spatio-temporel asymptotique (au sens du nombre de retards) (4.7) peut être
interprété comme le SINR spatial optimal (au sens de la maximisation du SINR) à bande nulle maximal
par rapport à une fréquence dans la bande I f . En conséquence, le filtre se comporte comme un filtre passe
bande à bande infinitésimale (à la fréquence solution de la maximisation (4.7)) suivi d’une formation de
faisceaux adaptative à bande nulle. Par conséquent, pour un nombre fini M de retards, le filtrage spatiotemporel
optimal peut surperformer le SINR spatial optimal à bande nulle, qui correspond à la fréquence
f = 0.
Dans le cas où T < 1 B , les matrices spectrales R S(ω) et R(ω) sont à bande limitée sur [−πBT,πBT],
de sorte que min λ,ω λ(R(ω)) = 0 et les hypothèses de Théorème 2 et Corollaire 1 ne sont plus vérifiées.
L’extension de Corollaire 1 dans la sous-bande [−πBT,πBT] est alors difficile (cf. par exemple [60]).
Cependant, des simulations numériques extensives montrent que le résultat s’étend dans ce cas (cf. le
paragraphe 4.4.4).
Dans la suite, on suppose que le signal utile est blanc, i.e. S S (f) = σ2 S
B
. On analyse maintenant la
situation particulière d’interférences dont les spectres s’annulent en au moins une fréquence.
Signaux d’interférence dont les spectres s’annulent en au moins une fréquence
Dans ce cas particulier, le résultat suivant est prouvé en Annexe D :
Résultat 7 En présence de plusieurs signaux d’interférence dont les spectres s’annulent en au moins une
fréquence commune et d’un signal utile blanc, on a :
lim SINR(M) = σ2 S
N.
M→∞
Ce résultat signifie qu’en présence de signaux d’interférence ayant au moins un zéro commun dans le
spectre, le filtrage spatio-temporel permet d’atteindre asymptotiquement le SINR correspondant à une
situation sans interférence. Notons que bien que la notion d’asymptotique soit purement théorique, nous
verrons dans les paragraphes 4.4.4 et 4.4.5 que dans la plupart des cas, une faible valeur du nombre de
retards est suffisant pour atteindre des performances quasi-optimales.
σ 2 n

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 75
Remarque : appliqués à des processus scalaires stationnaires au second ordre, Résultats 6 et 7
donnent respectivement
lim SINR(M) = max S S (f)S −1
M→∞ f∈I
IN (f)
f
avec S IN (f) = ∑ J
j=1 S j(f) + σ2 n
B
en présence d’interférences et de bruit et
4.4.4 Exemples illustratifs
lim SINR(M) = σ2 S
.
M→∞
On illustre maintenant Résultats 6 et 7 au travers de simulations numériques. On considère dans ce
paragraphe une antenne linéaire uniforme et la présence d’une unique source d’interférence où
[
]
φ(θ,f) = 1 e jπ f
fu u ... e j(N−1)π f
fu u (4.8)
avec u = sin(θ) (u S = sin(θ S ) et u J = sin(θ J ) pour les signaux utile et d’interférences respectivement)
et où f u dépend du choix de la distance inter-capteurs. Les paramètres de la simulation sont B f 0
= 0.3,
N = 16, u J = 0.3, σ 2 J = 30 dB, σ2 n = 0 dB et σ2 S = 0 dB.
Cas d’un signal d’interférence blanc
Dans ce paragraphe, on suppose que le signal d’interférence est blanc dans la bande [− B 2 ; B 2 ].
Influence de la fréquence d’échantillonnage temporel On examine maintenant l’influence de la
fréquence d’échantillonnage temporel sur le SINR spatio-temporel optimal. En Fig.4.1, on trace le SINR
spatio-temporel optimal pour deux valeurs de la période d’échantillonnage temporel, à savoir, T = 1 B et
T = 1
2B
et différentes valeurs du nombre de retards. Tout d’abord, on observe que dans les deux cas,
le SINR semble converger vers le SINR asymptotique donné par Résultat 6, bien que ce résultat ait été
seulement prouvé pour T = 1 1
B
. Cependant, on note que la convergence est plus rapide pour T =
2B
que pour T = 1 B
. Par conséquent, un suréchantillonnage par rapport à la fréquence d’échantillonnage de
Shannon permet d’améliorer les performances en terme de SINR, à nombre donné de retards. On vérifie que
des simulations numériques extensives confirment ces observations. Notons que l’influence de la fréquence
d’échantillonnage temporelle a été analysée dans [59] pour une implémentation passe bande à lignes à
retards de l’algorithme MMSE, dans le cas d’une antenne à deux capteurs. Dans cet article, l’auteur
a également remarqué l’amélioration en performance en termes de SINR résultant de l’utilisation d’un
suréchantillonnage. Ce phénomène s’interprète physiquement en remarquant que le suréchantillonnage
augmente la corrélation entre les composants des interférences, ce qui améliore leur rejection.
Influence de la fréquence d’échantillonnage spatial On examine maintenant l’influence de l’espacement
inter-capteurs égal à c
2f u
(cf. (4.8)). Pour respecter la condition d’échantillonnage de Shannon, le
paramètre f u doit être au moins égal à la fréquence maximale du signal, i.e. f u = f 0 + B 2
. Cela correspond
c
à un espacement inter-capteurs inférieur ou égal à
2(f 0 + B ).
Cependant, en pratique, l’antenne ne doit pas
2
forcément pointer dans toutes les directions de la zone visible, i.e. 90deg.≤ θ ≤ 90deg.. Par conséquent, un
plus grand espacement inter-capteurs peut être utilisé, au prix d’une réduction du domaine de détection.
En effet, le non respect de la condition d’échantillonnage de Shannon conduit à l’apparition de lobes de
réseaux à certaines fréquences. Ces derniers peuvent néanmoins être maintenus en dehors de la région
visible si le domaine de pointage de l’antenne est suffisamment limité [6, Chap. 2.5]. Ici, on analyse l’influence
de f u sur le SINR spatio-temporel asymptotique optimal. Plus précisément, on compare le choix
de f u = f 0 avec la fréquence d’échantillonnage f u = f 0 + B 2
pour laquelle la condition d’échantillonnage
σ 2 n

76 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
15
10
M=∞
5
M=2, T=1/2B
SINR (dB)
0
−5
−10
−15
M=1
M=2, T=1/B
−20
−25
−30
−35
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.1: SINR spatio-temporel optimal avec T = 1 1
B
(- -) et T =
2B
(-+-) pour différentes valeurs du
nombre de retards, en fonction de la DOA de la source utile.
de Shannon est respectée. Pour comparer les deux cas considérés, on trace en Fig.4.2 le rapport entre le
SINR spatial optimal à bande nulle
SINR ZB = σ 2 Sφ(θ S ,f 0 ) H R −1 φ(θ S ,f 0 )
avec
R = σ 2 J φ(θ J,f 0 )φ(θ J ,f 0 ) H + σ 2 n I
et le SINR spatio-temporel asymptotique optimal pour f u = f 0 et f u = f 0 + B 2
. Tout d’abord, on observe
que les deux courbes sont majorées par 1. Le filtre spatio-temporel asymptotique optimal surperforme le
filtre spatial optimal pour des DOAs de sources d’interférence et de source utile quelconques. Ensuite, on
note que pour une source utile dans un large voisinage de la source d’interférence, le SINR spatio-temporel
asymptotique optimal avec f 0 = f u est plus grand qu’avec f u = f 0 + B 2
alors que le comportement du SINR
spatio-temporel asymptotique ne se dégrade pas significativement pour une source utile de DOA éloignée
de celle de la source d’interférence. Par conséquent, le choix f 0 = f u permet d’améliorer les performances
par rapport à la fréquence de Shannon. Pour l’expliquer, on examine la fréquence f opt maximisant le SINR
spatial optimal à bande nulle (cf. (4.7)) :
f opt = Argmax f∈If (φ(θ S ,f + f 0 ) H R −1 (f)φ(θ S ,f + f 0 ))
avec I f = [ − B 2 ; B 2
]
, ou encore en utilisant le lemme d’inversion matricielle :
f opt = Argmin f∈If
∣ ∣φ(θS ,f + f 0 ) H φ(θ J ,f + f 0 ) ∣ ∣ = Argminf∈If
⎧
⎨
⎩
sin 2 (
Nπ
2 (u S − u J ) f+f 0
f u
)
( )
sin 2 π
2 (u S − u J ) f+f 0
f u
⎫
⎬
⎭ .

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 77
0
−0.2
−0.4
f u
=f 0
+B/2
rapport de SINR (dB)
−0.6
−0.8
f u
=f 0
−1
−1.2
−1.4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.2: Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal pour deux distances inter-capteurs, en fonction de la DOA de la source utile.
Dans le domaine 0 < |u S − u J | ≪ 1, cette dernière expression est une fonction décroissante de f+f 0
f u
. Elle
est donc minimisée lorsque f opt = B 2
et nous avons alors
sin 2 ( Nπ
2 (u S − u J ) )
sin 2 ( π
)
2f 0
)
)
(
2 (u S − u J ) ) sin 2 Nπ
>
2 (u S − u J )(1 + B
(
sin 2 π
2 (u S − u J )(1 + B
2f 0
)
d’où lim M→∞ SINR(M) = SINR ZB pour f u = f 0 + B 2 , avec SINR ZB le SINR spatial optimal à bande
nulle, alors que quand f u = f 0 , lim M→∞ SINR(M) > SINR ZB .
Cas d’un signal d’interférence à bande limitée
On suppose que le signal d’interférence a une DSP constante dans la bande [− b 2 ; b 2
] avec b < B. Notons
que dans ce cas, R(f) reste non singulière (cf. (4.6)) et donc Résultat 7 s’applique.
Influence de la bande du signal d’interférence Tout d’abord, on illustre la vitesse de convergence
du SINR spatio-temporel optimal à nombre donné de retards vers la borne supérieure asymptotique donnée
par Résultat 7. Ainsi, on trace en Fig.4.3 et Fig.4.4 les SINRs spatio-temporels optimaux pour b = 3 4 B et
b = B 2
respectivement (pointillés) qu’on compare au SINR spatio-temporel asymptotique optimal (trait
plein). Notons que le cas M = 1 correspond au filtrage spatial et que les SINRs se dégradent quand b
augmente. Sur les deux figures, on vérifie que le SINR optimal (asymptotiquement par rapport au nombre
de retards) est égal à σ2 S
σ 2 n
N et que les SINRs spatio-temporels optimaux convergent avec le nombre de
retards vers le SINR spatio-temporel asymptotique optimal. Ensuite, on note que la vitesse de convergence
augmente quand la bande du signal d’interférence décroît. Par exemple, on observe en Fig.4.4 (où b = B 2 )
que le SINR spatio-temporel optimal avec M = 4 surperforme le SINR spatio-temporel optimal avec
M = 8 en Fig.4.3 (où b = 3B 4 ).

78 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
15
10
5
M=∞
0
M=1
SINR (dB)
−5
M=2
M=4
M=8
−10
−15
−20
−25
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.3: SINR spatio-temporel optimal pour différentes valeurs du nombre de retards, en fonction de la
DOA du signal utile, avec b = 3B 4 .
15
10
5
M=∞
M=8
SINR (dB)
0
−5
M=1
M=2
M=4
−10
−15
−20
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.4: SINR spatio-temporel optimal pour différentes valeurs du nombre de retards, en fonction de la
DOA du signal utile, avec b = B 2 .

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 79
0
−1
−2
b=B
−3
rapport de SINR (dB)
−4
−5
−6
b=B/2
b=3B/4
−7
−8
−9
−10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.5: Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal, pour différentes largeurs de bande du signal d’interférence, en fonction de la DOA du signal
utile, avec M = 8.
Ensuite, on illustre l’amélioration des performances du traitement spatio-temporel optimal à nombre
donné de retards sur le traitement spatial optimal. Ainsi, on trace en Fig.4.5 le rapport entre le SINR
spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel optimal à nombre donné de retards. On fait
trois hypothèses sur la bande du signal d’interférence. Le nombre de retards est égal à M = 8. Tout
d’abord, on observe que les trois rapports sont majorés par 1 ce qui veut dire que l’utilisation de M = 8
retards est suffisante pour permettre au traitement spatio-temporel optimal de surperformer le filtrage
spatial optimal à bande nulle. Ensuite, on note que le domaine de la DOA de la source utile pour lequel le
traitement spatio-temporel optimal surperforme le traitement spatial optimal à bande nulle et la quantité
d’amélioration augmentent lorsque la bande du signal utile décroît.
Influence de la fréquence d’échantillonnage temporel On illustre maintenant l’influence de la
fréquence d’échantillonnage temporel sur la vitesse de convergence du SINR spatio-temporel optimal vers
sa borne supérieure asymptotique. En Fig.4.6, on trace le SINR spatio-temporel optimal à nombre donné
de retards pour la période d’échantillonnage T = 1
2B et la bande du signal utile b = B 2
. Comme il a déja
été remarqué dans le cas d’un signal utile blanc, la convergence des SINRs avec le nombre de retards est
plus rapide pour T = 1
2B que pour T = 1 B
(comparer Fig.4.6 à Fig.4.4 pour M = 8).
4.4.5 Cas d’un signal d’interférence MA
Dans la suite, on analyse l’influence de la présence de minima marqués dans le spectre du signal
d’interférence. Ainsi, on choisit de modéliser le signal d’interférence par un processus MA du premier
ordre. La DSP du signal d’interférence est maintenant donnée par :
σ 2 J ∣
S J (f) =
B(1 + ρ 2 ∣1 − ρe j2π (f−f J ) ∣
B
)
∣2
,

80 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
15
M=∞
10
M=8
5
M=2
M=4
SINR (dB)
0
−5
M=1
−10
−15
−20
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.6: SINR spatio-temporel optimal pour différentes valeurs du nombre de retards, avec T = 1
2B , en
fonction de la DOA du signal utile, pour b = B 2 .
avec 0 ≤ ρ < 1 et − B 2 < f J < B 2
. Avec ce modèle, des minima marqués apparaissent dans le spectre du
signal d’interférence quand ρ s’approche de 1. On illustre maintenant par simulations l’influence de ρ sur
l’amélioration de SINR par rapport au SINR du traitement spatial optimal. Ainsi, on trace en Fig.4.7 le
rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique optimal
pour un signal d’interférence blanc avec b = B (trait plein) et des signaux d’interférence MA du premier
ordre pour différentes valeurs de ρ (pointillés). On observe que sauf dans un très proche voisinage de
la source d’interférence, les SINRs pour des signaux d’interférence colorés avec ρ = 0.5 et ρ = 0.9 sont
presque égaux à celui du cas d’un signal d’interférence blanc. Cependant, quand ρ = 0.99, on remarque
que le SINR après filtrage spatio-temporel asymptotique optimal est largement supérieur à celui avec un
signal d’interférence blanc.
Ensuite, on illustre la convergence du SINR spatio-temporel optimal à nombre donné de retards vers le
SINR asymptotique associé. On trace en Fig.4.8 le rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et
les SINRs spatio-temporels optimaux. Ces derniers sont calculés pour un nombre de retards fini (pointillés)
ou asymptotiquement par rapport à M (trait plein). On observe que les SINRs spatio-temporels optimaux
convergent vers le SINR asymptotique par rapport au nombre de retards. Cependant, contrairement au
cas d’un signal d’interférence à bande limité, on note que la convergence est faible (comparer Fig.4.3 et
Fig.4.4).
4.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous nous sommes tout d’abord intéressés à l’étude du comportement asymptotique
des valeurs propres généralisées de matrices de structure bloc Toeplitz. Ainsi, nous avons démontré une
extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices Hermitiennes bloc Toeplitz,
sous l’hypothèse selon laquelle les matrices sont générées par des séquences d’éléments absolument sommables.
Ensuite, nous avons appliqué ces résultats à l’étude de performance asymptotique par rapport
au nombre de retards du filtrage spatio-temporel large bande MSINR. Le SINR optimal peut en effet

4.5 Conclusion 81
0
−1
−2
−3
ρ = 0.99
ρ = 0.5
rapport de SINR (dB)
−4
−5
−6
−7
−8
ρ = 0.9
−9
−10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.7: Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal en présence d’un signal d’interférence coloré MA, pour différentes valeurs de ρ (pointillés), et en
présence d’un signal d’interférence blanc (trait plein), en fonction de la DOA du signal utile.
25
20
15
M=1
rapport de SINR (dB)
10
5
0
M=4
M=2
−5
M=8
−10
M=16
M=∞
−15
−20
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u =sin(θ )
S S
Fig. 4.8: Rapport entre le SINR spatial optimal à bande nulle et le SINR spatio-temporel asymptotique
optimal en présence d’un signal d’interférence coloré MA avec ρ = 0.99, pour différentes valeurs du
nombre de retards, en fonction de la DOA de la source utile.

82 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
s’interpréter comme la valeur propre généralisée maximale des matrices de covariance signal utile et interférences
plus bruit, qui ont une structure bloc Toeplitz lorsque les signaux sont modélisés par des
processus aléatoires stationnaires au second ordre. Ainsi, nous avons montré que le SINR spatio-temporel
optimal converge vers une limite qui peut s’interpréter comme un SINR spatial optimal à bande nulle.
Finalement, nous avons illustré ce résultat sur des simulations numériques pour différents scénarios d’interférences
en nous intéressant en particulier à la vitesse de convergence du SINR optimal à nombre de
retards fixé vers le SINR spatio-temporel asymptotique.

Chapitre 5
Distribution asymptotique des valeurs
propres généralisées de matrices
Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz
Dans le chapitre 4, nous nous sommes intéressés à la distribution asymptotique des valeurs propres
généralisées de matrices ayant une structure bloc Toeplitz. Nous avons ainsi généralisé le théorème de
Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices Hermitiennes de structure bloc Toeplitz générées par
des séquences d’éléments absolument sommables. Dans ce chapitre, notre objectif est d’étendre ce résultat
aux valeurs propres généralisées de matrices multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz, lorsque la dimension
de chacun des blocs tend vers l’infini.
5.1 Introduction
Les processus aléatoires discrets multidimensionnels apparaissent dans de nombreuses applications du
traitement de signal. En imagerie, les données d’observation sont souvent modélisées par des processus
aléatoires discrets 2-D. Cependant, il existe aussi de nombreux exemples dans lesquels les données sont
3-D, comme par exemple l’imagerie hyperspectrale (dimension spatiale en x × dimension spatiale en
y × longueur d’onde) (cf. par exemple [61]) ou l’imagerie interférométrique SAR (IF-SAR) (dimension
spatiale en x × dimension spatiale en y × élévation) (cf. par exemple [62,63]) pour lesquels un traitement
multidimensionnel est utilisé (cf. par exemple [64–66]). Dans ces applications, si le processus aléatoire
est stationnaire au second ordre, sa matrice de covariance est structurée. Plus précisément, si un bloc
d’échantillons, de dimension n 1 × n 2 × ... × n P , d’un processus aléatoire P-dimensionnel stationnaire au
second ordre est regroupé dans un vecteur par concaténation par ordre alphabétique des données suivant
les différentes dimensions, la matrice de covariance de ce vecteur aura une structure P-dimensionnelle
Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz (MTBT) (cf. par exemple [67]).
Le problème de l’étude de la distribution asymptotique des valeurs propres de matrices Toeplitz Bloc
Toeplitz (avec P = 2) avec à la fois la taille des blocs et leur nombre tendant vers l’infini, a été considéré
dans [68]. L’auteur s’est placé sous l’hypothèse de matrices générées par des séquences d’éléments absolument
sommable et repris l’approche proposée par Gray dans [48]. Puis, sous des hypothèses mathématiques
plus large, une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres de matrices MTBT a été donnée (cf.
par exemple [44]). Cependant, à notre connaissance, il n’existe pas d’extension du théorème de Szegö aux
valeurs propres généralisées de matrices MTBT.
Dans ce chapitre, nous proposons une preuve de cette extension sous l’hypothèse de matrices générées
par des séquences d’éléments absolument sommables. Celle-ci repose sur une extension de la notion
d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices.

84
Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz
5.2 Notations et résultats préliminaires
Tout d’abord, on formalise les définitions de matrices MTBT et Multi-niveaux Circulante Bloc Circulante
(MCBC) et on étend la notion d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices aux séquences
de matrices bloc multi-niveaux. Ensuite, on écrit des lemmes préliminaires nécessaires à la démonstration
du principal résultat de cette annexe dans la section suivante.
Définition 1 (MTBT matrix) :
Etant donné un vecteur d’index n P = (n 1 ,n 2 ,...,n P ), une matrice P-MTBT A n P
se définit récursivement
de la manière suivante. Si P = 1, alors il s’agit d’une matrice de Toeplitz ordinaire d’ordre n 1 . Si P > 1,
alors A n P
peut être partitionnée en n P × n P blocs
A n P def =
⎡
⎢
⎣
A n P −1
0 A n P −1
−1 · · · A n P −1
. .. . .. .
A n P −1
1
−(n P −1)
. .. . .. A
n P −1
−1
.
A n P −1
n P −1 · · · A n P −1
1 A n P −1
0
où chaque bloc A n P −1
m 1
, m 1 = −(n P − 1),...,n P − 2,n P − 1 est une matrice (P − 1)-MTBT,
A n P −1
m 1
def
=
⎡
⎢
⎣
A n P −2
m 1 ,0
A n P −2
m 1 ,1
A n P −2
m 1 ,−1 · · · A n P −2
. .. . .. .
⎤
⎥
⎦
m 1 ,−(n P −1 −1)
. .. . .. A
n P −2
m 1 ,−1
.
A n P −2
m 1 ,n P −1 −1 · · · A n P −2
m 1 ,1
A n P −2
m 1 ,0
⎤
⎥
⎦
et de façon générale, pour k = 1,...,P − 2,
A n P −k
m k
def
=
⎡
⎢
⎣
A n P −k−1
m k ,0
A n P −k−1
m k ,1
A n P −k−1
m k ,−1 · · · A n P −k−1
. .. . .. .
m k ,−(n P −k −1)
. .. . .. A
n P −k−1
m k ,−1
.
A n P −k−1
m k ,n P −k −1 · · · A n P −k−1
m k ,1
A n P −k−1
m k ,0
⎤
⎥
⎦
et finalement, au dernier niveau de bloc, on trouve une matrice de Toeplitz ordinaire d’ordre n 1
⎡
a n 0
m P −1 ,0 a n 0
m P −1 ,−1 · · · a n ⎤
0
m P −1 ,−(n 1 −1)
A n 1 def
a n .
0 .. . ..
m
m P −1
=
P −1 ,1
.
⎢
.
⎣ . .. . .. a
n 0 ⎥
m P −1 ,−1 ⎦
a n 0
m P −1 ,(n 1 −1)
· · · a n 0
m P −1 ,1 a n 0
m P −1 ,0
avec pour k = 1,...,P − 1
n P −k = (n 1 ,n 2 ,...,n P −k ) and m k = (m 1 ,m 2 ,...,m k )
où pour k = 1...P
−(n P −k+1 − 1) ≤ m k ≤ n P −k+1 − 1
et où a n 0
m P −1 ,m P
, m P = −(n 1 −1),...,(n 1 −1) est le terme général a m1 ,m 2 ,...,m P
de A n P
. Finalement, notons
que l’ensemble des matrices P-dimensionelles MTBT Finally, let note that the set of all P-dimensional

5.2 Notations et résultats préliminaires 85
MTBT matrices d’ordre (n 1 ,n 2 ,...,n P ) est un espace vectoriel de dimension (2n P − 1)...(2n 1 − 1), dont
la base naturelle est donnée par les matrices [44]
J m 1
n P
⊗ ... ⊗ J m k
n P −k+1
⊗ ... ⊗ J m P
n 1
où J m k
n P −k+1
représente la matrice de dimension n P −k+1 × n P −k+1 dont les éléments (i,j) sont égaux à 1
si j − i = m k . La matrice MTBT A n P
peut alors s’écrire de façon unique sous la forme
A n P
=
n∑
P −1
m 1 =−n P +1
...
n∑
1 −1
m P =−n 1 +1
a m1 ,...,m P
J m 1
n P
⊗ ... ⊗ J m k
n P −k+1
⊗ ... ⊗ J m P
n 1
.
L’approche choisie dans cette annexe consiste à relier les valeurs propres généralisées de matrices MTBT
à celles des matrices MCBC ayant une structure plus simple. On formalise maintenant l’écriture de ces
dernières matrices.
Définition 2 (MCBC matrix) :
Etant donné un vecteur d’index n P = (n 1 ,n 2 ,...,n P ), une matrice P-MCBC se définit récursivement
comme une matrice P-MTBT, en remplaçant les blocs de Toeplitz par des blocs circulants.
Ces matrices MCBC ont une décomposition en éléments propres qui étend celle des matrices circulantes.
La décomposition en éléments propres démontrée dans [67, Th. 5.84] pour le cas de matrices circulantes
de niveau 3 s’étend facilement à des matrices circulantes de niveau quelconque P. Plus précisément
une matrice MCBC de dimension n 1 n 2 ...n P × n 1 n 2 ...n P C n P
est diagonalisable par la matrice unitaire
U nP = U nP ⊗ ... ⊗ U n1 (5.1)
où (U np ) p=1...P sont les matrices de transformée de Fourier discrète unitaires (TFD) de dimension n p ×n p ,
de termes (U np ) k,l = √ 1 (k−1)(l−1)
−j2π
np
e
np
et dont les valeurs propres sont les TFD P-dimensionnelles de sa
première ligne
λ k1 ,...,k P
=
n∑
1 −1
n∑
2 −1
m 1 =0 m 2 =0
...
n∑
P −1
m P =0
On définit maintenant l’équivalence asymptotique multi-niveaux.
c m1 ,...,m p
e −j2π “ m1 k 1
n 1
+ m 2 k 2
n 2
+...+ m P k P
n P
”.
Définition 3 (Equivalence Asymptotique Multi-niveaux) :
Soit {A n P
} et {B n P
} des séquences matricielles de dimension n 1 n 2 ...n P × n 1 n 2 ...n P . Ces matrices
sont dites asymptotiquement équivalentes multi-niveaux, ce qui se note A n P
∼ B n P
lorsque les conditions
suivantes sont vérifiées :
– ‖A n P
‖ ≤ M < ∞
– ‖B n P
‖ ≤ M < ∞
– lim n1 ,n 2 ,...,n P →∞ |A n P
− B n P
| = 0
où ‖.‖ est la norme spectrale et |.| est la norme de Frobenius normalisée définie par
|A n P
| 2 =
1 ∑n 1
n 1 n 2 ...n P
∑n 2
m 1 =1 m 2 =1
...
n P ∑
m P =1
|a m1 ,m 2 ,...,m P
| 2 .
Ensuite, on montre le lemme suivant sur la distribution asymptotique des valeurs propres de matrices
asymptotiquement équivalentes multi-niveaux.

86
Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz
Lemme 1
Soit {A n P
} et {B n P
} des séquences de matrices asymptotiquement équivalentes multi-niveaux de dimension
n 1 n 2 ...n P ×n 1 n 2 ...n P et de valeurs propres respectives λ k (A n P
) et λ k (B n P
) pour k = 0...(n 1 n 2 ...n P −
1). Alors, pour tout entier positif s
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
ou encore lorsque l’une des deux limites existe,
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
(λ s k
n 1 n 2 ...n (An P
) − λ s k (Bn P
)) = 0
P
k=0
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
λ s k
n 1 n 2 ...n (An P
) =
P
k=0
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
λ s k
n 1 n 2 ...n (Bn P
).
P
Preuve
Soit D n P def = A n P
− B n P
= {d k,j }. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à Tr(D n P
), on a
|Tr(D n P
)| 2 =
∣
n 1 n 2 ...n P −1
∑
k=0
d k,k
∣ ∣∣∣∣
2
n 1 n 2
∑...n P −1
≤ n 1 n 2 ...n P
k=0
k=0
|d k,k | 2 ≤ (n 1 n 2 ...n P ) 2 |D n P
| 2
d’où on déduit
1
lim Tr(D n P
) = 0
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ n 1 n 2 ...n P
comme les matrices A n P
et B n P
sont asymptotiquement équivalentes. Finalement, en remarquant que
on obtient
n 1 n 2 ...n P −1
∑
k=0
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
(λ k (A n P
) − λ k (B n P
)) = Tr(D n P
),
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
(λ k (A n P
) − λ k (B n P
)) = 0.
n 1 n 2 ...n P
k=0
Ensuite, en suivant les étapes de la preuve donnée dans [47, Th. 2], on complète la démonstration pour
tout entier positif s.
A partir de maintenant, on considère uniquement des matrices MTBT Hermitiennes, pour lesquelles
a −i1 ,−i 2 ,...,−i P
= a ∗ i 1 ,i 2 ,...,i P
ce qui est équivalent à avoir une transformée de Fourier réelle a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) =
∑i 1 ,i 2 ,...,i P
a i1 ,i 2 ,...,i P
e −j P P
p=1 ωpip .
Pour construire une séquence de matrices MCBC qui sont équivalentes asymptotiquement multiniveaux
à {A n P
} et dont les valeurs propres sont les échantillons de a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ), on définit la séquence
c n P
m 1 ,m 2 ,...,m P
(a) def =
n
1 ∑ 1 −1
n 1 n 2 ...n P
n∑
2 −1
k 1 =0 k 2 =0
n∑
P −1
...
k P =0
a(2π k 1
,2π k 2
,...,2π k P
)e j2π P P mpkp
p=1 np
(5.2)
n 1 n 2 n P
et {C n P
(a)}, la séquence de matrices MCBC 1 indicée par {c i1 ,i 2 ,...,i P
(a)}. On note que C n P
(a) peut s’écrire
de façon plus compacte sous la forme
C n P
(a) = U H n P
∆ nP (a)U nP (5.3)
où U nP est défini comme dans (5.1) et ∆ nP (a) est la matrice diagonale de dimension n 1 n 2 ...n P ×n 1 n 2 ...n P
et d’éléments a(2π k 1
n 1
,2π k 2
n 2
,...,2π k P
n P
), rangés par ordre alphabétique. On peut maintenant affirmer le
lemme suivant :
1 La structure matricielle MCBC se démontre facilement en remarquant que la séquence définie selon 5.2 est périodique.

5.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices MTBT 87
Lemme 2
Soit {a i1 ,i 2 ,...,i P
} une séquence Hermitienne d’éléments absolument sommables de transformée de Fourier
a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ). Soit {c i1 ,i 2 ,...,i P
(a)} définie par (5.2). Alors, les séquences de matrices induites {A n P
}
et {C n P
(a)} sont asymptotiquement équivalentes multi-niveaux.
Preuve : Ce lemme est démontré dans [68, Lemma 1] pour des matrices Hermitiennes Toeplitz bloc
Toeplitz, i.e. pour P = 2. L’extension aux valeurs de P quelconques est immédiate.
5.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices
MTBT
L’objectif de cette section est d’étendre le théorème de Szegö au cas des valeurs propres généralisées
de matrices Hermitiennes MTBT, sous l’hypothèse selon laquelle les éléments générant les matrices sont
absolument sommables.
Pour cela, on procède de la même manière qu’au chapitre 4 et l’on commence par démontrer trois
lemmes utilisés dans la preuve de Théorème 3. Ainsi, on montre tout d’abord dans Lemme 3 que les valeurs
propres de matrices Hermitiennes MTBT générées par des séquences d’éléments absolument sommables
sont bornées par les valeurs minimales et maximales de la transformée de Fourier multidimensionnelle de
la séquence. Ensuite, ce lemme est utilisé pour la preuve de l’équivalence asymptotique multi-niveaux entre
l’inverse d’une matrice Hermitienne définie positive MTBT et l’inverse de son équivalent asymptotique
multi-niveaux MCBC, dans Lemme 4. En effet, Lemme 3 montre que la norme spectrale de l’inverse
d’une matrice définie positive Hermitienne MTBT est bornée. Puis, Lemme 5 montre que le produit
de l’inverse d’une matrice Hermitienne définie positive MTBT par une matrice Hermitienne MTBT est
asymptotiquement équivalent multi-niveaux au produit de l’inverse d’une matrice Hermitienne MCBC
par une matrice Hermitienne MCBC, toutes deux obtenues suivant (5.2). Finalement, en utilisant cette
équivalence asymptotique multi-niveaux et Lemme 1, on obtient directement Théorème 3.
Lemme 3
Soit {a i1 ,i 2 ,...,i P
} une séquence Hermitienne, absolument sommable ayant pour transformée de Fourier
a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ). Alors, pour toutes les valeurs propres λ(A n P
) des séquences de matrices induites {A n P
},
on a
m a =
min a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) ≤ λ(A n P
) ≤ max a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = M a .
ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ω 1 ,ω 2 ,...,ω P
Preuve : Ce lemme est démontré dans la première étape de la preuve de [68, Lemma 1] pour des matrices
Toeplitz bloc Toeplitz, i.e., pour P = 2. L’extension à une valeur de P quelconque est immédiate.
Lemme 4
Soit B n P
une matrice définie positive Hermitienne MTBT, générée par la séquence absolument sommable
{b i1 ,i 2 ,...,i P
} de transformée de Fourier b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) et la matrice MCBC asymptotiquement
équivalente multi-niveaux associée C n P
(b) définie par Lemme 2. Si min ω1 ,ω 2 ,...,ω P
b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = m b >
0, alors
(B n P
) −1 ∼ (C n P
(b)) −1 .
Preuve : En utilisant Lemme 3, la preuve est semblable à celle de Lemme 3 au chapitre 4.

88
Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz
Lemme 5
Sous les hypothèses de Lemme 4, si A n P
est une matrice Hermitienne MTBT générée par une séquence
absolument sommable {a i1 ,i 2 ,...,i P
}, les matrices MCBC associées C n P
(a) et C n P
(b) données par (5.2)
vérifient
(B n P
) −1 A n P
∼ (C n P
(b)) −1 C n P
(a).
Preuve : La preuve est la même que pour Lemme 4 au chapitre 4.
On introduit maintenant l’intervalle
I ω = [ min b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ); max b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )]
ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ω 1 ,ω 2 ,...,ω P
et on énonce un théorème sur la distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices
Hermitiennes MTBT.
Théorème 3 Soit A n P
et B n P
deux matrices Hermitiennes MTBT, avec B n P
définie positive, générées
par des séquences absolument sommables {a i1 ,i 2 ,...,i P
} et {b i1 ,i 2 ,...,i P
}, respectivement, et avec
min ω1 ,ω 2 ,...,ω P
b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = m b > 0. Alors, pour toute fonction continue F sur I ω
lim
n 1 ,...,n P →∞
n 1 ...n
1 ∑ P −1
F(λ k (A n P
,B n P
))= 1 ∫ π
n 1 ...n P (2π) P ...
k=0
−π
∫ π
−π
F(b −1 (ω 1 ,...,ω P )a(ω 1 ,...,ω P ))dω 1 ...dωP.
Preuve : En utilisant Lemme 5, (B n P
) −1 A n P
est asymptotiquement équivalent multi-niveaux à
(C n P
(b)) −1 C n P
(a) et comme les matrices C n P
(b) et C n P
(a) sont respectivement semblables aux matrices
diagonales ∆ nP (b) et ∆ nP (a) avec la même matrice unitaire U nP (5.3), on obtient après utilisation de
Lemme 1, pour tout entier s,
avec
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
= lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
=
∫
1 π
(2π) P
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
−π
∫ π
−π
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
[λ s k
n 1 n 2 ...n (An P
,B n P
) − λ s k (∆−1 n P
(b)∆ nP (a))] = 0
P
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
n 1 n 2 ...n P
k=0
n
1 ∑ 1 −1
n 1 n 2 ...n P
...
∫ π
−π
n∑
2 −1
k 1 =0 k 2 =0
k=0
λ s k (∆−1
n P
(b)∆ nP (a))]
n∑
P −1
...
k P =0
b −s (2π k 1
n 1
,2π k 2
n 2
,...,2π k P
n P
)a s (2π k 1
n 1
,2π k 2
n 2
,...,2π k P
n P
)
b −s (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a s (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )dω 1 dω 2 ...dωP,
où la continuité des transformées de Fourier b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) et a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) permettent de garantir
l’existence de l’intégrale.
Finalement, ce résultat s’étend à l’ensemble des polynômes et après invocation du théorème d’approximation
de Stone-Weierstrass, Théorème 3 est prouvé.
Comme cela a été montré dans [47,48], et tenant compte du fait que pour tous vecteurs n P , les valeurs
propres de (B n P
) −1 A n P
appartiennent à I ω , Théorème 3 conduit au corollaire suivant :
Corollaire 1
Pour tout entier positif l, les l plus petites et plus grandes valeurs propres généralisées de (A n P
,B n P
)
convergent en n 1 ,n 2 ,...,n P et
lim λ n
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ 1 n 2 ...n P −l+1(A n P
,B n P
) = min b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )
ω 1 ,ω 2 ,...,ω P

5.4 Conclusion 89
et
lim λ l(A n P
,B n P
) = max b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ ω 1 ,ω 2 ,...,ω P
où les valeurs propres généralisées sont rangées par ordre décroissant.
5.4 Conclusion
Dans cette annexe, nous avons donné une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres
généralisées de matrices Hermitiennes MTBT. Nous avons donné une preuve simple de ce théorème, sous
l’hypothèse d’éléments absolument sommables, basée sur la notion d’équivalence asymptotique multiniveaux
entre des séquences de matrices bloc multi-niveaux.

90
Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz

Deuxième partie
Etude d’algorithmes de traitement
d’antenne sur radar en configuration
antenne tournante

Chapitre 6
Filtrage optimal sur radar à antenne
tournante
Sommaire
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Généralités sur le traitement radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Modélisation physique des données radar en contexte antenne tournante . . . 96
6.4 Détection optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1 Introduction
Les radars 1 sont des systèmes électroniques utilisant des ondes radio. Ils sont appliqués dans différents
contextes, civils ou militaires. Ceux qui nous concernent ici sont les radars terrestres de défense antiaérienne.
Ils ont pour objectif de détecter des objets (cibles) et d’en estimer les paramètres (à savoir
leur distance par rapport au radar, leur position angulaire, leur vitesse radiale et leur surface équivalente
radar (cf. par exemple [69–72]). Ces deux étapes peuvent être suivies d’une fonction de pistage des
cibles. La principale difficulté à laquelle se trouve confronté un radar provient de l’environnement dans
lequel se trouve la cible (ou signal utile). En effet, le signal de cible se trouve la plupart du temps noyé
au milieu d’autres éléments tels que le bruit thermique, les échos fixes (ou fouillis) et les brouilleurs.
Comparativement à la puissance de ces derniers, la puissance du signal utile est infime. C’est la raison
pour laquelle il est nécessaire de procéder à des traitements permettant de réhausser ce niveau relatif de
signal utile. Trois types de cohérence des signaux reçus sont utilisés dans ce but : la cohérence temporelle,
fréquentielle puis spatiale. Les traitements de filtrage adapté en distance, filtrage Doppler et filtrage spatial
par traitement d’antenne permettent respectivement d’exploiter ces différentes cohérences.
Dans cette seconde partie de la thèse, nous nous plaçons dans un contexte de radar en mode veille avec
une antenne en rotation uniforme. Contrairement à la première partie de la thèse, les signaux considérés
sont maintenant bande étroite. Cependant, la rotation d’antenne induit des dégradations sur les performances
des traitements standards. Afin d’assurer un bon fonctionnement du radar, il est donc nécessaire
de compenser ces pertes en proposant de nouveaux traitements adaptés au contexte considéré. L’objet de
cette partie est donc de proposer et d’étudier de nouveaux algorithmes de traitement du signal adéquats.
En particulier, nous nous intéresserons dans le chapitre suivant au problème de rejection de brouilleurs,
rendus non stationnaires par la rotation d’antenne, grâce à des algorithmes de filtrage spatial variant
dans le temps. Puis, nous étudierons le problème de rejection conjointe de brouilleurs et de fouillis par
filtrage spatio-temporel en configuration antenne tournante. Auparavant, nous rappelons dans ce chapitre
1 le nom radar provient de l’anglais (RAdio Detection And Ranging).

94 Filtrage optimal sur radar à antenne tournante
Modulation
Emission
Propagation
Generation
Traitement
Exploitation
Reception
Demodulation
Fig. 6.1: Principe général d’un radar
le fonctionnement général d’un radar en détaillant les différents filtrages cohérents utilisés. Puis, nous
effectuons la modélisation physique des signaux radars en configuration antenne tournante avant d’écrire
l’expression du filtrage optimal au sens d’un problème de détection.
6.2 Généralités sur le traitement radar
6.2.1 Description de la chaîne radar
La chaîne de traitement radar est constituée de deux sous-ensembles. Tout d’abord, des traitements
analogiques haute fréquence (émission et réception de signaux haute fréquence) sont effectués. Puis, après
transposition en bande de base et numérisation, les traitements deviennent numériques et comprennent
les étapes suivantes :
– Traitement du signal
– Filtrage cohérent pour augmenter le rapport SINR
– Détection à taux de fausse alarme constant (TFAC)
– Traitement des données
– Extraction (formation de plots de détection)
– Pistage (estimation de la trajectoire des cibles)
Son schéma d’ensemble est donné par Fig.6.1.
Pour parvenir à ses objectifs, un radar émet une onde électromagnétique à intervalles réguliers dans
une direction donnée. On appelle récurrence la période constituée d’un temps d’émission et d’un temps
d’écoute et rafale un ensemble de récurrences cohérentes (i.e. à fréquence porteuse donnée).
L’étape de détection (par TFAC) se fait après maillage de l’espace des paramètres (suivant les dimensions
distance, angle et vitesse) et test en chacun des points de cet espace. Dans cette partie, nous nous
situons au niveau de la chaîne de traitement du signal d’un radar terrestre. En particulier, nous étudions
dans ce chapitre l’expression du filtre linéaire cohérent, optimal dans un but de détection, à appliquer sur
les données en contexte d’antenne tournante.
6.2.2 Description de l’environnement radar
En plus du signal utile provenant de la cible, le signal reçu est constitué des éléments suivants :

6.2 Généralités sur le traitement radar 95
Le fouillis
Le fouillis désigne les obstacles de terrain renvoyant un écho au radar. Ils peuvent être à vitesse nulle
(échos fixes dûs au bâtiment ...) ou à faible vitesse (fouillis de pluie, fouillis de sol, de mer ...). Dans la
suite, nous supposerons que le fouillis présent dans les données est à vitesse nulle.
Les brouilleurs
Les brouilleurs sont des perturbations intentionnelles ayant pour objectif d’éviter la détection d’une
cible hostile. Dans la suite, nous nous limiterons à la présence de brouilleurs à bruit. Ces derniers émettent
un bruit blanc de forte puissance à partir d’un point donné de l’espace.
Le bruit thermique
Le bruit thermique est dû à la chaîne de réception. Il est interne au radar mais s’ajoute aux interférences
extérieures (brouilleurs et fouillis décrits précédemment) et perturbe la détection.
6.2.3 Filtrage cohérent pour réhausser le rapport SINR
Après avoir décrit la chaîne de traitement radar de façon générale, et l’environnement radar venant
perturber la détection du signal utile, on détaille maintenant les différents filtrages cohérents utilisés
au sein de la chaîne de traitement de signal, avant détection. Ces filtrages permettent de réhausser la
puissance utile par rapport à la puissance des différents signaux parasites c’est à dire le rapport SINR.
En contexte de radar à antenne fixe, les traitements cohérents sont commutatifs et indépendants.
Cependant, nous verrons dans les chapitres suivants que cela ne s’applique plus en configuration de radar
à antenne tournante.
Filtrage adapté en distance
Il s’agit d’un filtrage adapté effectué sur les échantillons au sein d’une récurrence qui permet de
réhausser le rapport SINR afin d’extraire l’information distance de la cible. En pratique, il est réalisé dans
le domaine fréquentiel, après FFT.
Filtrage Doppler
Ce filtrage exploite la cohérence temporelle des signaux de récurrence à récurrence pendant la durée
de la rafale. Son principe est de remettre en phase la partie utile du signal de récurrence à récurrence
pendant une rafale. Comme la vitesse radiale de la cible (liée à sa fréquence Doppler) n’est pas connue,
ce filtrage se fait pour une hypothèse de fréquence Doppler donnée, après maillage de l’espace de ces
fréquences.
Filtrage spatial
Ce filtrage exploite la cohérence spatiale des signaux de capteurs à capteurs. Différents algorithmes de
traitement d’antenne peuvent alors être utilisés. De même que pour le filtrage Doppler, comme la DOA
de la cible n’est pas connue, ce filtrage se fait pour une hypothèse de direction d’arrivée donnée, après
maillage de l’espace de ces directions d’arrivée.

96 Filtrage optimal sur radar à antenne tournante
ω t +
Cible
Az= θ(0)
θ(t)=Az+ ω t
Repere fixe
Repere antenne
Fig. 6.2: Illustration de la rotation d’antenne d’angle ωt.
6.3 Modélisation physique des données radar en contexte antenne
tournante
6.3.1 Modélisation de la rotation d’antenne
Nous supposons dans cette partie que l’antenne radar est linéaire uniforme et composée de N capteurs
équidistants. Afin de simplifier l’étude à suivre, nous nous limitons à un problème plan et définissons
deux repères orthonormés : un repère fixe et un repère antenne. L’antenne est animée d’un mouvement
de rotation uniforme à la vitesse ω rad/s. Une cible est paramétrée dans le repère fixe par l’angle Az et
par l’angle θ(t) dans le repère antenne. Les deux angles sont reliés par l’équation :
θ(t) = Az + ωt.
Fig.6.2 représente la rotation de l’antenne.
Les capteurs sont supposés omnidirectionnels et de gain unitaire. Ensuite, le signal émis est supposé
à bande étroite. Cette hypothèse se justifie dans la mesure où le temps de cohérence du signal est grand
devant le temps de traversée du réseau de capteurs. On se place ainsi sous l’hypothèse que 1 B ≫ Nd
c , où B
représente la bande du signal et d la distance inter-capteurs. Si celle-ci est choisie égale à λ 2
pour respecter
le théorème d’échantillonnage spatial de Shannon, comme cela sera le cas dans cette partie, l’hypothèse
bande étroite peut s’écrire sous la forme f 0
B
≫ N 2 .
6.3.2 Expression du signal reçu au niveau de l’antenne
On cherche maintenant à exprimer le signal reçu au niveau d’un capteur de l’antenne en rotation
suivant le modèle de Fig.6.2. Ce signal provient de la réflexion du signal émis par le radar sur une cible.
On note C le capteur considéré, O l’origine de l’antenne (qui est également le point à partir duquel le
signal est émis) et M la cible. Ces points sont représentés sur Fig.6.3. Le signal émis à l’instant t par le
radar est noté e(t,θ(t)). Son expression est :
e(t,θ(t)) = g(θ(t))u(t)e j2πf 0t
(6.1)
avec g(θ) désignant le gain du radar en émission dans la direction θ, et u(t) est l’enveloppe complexe
du signal émis. Dans la suite, on suppose que la rotation peut être négligée dans l’expression du gain

6.3 Modélisation physique des données radar en contexte antenne tournante 97
v
M
Rotation
C
O
Fig. 6.3: Signal reçu sur un capteur
d’émission de sorte que g(θ(t)) est considéré indépendant de t : g(θ(t)) = g. La longueur OC est notée l.
On montre alors en annexe E que le signal reçu en C peut s’écrire sous la forme :
(
r c (t) ≈ Au t − 2R )
0
e −jϕ e j2π[(f 0+f d )t+ l c f 0 sin(θ(t))]
(6.2)
c
lorsque
⎧
⎨
⎩
v
c ≪ 1
BMT rec ≪ c
B ≪
c
Nd
avec A l’amplitude du signal reçu, τ 0 = 2R 0
c
le terme de retard, f d = 2v c f 0 la fréquence Doppler et
2R
ϕ = 2πf 0 0 c
un terme de phase. Dans la suite, on regroupera dans le vecteur p les paramètres utiles de
la cible :
p = (A,τ 0 ,f d ,θ).
En conclusion, sous nos hypothèses d’étude, la rotation d’antenne n’a d’influence sur la forme du signal
reçu qu’au travers du terme de déphasage : 2π l c f 0 sin(θ(t)).
2v
6.3.3 Expression des vecteurs spatiaux et spatio-temporels du signal reçu
En sortie du réseau de capteurs, les données sont démodulées (multiplication par e −j2πf0t ) puis
numérisées. L’échantillonnage s’effectue à la fréquence de Shannon à savoir T e = 1 B
. Lorsque M récurrences
sont émises, on note t m i les instants d’échantillonnage avec t m i = iT e + mT rec , avec 1 ≤ i ≤ L l’indice de
l’échantillon dans la récurrence où L désigne le nombre d’échantillons dans la récurrence et 0 ≤ m ≤ M −1.
A l’instant t m i , le signal reçu au niveau du capteur C après démodulation s’écrit :
(
r c (t m i ) ≈ Au iT e − 2R )
0
e −jϕ e j2π[f d(iT e+mT rec)+ l c f 0 sin(θ(iT e+mT rec))]
c
où l’on a utilisé le fait que l’enveloppe complexe est périodique de période T rec , la même impulsion étant
émise à chaque récurrence.

98 Filtrage optimal sur radar à antenne tournante
Dans la suite, nous serons amenés à considérer les échantillons spatiaux et spatio-temporels (le temps
correspondant ici à la récurrence) du signal. En sortie du réseau de capteurs (toujours après démodulation
et numérisation), le vecteur d’échantillons spatiaux s’écrit pour la case distance i de la récurrence m :
s(t m i ) = s(t m i )φ(iT e + mT rec )
avec s(t m i ) = Au( iT e − 2R )
0
c e −jϕ e j2πf d(iT e+mT rec) et
⎛
e j2πf 0 l 1
c f 0 sin(θ(iT e + mT rec ))
φ(iT e + mT rec ) =
e j2πf 0 l 2
c f 0 sin(θ(iT e + mT rec ))
⎜
⎝
.
e j2πf 0 l N
c f 0 sin(θ(iT e + mT rec ))
⎞
⎟
⎠
représente un vecteur directionnel à l’instant t m i . Puis, le vecteur d’échantillons spatio-temporels2 s’écrit
pour la case distance :
S(t i ) = α(iT e )Φ(iT e ) (6.3)
avec α(iT e ) = Au ( iT e − 2R )
0
c e −jϕ et
⎛
Φ(iT e ) = ⎜
⎝
e j2πf d(iT e) φ(iT e )
e j2πf d(iT e+T rec) φ(iT e + T rec )
.
e j2πf d(iT e+(M−1)T rec) φ(iT e + (M − 1)T rec )
représentant un vecteur directionnel spatio-temporel à la case distance i.
⎞
⎟
⎠
6.4 Détection optimale
En introduction, nous avons vu qu’un des objectifs principaux d’un radar était la détection de cibles
dans du bruit. Cette étape est précédée d’une étape de filtrage des données dont le but intuitif est de
séparer le bruit du signal utile. Dans cette section, nous nous intéressons à la relation entre filtrage linéaire
et détection au sens du critère de Neyman-Pearson. Ce dernier est le critère de référence utilisé en radar et
consiste à maximiser une probabilité de détection à probabilité de fausse alarme donnée. Dans un premier
temps, nous expliquons les caractéristiques du problème de détection auquel nous sommes confrontés et
l’approche bayésienne utilisée pour le résoudre. Puis, nous en déduisons l’expression du filtre permettant
d’optimiser la détection et le critère d’optimalité sur le filtre associé [73].
6.4.1 Détection d’un signal déterministe de paramètres utiles connus en présence de
paramètres de nuisance
La modélisation physique du signal utile effectuée en première section de ce chapitre a permis d’expliciter
les paramètres caractéristiques des cibles radar. En particulier, nous avons introduit le vecteur de
paramètres utiles p = (A,τ 0 ,f d ,θ). Cependant, nous n’avons pas inclus le paramètre de phase du signal
ϕ dans ces derniers. Cela s’explique par le fait que ce dernier paramètre n’apporte pas d’information sur
ce que l’on souhaite estimer sur la cible (à savoir sa surface équivalente radar, sa distance, sa vitesse et
sa position). Pour cette raison, le paramètre de phase est ici considéré comme un paramètre de nuisance
par opposition aux paramètres utiles p. Dans cette section, nous nous intéressons au problème général
de détection d’un signal dans du bruit blanc gaussien. Dans le domaine radar, lorsque les données sont
2 Notons que contrairement à la première partie, la dimension temporelle correspond ici à l’axe des récurrences.

6.4 Détection optimale 99
reçues, l’ensemble des paramètres d’un éventuel signal utile sont inconnus. Statistiquement, cela correspond
à l’absence d’a priori sur ces derniers. Pour résoudre cette difficulté, les traitements radar consistent
à former un maillage de l’espace des paramètres utiles et à effectuer une détection en chacun des noeuds.
Cette méthode permet de se ramener à un problème de détection avec paramètres utiles connus. Cependant,
un paramètre de nuisance correspondant à la phase du signal utile est également présent. Afin de le
supprimer du problème, une approche bayésienne est utilisée. Celle-ci consiste à affecter à la phase une
densité de probabilité a priori uniforme. Physiquement, cette dernière hypothèse est justifiée par l’absence
complète d’information sur le paramètre de nuisance. Finalement, le problème de détection étudié est donc
celui d’un signal déterministe de paramètres utiles connus en présence d’un paramètre de nuisance (cf. par
exemple [74–76]). La détection consiste à choisir entre les hypothèses signal présent (H1) et signal absent
(H0) des données. On suppose ici que l’on dispose de données vectorielles sous les hypothèses suivantes :
X = S(p) + B (H1)
X = B (H0)
où S(p) est le signal utile déterministe et B un bruit blanc gaussien complexe circulaire de matrice de
corrélation C. Avant de procéder à la détection, un filtre linéaire sur les données est effectué. Si l’on note
W le filtre appliqué sur les données, les deux hypothèses deviennent :
y = W H S(p) + W H B (H1)
y = W H B (H0)
Le bruit filtré conserve le caractère gaussien centré et a pour variance W H CW où C désigne la matrice
de corrélation du bruit. Le critère de décision ensuite utilisé est le rapport de vraisemblance :
V = p(y/H1)
p(y/H0)
et p(y/H1) = ∫ ϕ
p(y/H1,ϕ)p(ϕ)dϕ où ϕ correspond à la phase aléatoire du signal filtré. Or, en raison
des hypothèses sur le bruit, la vraisemblance des données filtrées sous l’hypothèse (H0) est égale à :
et sous l’hypothèse (H1) :
H1
>
<
H0
p(y/H0) = (2πW H CW) −1 e − 1
W H CW |y|2
p(y/H1) = (2πW H CW) −1 e − 1
W H CW |y−WH S(p)| 2
En introduisant ensuite δ la phase de y, le rapport de vraisemblance consiste à intégrer pour ϕ ∈ [0 : 2π[
la quantité
V =
∫ 2π
Après calcul [73], on obtient alors :
0
n
e
1
W H CW
T
“
2|y||W H S(p)|cos(ϕ−δ)−|W H S(p)| 2”o dϕ
H1
V = e −| W H S(p)| 2
( ∣
W H CW I 0 |y| ∣W H S(p) ∣ ) >
<
H0
où I 0 est la fonction de Bessel modifiée d’ordre nul. Comme cette fonction est croissante, la règle de
décision est équivalente à :
H1
|y|
>
<
H0
T ′
T

100 Filtrage optimal sur radar à antenne tournante
Les probabilités de fausse alarme et de détection sont égales à :
Après quelques calculs, on montre que :
P d = Q
P fa = p (|y| > T ′ /H0)
P d = p (|y| > T ′ /H1)
( ∣ ∣W H S(p) ∣ ( )
√
√2ln
)
1
W H CW , P fa
où Q est la fonction de Marcum et Swerling et est croissante par rapport à sa première variable. Comme
cette dernière correspond à la racine du rapport signal sur bruit instantané après filtrage linéaire des
données, le critère de Neyman-Pearson est équivalent à la maximisation du rapport signal sur bruit après
filtrage linéaire de l’ensemble des données. Ce dernier est donné par l’expression :
SINR =
∣
∣W H S(p) ∣ ∣ 2
W H CW
pour lequel on a rappelé dans le premier chapitre que le filtre optimal (au sens de la maximisation du
SINR) est donné par :
W ∝ C −1 S(p). (6.4)
6.4.2 Application au problème radar
Dans le problème radar qui nous intéresse, les données filtrées correspondent à l’ensemble des échantillons
de données disponibles. En tenant compte du nombre de capteurs, du nombre de cases distance par
récurrence et du nombre de récurrences, il y a au total : NLM échantillons disponibles à partir desquels
s’effectue la détection. Pour se ramener au problème présenté dans le paragraphe précédent, les
échantillons sont regroupés dans un seul vecteur formé par concaténation des données spatio-temporelles
(données spatiales concaténées aux différentes récurrences) pour l’ensemble des cases distance. Le signal
S(p) peut alors se décomposer sous la forme :
⎛
S(p) = ⎜
⎝
S 1 (p)
S 2 (p)
.
S L (p)
où les vecteurs S i,i=1..L (p) correspondent aux vecteurs spatio-temporels du signal utile et le bruit B peut
s’écrire sous la forme :
⎛ ⎞
B 1
B 2
B = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
B L
où les vecteurs B i,i=1..L représentent le bruit spatio-temporel à la case distance i. Or, d’après les hypothèses
de blancheur, d’indépendance et de caractère centré des différentes composantes du bruit, la matrice de
corrélation de B et notée C a une structure bloc diagonale :
⎛
⎞
C 1 0
0 C 2 C = ⎜
⎝
. ..
⎟
⎠
C L
⎞
⎟
⎠
(6.5)

6.4 Détection optimale 101
Facteur d’amelioration
SINR in
Filtrage spatio−temporel
SINR out
Filtrage adapte
en distance
Chaine de traitement du signal radar
Fig. 6.4: Schéma de la chaîne de traitement du signal radar
La matrice inverse est donc également bloc diagonale :
⎛
C −1
1
0
C −1 0 C −1
2
= ⎜
⎝
. ..
C −1
L
⎞
⎟
⎠ . (6.6)
En insérant (6.5) et (6.6) dans (6.4), on obtient :
⎛
W(p) = ⎜
⎝
1 S ⎞
1(p)
2 S 2(p)
⎟
⎠ . (6.7)
C −1
C −1
.
C −1
L S L(p)
Puis, en reportant S l (p) = s(α,τ 0 ,l)Φ(Θ s ) dans l’expression du filtre (6.7), on obtient :
⎛
s(α,τ 0 ,1)C −1
1 Φ(Θ ⎞
s)
s(α,τ 0 ,2)C −1
2
W(p) = ⎜
Φ(Θ s)
⎟
⎝ . ⎠ . (6.8)
s(α,τ 0 ,L)C −1
L Φ(Θ s)
Sous l’hypothèse de stationnarité des composantes spatio-temporelles de bruit sur les différentes cases
distance de la récurrence, la matrice de covariance spatio-temporelle de bruit est constante et on l’appelle
R = C 1 = ... = C L . Dans ce cas, l’écriture (6.8) montre que le filtrage optimal peut se décomposer en
deux parties. Elle suggère en effet de réaliser le filtrage spatio-temporel pour des paramètres de position et
de vitesse donnés et le filtrage en distance pour des paramètres de SER et distance comme représenté sur
Fig.6.4. Ce dernier peut être fait avant ou après le filtrage spatio-temporel. Cependant, nous supposerons
dans la suite qu’il est effectué après le filtrage spatio-temporel (de sorte à ne pas influer sur la blancheur
temporelle du brouillage). Dans la suite, nous nous consacrerons à l’étude du filtrage spatio-temporel, et
utiliserons comme critère de performance le rapport SINR spatio-temporel en sortie du filtrage spatiotemporel.

102 Filtrage optimal sur radar à antenne tournante

Chapitre 7
Filtrage spatial non stationnaire sur
radar à antenne tournante
Sommaire
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Algorithme OLS à coefficients variables dans le temps . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3 Algorithme MVDR à coefficients variables dans le temps . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1 Introduction
Dans ce chapitre, nous nous intéressons au problème d’antibrouillage par filtrage spatial lorsque l’antenne
radar est en rotation suivant le modèle présenté dans le chapitre précédent. Rappelons que le principe
intuitif du filtrage spatial (au sens du critère MVDR) est de focaliser dans la direction supposée de la
cible et de former des trous dans le diagramme dans la direction des brouilleurs. La rotation d’antenne
a donc un impact à la fois sur la focalisation et sur l’antibrouillage, l’environnement étant rendu non
stationnaire [77]. Il est donc clair que la rotation d’antenne entraîne le besoin d’adapter le filtre spatial au
cours du temps. Dans ce chapitre, nous proposons d’utiliser une méthode de filtrage applicable en contexte
non-stationnaire et basée sur l’utilisation d’un filtre variable dans le temps. Cette méthode est déclinée
sur l’algorithme Opposition dans les Lobes Secondaires (OLS) implémenté au sein d’une récurrence puis
sur l’algorithme MVDR appliqué pendant toute une rafale.
7.2 Algorithme OLS à coefficients variables dans le temps
7.2.1 Modélisation du problème
On considère dans cette section une antenne composée de deux voies formées. La première (voie
principale) possède un diagramme de rayonnement directif alors que la seconde (voie auxiliaire) a un
diagramme de rayonnement large. On suppose la présence d’un brouilleur b(t) modélisé par un processus
aléatoire stationnaire au second ordre complexe centré de puissance σJ 2 et d’un signal utile s(t) complexe
déterministe de puissance σS 2. De plus, les deux voies générent un bruit thermique interne (n 1(t) et n 2 (t))
venant se rajouter au signal reçu. Ces bruits thermiques sont modélisés par un processus stochastique du
second ordre gaussien complexe centré de puissance σn.
2
Le réseau d’antenne est animé d’un mouvement de rotation uniforme à la vitesse ω rad/s. Les gains
des capteurs sont supposés connus et constants dans le temps. Ils sont fonction uniquement de la direction
d’arrivée et on note G p (θ) et G a (θ) les gains complexes respectifs des voies principale et auxiliaire pour

104 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
0
diagrammes des voies principale et auxiliaire
voie principale
voie auxiliaire
−10
−20
gain en dB
−30
−40
−50
−60
−70
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
angle en degres
Fig. 7.1: Diagrammes des voie principe et auxiliaire
un signal reçu sous l’angle θ. De plus, afin de simplifier le problème, on suppose que l’antenne est focalisée
initialement dans la direction 0 de la cible. On note θ J la DOA initiale du brouilleur. A l’instant t, les
angles sous lesquels sont vus la cible (θ S (t)) et le brouilleur (θ J (t)) sont donc :
θ S (t) = ωt et θ J (t) = ωt + θ J .
Les signaux en sortie des voie principale et auxiliaire peuvent donc s’écrire respectivement :
V p (t) = G p (ωt)s(t) + G p (ωt + θ J )b(t) + n 1 (t) (7.1)
V a (t) = G a (ωt)s(t) + G a (ωt + θ J )b(t) + n 2 (t). (7.2)
Finalement, on suppose que l’on dispose dans la suite des données V p (t) et V a (t) sur les K échantillons
d’une récurrence, à savoir pour t 1 ≤ t ≤ t K .
7.2.2 Description de l’algorithme OLS à coefficients variables dans le temps
Principe de l’algorithme OLS
L’algorithme OLS soustrait au signal sur la voie principale une pondération du signal sur la voie
auxiliaire choisie de telle sorte à minimiser l’influence de la perturbation sur le signal résultant. Il peut
fonctionner dans la mesure où la contribution du signal utile soustraite à la voie principale est négligeable
devant le signal utile sur cette même voie. On se ramène alors à un problème de référence bruit seul.
Les conditions d’application de l’algorithme sont donc la voie principale focalisée dans la direction utile,
le signal perturbateur absent du lobe principal et le gain sur la voie auxiliaire supérieur au gain de la
voie principale au niveau de ses lobes secondaires. Un exemple de diagrammes de voie principale et voie
auxiliaire permettant l’application de l’algorithme OLS est donné par Fig.7.1.

7.2 Algorithme OLS à coefficients variables dans le temps 105
Le critère utilisé dans cette méthode est l’erreur quadratique moyenne entre le signal sur la voie principale
et la pondération du signal sur la voie auxiliaire. L’algorithme OLS standard consiste à rechercher le
coefficient α qui minimise l’expression : E|V p (t) − α ∗ V a (t)| 2 . Le coefficient solution de ce problème vérifie
alors l’équation :
α(t) = E(|V a (t)| 2 ) −1 E(V a (t)V ∗
p (t)).
L’approche OLS optimale serait donc de calculer un coefficient à chaque instant. Cependant, cela n’est
pas réalisable en pratique d’une part parce que les espérances sont estimées par une moyenne empirique
sur plusieurs instants et d’autre part parce qu’une telle approche serait trop lourde à mettre en oeuvre.
Approche avec coefficients variables dans le temps
Cette approche a pour objectif de décomposer le coefficient recherché sur une base polynômiale de
façon à tenir compte des variations temporelles du coefficient optimal [78]. L’estimation à effectuer revient
alors à celle des coefficients dans la base choisie. Supposons que l’on fasse une décomposition du coefficient
sur la base de polynômes canonique contenant I + 1 éléments :
α(t) =
I∑
α i (t − t 0 ) i
i=0
Les coefficients à estimer sont maintenant les coefficients (α i ) i=0..I . t 0 est un instant de la durée d’écoute
choisi de façon à optimiser les performances en termes de puissance résiduelle. Dans toute la suite de ce
chapitre, on fait l’hypothèse selon laquelle la variation de gain est suffisamment faible pour que l’on puisse
se limiter à I = 1.
Implémentation de l’algorithme
L’algorithme OLS peut être mis en oeuvre de différentes manières. En effet, l’utilisateur dispose de
toutes les données correspondant aux cases distance de la récurrence radar et doit choisir les échantillons
à utiliser dans le calcul du coefficient. Ce dernier peut de plus être calculé une ou plusieurs fois. Ici,
nous supposons que le coefficient α n’est calculé qu’une seule fois, à partir de tous les échantillons de la
récurrence.
7.2.3 Etude de performance
Critère de performance retenu
On cherche maintenant à comparer le gain en performance résultant de l’utilisation de l’algorithme
OLS à coefficients variables dans le temps. Pour cela, on retient comme critère la puissance résiduelle de
brouillage instantanée. Ce choix se justifie dans la mesure où ce critère est directement relié au rapport
signal sur bruit. En effet, la puissance utile reçue sur la voie principale est largement supérieure à la
puissance utile reçue sur la voie auxiliaire et donc la contribution du signal utile soustraite à la voie
principale est négligeable devant le signal utile sur cette même voie, quelque soit la version de l’algorithme
OLS utilisé. Dans le rapport signal sur bruit, la puissance du signal peut donc être considérée indépendante
de la version de l’algorithme OLS. De plus, le coefficient α étant faible en raison du choix d’une voie
auxiliaire dont le diagramme est largement supérieur au niveau des lobes secondaires de la voie principale,
la puissance résultante de bruit thermique est approximativement égale à σ 2 n quelque soit la version de
l’algorithme OLS considéré. Finalement, le rapport SINR ne dépend donc que de la puissance résiduelle
de brouillage. Ainsi, l’algorithme est d’autant plus efficace que la puissance résiduelle de brouillage est
faible. D’après (7.1) et (7.2), cette puissance s’écrit à l’instant t :
P res (t) = |G p (ωt + θ J ) − α ∗ (t)G a (ωt + θ J )| 2 σ 2 J . (7.3)

106 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
Expression du critère de performance
Nous calculons dans cette partie l’expression de la puissance résiduelle de brouillage pour l’algorithme
OLS standard puis pour sa version avec coefficients variables dans le temps. Pour aboutir à ces deux
expressions, nous effectuons un développement limité déterministe du gain sur la voie principale et une
approximation sur des fonctions du signal perturbateur qui interviennent dans le calcul. Dans les deux
cas, nous calculons la puissance en fonction de l’instant t k avec 1 ≤ k ≤ K.
Version standard Le coefficient OLS est calculé par moyenne empirique selon la méthode SMI [3] :
K∑
K∑
α = ( |V a (t k )| 2 ) −1 )( V a (t k )Vp ∗ (t k )) (7.4)
k=1
Afin de simplifier cette étude, nous effectuons les hypothèses préalables suivantes :
– le gain de la voie auxiliaire est constant (G a (θ) = G a )
– le signal utile est négligé devant le signal de brouillage : σ 2 S ≪ σ2 J
– le bruit thermique est négligé devant le signal de brouillage : σ 2 n ≪ σ 2 J
Et en utilisant (7.1), (7.2) avec ces hypothèses dans (7.4) :
k=1
K∑
K∑
α = ( |G a | 2 |b(t k )| 2 ) −1 ( G a G ∗ p(ωt k + θ J ) |b(t k )| 2 ). (7.5)
k=1
Introduisons les notations suivantes :
S =
k=1
N∑
|b(t k )| 2 et T =
k=1
N∑
|b(t k )| 2 G p (ωt k + θ J ). (7.6)
La puissance résiduelle de nuisance peut alors s’exprimer de la manière suivante en introduisant (7.5) et
(7.6) dans (7.3) :
P res (1) (t l) =
∣ G p(ωt l + θ J ) − T 2
S ∣ σJ 2 . (7.7)
Notons que même si le coefficient OLS est constant sur l’ensemble des cases distances, la puissance
résiduelle ne l’est pas car elle tient compte du gain de brouillage à l’instant étudié. Ainsi, la méthode
d’antibrouillage peut être plus ou moins efficace selon la case distance traitée.
Version à coefficients variables dans le temps Cherchons maintenant à exprimer la puissance
résiduelle de brouillage dans le cas de l’algorithme OLS avec un coefficient variable dans le temps. Le
coefficient est maintenant estimé par l’expression :
(
α0
α 1
)
= (
k=1
K∑
K∑
V a (t k )Va H (t k )) −1 (
k=1
k=1
V a (t k )V ∗
p (t k ))
(
V
où V a (t k ) = a (t k )
(t k − t 0 )V a (t k )
les notations suivantes :
α(t l ) = α 0 + α 1 (t l − t 0 )
)
. Afin de ne pas trop alourdir les expressions à venir, nous introduisons
K∑
N∑
U = (t k − t 0 ) |b(t k )| 2 et V = (t k − t 0 ) 2 |b(t k )| 2 (7.8)
k=1
k=1

7.2 Algorithme OLS à coefficients variables dans le temps 107
20
influence de la valeur de l angle initial du brouilleur sur le delta de gain
0
−20
gain en dB
−40
−60
−80
variation de gains
gain de la voie principale
−100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
angle en degres
Fig. 7.2: Variations de gain en fonction de θ J
W =
K∑
(t k − t 0 ) |b(t k )| 2 G p (ωt k + θ J ) et X =
k=1
K∑
(t k − t 0 ) 3 |b(t k )| 2 . (7.9)
Avec ces notations et les hypothèses simplificatrices de la section précédente, l’expression du coefficient
OLS devient : ( ) ( ) ( )
α0
α = (|G a | 2 S U ) −1 T
∗
(G
1 U V a
W ∗ ). (7.10)
On en déduit la puissance résiduelle de brouillage après OLS avec coefficient variable dans le temps en
introduisant (7.8) et (7.9) et en remplaçant (7.10) dans (7.3) :
P (2)
res (t l) =
∣ G p(ωt l + θ J ) − ((V T − UW) + (SW − UT)(t ∣
l − t 0 )) ∣∣∣
2
SV − U 2 σJ 2 . (7.11)
De même que pour la méthode OLS classique, la puissance résiduelle de brouillage est fonction de l’instant
auquel on la calcule. Cependant, on remarque dans cette expression que le terme soustrait au gain de
brouillage sur la voie principale est également fonction du temps.
Simplification des expressions de puissance résiduelle de brouillage Afin de comparer les expressions
du critère (7.7) et (7.11), nous procédons maintenant à un développement limité (DL) du gain du
signal perturbateur sur la voie principale. Ce DL est réalisé autour de l’instant traité t l et se justifie dans
la mesure où la variation du gain sur la voie principale est faible pendant la durée d’observation. Comme
le montre Fig.7.2 où est représentée la variation du gain principal pendant la récurrence, en fonction de la
valeur de l’angle initial du signal perturbateur θ J , l’hypothèse est valable lorsque le signal perturbateur
n’est pas vu initialement dans un creux de diagramme. Les valeurs numériques choisies sont telles que
ωT rec = 0.036 deg.
Ce DL s’effectue au premier ordre pour P res, (1) mais au deuxième ordre pour P res, (2) le DL à l’ordre 1
de cette expression étant nul. Pour continuer à simplifier les équations (7.7) et (7.11), nous effectuons
k=1

108 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
K T rec (ms) ω(rd/s) σJ 2 G p (0) G a (0) N mc
100 0.1 2π 50 0 −7 100
Tab. 7.1: Paramètres de la simulation
maintenant une approximation asympotique des fonctions de brouillage correspondant aux équations
(7.8) et (7.9). La convergence en moyenne quadratique des expressions suivantes permet de justifier ces
approximations (avec ρ = t 0
KT e
) :
S
K ≈ σ2 J
et
U
K 2 T e
≈ ( 1 2 − ρ)σ2 J (7.12)
V
K 3 T 2 e
≈ ( 1 3 − ρ + ρ2 )σ 2 J (7.13)
X
K 4 T 3 e
≈ ( 1 4 − ρ + 3/2ρ2 − ρ 3 )σ 2 J. (7.14)
En utilisant (7.12) dans (7.7), on obtient un équivalent sur la puissance résiduelle de brouillage avec
l’algorithme OLS standard :
P (1)
res (t l) ≈
∣
ωT e
(K − 2l) ˙
2
G p (ωt l + θ J )
∣
Puis, en utilisant (7.12), (7.13) et (7.14) dans (7.11) et après quelques simplifications :
P (2)
res(t l ) ≈
∣
ω 2 T 2 e
2 (K2
6 − lK + l2 ) ¨G p (ωt l + θ J )
∣
2
σ 2 J . (7.15)
2
σ 2 J. (7.16)
Nous remarquons que cette dernière expression ne dépend pas de t 0 , ce qui veut dire que le choix de cette
valeur n’a pas d’influence sur les performances de l’algorithme.
7.2.4 Simulations
Les simulations sont réalisées à partir d’une voie principale formée grâce à une ALU de 16 capteurs
et d’une voie auxiliaire à partir d’une ALU de 2 capteurs. Ces deux réseaux respectent la condition de
Shannon et ont le même centre de phase. On choisit comme durée d’observation une période de récurrence
radar. Les puissances sont exprimées en dB.
Comparaison des performances des deux versions de l’algorithme OLS
Les figures suivantes Fig.7.3 et Fig.7.4 comparent les puissances résultantes des deux versions de
l’algorithme OLS obtenues par Monte Carlo sur N mc réalisations et par les formules théoriques (7.15) et
(7.16), pour deux valeurs de θ J correspondant respectivement à un brouilleur dans un trou de diagramme
et un brouilleur sur un lobe secondaire. On observe une nette diminution de la puissance résiduelle
moyenne pour la version avec coefficients variables dans le temps par rapport à la version standard. On
note ensuite que même en zone de gain de la voie principale fortement variable (cf. Fig.7.2 avec θ J = 7
deg.), les courbes théoriques et de Monte Carlo sont très proches. On vérifie enfin que les courbes de P res
(1)
montrent un creux pour l = K (2)
2
, alors que celles de P res montrent un creux pour les valeurs de l racines
de ( K2
6 − lK + l2 ).

7.2 Algorithme OLS à coefficients variables dans le temps 109
20
θ J
=10 deg.
10
puissance resultante en dB
0
−10
−20
−30
−40
−50
Monte Carlo sur Pres1
DL ordre 1 sur Pres1
Monte Carlo sur Pres2
DL ordre 2 sur Pres2
−60
−70
−80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Temps en seconde
x 10 −4
Fig. 7.3: Puissance résultante de brouillage avec θ J = 10 deg
40
θ J
=7 deg.
20
puissance resultante en dB
0
−20
−40
−60
Monte Carlo sur Pres1
DL ordre 1 sur Pres1
Monte Carlo sur Pres2
DL ordre 2 sur Pres2
−80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Temps en seconde
x 10 −4
Fig. 7.4: Puissance résultante de brouillage avec θ J = 7 deg

110 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
20
θ J
=10 deg.
10
0
puissance resultante en dB
−10
−20
−30
−40
Monte Carlo sur Pres1 : Eq(5.7)
Monte Carlo sur Pres1 : Eq(5.3)
−50
Monte Carlo sur Pres2 : Eq(5.11)
Monte Carlo sur Pres2 : Eq(5.3)
−60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Temps en seconde
x 10 −4
Fig. 7.5: Puissance résultante de brouillage avec θ J = 10 deg, σ 2 n = −20dB, σ2 S = −10dB
Robustesse du modèle par rapport aux hypothèses
On étudie maintenant la robustesse des résultats théoriques aux erreurs de modèle sur Fig.7.5. On
remarque que l’expression théorique de P res (2) est moins robuste que celle de P res, (1) mais que les performances
de la version à coefficients variables restent sensiblement meilleures que celles de la version standard.
7.3 Algorithme MVDR à coefficients variables dans le temps
Après avoir étudié l’algorithme OLS à coefficients variables dans le temps avec calcul des filtres sur
une période de récurrence, on s’intéresse maintenant à l’algorithme MVDR à coefficients variables dans le
temps. Pour cela, on choisit d’utiliser l’algorithme Extended Sample Matrix Inversion (ESMI) introduit
par Hayward [78] dont on étudie ici les performances en termes de SINR lors d’une utilisation spatiotemporelle.
On montre en particulier que l’algorithme utilisé dans sa version standard conduit à de bonnes
performances en contexte d’antenne tournante avec présence d’un brouilleur dans la voie principale.
Ainsi, l’utilisation de l’algorithme ESMI permet d’atteindre, dans ces conditions, des performances très
supérieures à celles résultant de l’utilisation de l’algorithme SMI standard 1 . Cependant, ces performances
se dégradent lorsque le brouilleur se trouve dans les lobes secondaires. Afin de compenser ces pertes en
performance, on propose alors une méthode d’optimisation de la contrainte au sens du SINR maximal. De
cette manière, on réussit à compenser les pertes en SINR dûes à la rotation d’antenne pour une position
quelconque du brouilleur par rapport à la cible.
7.3.1 Modélisation du problème
Contexte et modélisation des données
On suppose que l’environnement est composé de brouilleurs, de bruit thermique et d’une cible mobile.
Le radar terrestre émet une rafale composée de M récurrences de période T rec . Dans chaque récurrence, les
1 On appelle algorithme SMI standard l’implémentation SMI du filtre MVDR (cf. chapitre 2).

7.3 Algorithme MVDR à coefficients variables dans le temps 111
Alg. SMI/PRI SMI/CPI
+ robuste à la rotation se dégrade avec la rotation
- manque d’échantillons exploite tous les échantillons
Tab. 7.2: Comparaison des différentes implémentations de l’algorithme SMI
données sont réparties dans deux ensembles : les données primaires et les données secondaires. Les données
primaires correspondent aux échantillons à filtrer et sont composées des signaux de brouillage et de bruit
thermique et éventuellement de signal utile. Les données secondaires sont les données d’estimation et sont
supposées ne contenir que des composants de brouillage et de bruit thermique. On note K le nombre
de données secondaires dans chaque récurrence. Pour calculer le filtre spatial à appliquer sur les données
primaires de toute la rafale, on dispose donc de KM échantillons. On modélise les J signaux de brouillage
{j (m,j)
k
} k=1..K,m=1..M,j=1..J par des processus aléatoires stationnaires au second ordre, complexes centrés,
de puissance σJ 2 . Ils sont corrélés spatialement, mais blancs temporellement, mutuellement indépendants et
on les suppose immobiles. Le bruit thermique {n (m)
k
} k=1..K,m=1..M est modélisé par un processus aléatoire
stationnaire au second ordre complexe blanc, de puissance σn 2 (qui sera unitaire dans la suite). Le signal
est considéré déterministe, de puissance inconnue σS 2 mais de direction connue. Finalement, on note
{x (m)
k
} k=1..K,m=1..M les données secondaires de dimension N (N étant le nombre de capteurs) et on a :
x (m)
k
= j (m)
k
+ n (m)
k
avec j (m)
k
= ∑ J
j=1 j(m,j) k
.
On considère une antenne réseau quelconque en rotation rapide à l’échelle de la rafale, mais lente
par rapport à la récurrence (au sens de [77], i.e. la rotation d’antenne au sein d’une récurrence ne fait
pas apparaître de seconde valeur propre associée à un brouilleur au dessus du seuil de bruit thermique
contrairement à la rotation au sein d’une rafale). Différentes implémentations de l’algorithme SMI, basées
sur les données secondaires, sont possibles, selon la fréquence de mise à jour du filtre spatial dans la rafale.
Pour simplifier, on se limite au calcul d’un filtre par récurrence ou d’un filtre par rafale. On compare les
avantages et inconvénients de ces deux possibilités dans le tableau Tab.7.2.
Ce tableau montre que dans une telle situation, aucune des deux implémentations de l’algorithme SMI
n’est satisfaisante et que l’emploi de l’algorithme ESMI est donc justifié. Le filtre de ce dernier est alors
calculé à partir de toutes les données secondaires de la rafale et les filtres spatiaux variant dans le temps
déduits sont appliqués sur chaque récurrence.
Principe de l’étude de performance
Pour évaluer les performances du traitement proposé, il nous faut tenir compte du signal filtré sur
l’ensemble de la rafale. On choisit le SINR spatio-temporel correspondant à un filtrage spatio-temporel [79]
avec un filtre Doppler non adaptatif. L’expression du SINR est alors donnée par :
SINR = σ2 ∣
S W H Φ ∣ 2
W H RW
où R est la matrice de covariance spatio-temporelle de bruit total, Φ est le vecteur directionnel spatiotemporel
et où W est le filtre spatio-temporel pouvant être décomposé sous la forme :
⎛ ⎞
W =
⎜
⎝
w 1 S
.
w M S
⎟
⎠

112 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
avec {wS m} m=1..M
les filtres spatiaux sur les M récurrences. Comme la variation angulaire dûe à la rotation
est faible, on néglige la perte en SINR résultant de la désadaptation du vecteur directionnel spatial φ
(avec ‖φ‖ 2 = N). Ainsi, on écrira :
⎛ ⎞
φ T (1)φ
⎜ ⎟
Φ = ⎝ . ⎠
φ T (M)φ
avec φ T (m) représentant le déphasage dûe à l’effet Doppler, que l’antenne soit en rotation ou non. De
plus, on omettra d’écrire la puissance du signal utile dans les expressions, comme cette dernière disparaît
dans les deux normalisations.
7.3.2 Description des algorithmes ESMI
Description de l’algorithme ESMI standard
Dans notre contexte, la matrice de covariance spatiale varie dans le temps, c’est à dire : R S = R S (t) =
E { x t x H }
t . L’idée d’Hayward [78] a consisté à écrire le filtre spatial sous la forme : wS (t) = w 0 + t∆w.
Dans ce cas, le problème MVDR s’écrit :
min
(w 0 ,∆w)/w(t) H c t=1
où différents vecteurs de contrainte c t sont proposés dans [78]. Avec ˜x t
def
=
une contrainte associée à c t , (7.17) devient :
min
˜w/ ˜w H˜c=1
E
{ ∣∣(w0
+ t∆w) H x t
∣ ∣
2 } (7.17)
E
{ ∣∣
˜w H˜x t
∣ ∣
2 } .
( ) (
xt
, ˜w def w0
=
tx t ∆w
)
, et ˜c
L’implémentation de cette minimisation standard est ensuite réalisée par une implémentation SMI, donnant
naissance à l’algorithme ESMI :
ˆ˜w ∝ ˆR −1˜c (7.18)
où ˆR =
( )
ˆR(0) ˆR(1)
avec
ˆR ˆR (j) =
(1)
ˆR(2)
P M,K
m,k=1 tj m,k x(m) k
KM
x (m)H
k
. Différents types de contraintes peuvent être
utilisées pour ce filtre étendu. Une et plusieurs contraintes indépendantes ont été proposées dans [78].
Cependant, la plus classique
( )
consiste à imposer une contrainte sur w 0 , tout en laissant ∆w libre (cf. par
φ
exemple [80] où ˜c = ). On étudie maintenant les performances en termes de SINR cet algorithme
0
ESMI standard.
Etude de performance de l’algorithme ESMI standard
Tout d’abord, montrons que l’étude de performance faite sous des hypothèses bruit thermique seul est
également valable en présence d’un seul brouilleur vu dans les lobes secondaires. Considérons un scénario
stationnaire pour lequel R 1 = σJ 2φ Jφ H J +σ2 nI est la matrice de covariance du bruit total avec φ J le vecteur
directionnel spatial du brouilleur. Après quelques manipulations algébriques, on obtient le SINR suivant :
SINR = φ H R −1
1 φ = N σ 2 n
|φ H φ J | 2
⎛
⎝1 −
∣ φ H ∣
⎞
φ J 2
+ N 2
Cela implique que SINR ≈ N si ≪ 1, i.e., si le brouilleur est vu dans les lobes secondaires
σn
2 N 2
de l’antenne. En présence de plusieurs brouilleurs dans les lobes secondaires, une preuve analytique de
N σ2 n
σ 2 J
⎠ .

7.3 Algorithme MVDR à coefficients variables dans le temps 113
L
l = 1899 M = 1 M = 100
K = 2 L
K = 200
ρ −3.65 −6.54 0 −5.71 −4.02 −3.65
Tab. 7.3: Influence des paramètres sur le rapport SINR normalisé
Fig. 7.6: Formulation GSC de l’algorithme ESMI
l’équivalence est plus difficile. Cependant, on peut montrer par simulation que le résultat précédent reste
valable.
L’analyse est effectuée en statistiques exactes où les matrices estimées ˆR (j) sont remplacées par leurs
espérances. Ainsi, on a ˆR (j) ≈ σn 2s jI avec s j = 1 ∑ M ∑ K
KM m=1 k=1 tj m,k
. Ensuite, on suppose que les données
secondaires correspondent aux derniers échantillons de chaque récurrence qui contient le nombre total de
L échantillons. Après omission de la période d’échantillonnage qui n’intervient pas dans les calculs, on a
t m,k = mL − K − 1 + k. On calcule alors en Annexe F le rapport SINR spatio-temporel normalisé (par
rapport au SINR obtenu avec une antenne immobile) pour la case distance l :
ρ =
( (
s2 − ls 1 − s M−1
) ) 2
1 L
2
((s 2 − ls 1 ) 2 − s 1 (s 2 − ls 1 )(M − 1)L + s2 1 (M−1)(2M−1)L2
6
). (7.19)
Pour illustrer cette formule, on note tout d’abord que l’on observe par simulation que le SINR ne dépend
approximativement de L et K qu’au travers du quotient L K
. Ensuite, on fixe par défaut les paramètres
l = 0, M = 10, K = 100 et L = 2000 (première colonne de Tab.7.3) et on teste dans Tab.7.3 l’influence
de chacun des paramètres (autres colonnes) tout en laissant les autres inchangés. On remarque que l et
M ont une plus forte influence sur le SINR que L et K.
Pour remédier à la perte en performance, on s’intéresse maintenant à la forme GSC [81] de l’algorithme
ESMI.
Forme GSC de l’algorithme ESMI
L’algorithme ESMI correspond à l’implémentation directe de la solution d’un problème MVDR. Mais le
problème est équivalent à un problème d’optimisation sans contrainte lorsqu’il est écrit dans sa formulation
GSC [81] représentée sur Fig.7.6. Ainsi, on appelle ˜B la matrice blocante telle que ˜B˜φ = 0. La relation
entre le filtre spatial ˜w et le filtre GSC ˜w 0 est la suivante :
˜w = ˜φ − ˜B H ˜w 0
) −1
avec ˜w 0 =
(˜B ˜R˜BH
(˜B ˜R˜φ)
. La difficulté résultant de l’utilisation de l’algorithme ESMI vient du
fait qu’il est impossible de choisir une matrice blocante ˜B telle qu’il n’y ait pas ( de)
composante du signal
0
présente dans les données auxiliaires de l’algorithme GSC. En effet, le vecteur qui est orthogonal à
φ
˜φ appartient à Vect(˜B). Ce constant suggère d’utiliser une autre contrainte, que l’on présente maintenant.

114 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
Fig. 7.7: Position de α dans la rafale
N M K L θ J (deg)
8 10 100 2000 35
σ 2 n(dB) σ 2 J (dB) N J α T rec (s)
0 50 1 0.0109 2e-4
Tab. 7.4: Paramètres de la simulation
Stratégie de choix d’une contrainte optimale
Pour éviter de supprimer une partie( de signal ) utile après filtrage, on propose d’utiliser un vecteur de
contrainte s’écrivant sous la forme ˜φ φ
= pour lequel on cherche la valeur optimale de α (au sens
αφ
de la maximisation du SINR). En appliquant la même méthode de calcul que celle présentée en Annexe
F, on obtient le SINR normalisé suivant lorsque la contrainte alternative est utilisée :
ρ = 1 − s 2 4
(
(M−1)(M+1)L 2
12
s 2 3 − s 3s 4 (M − 1)L + s2 4 (M−1)(2M−1)L2
6
)
(7.20)
où s 3 = s 2 − ls 1 − α ′ s 1 et s 4 = s 1 − α ′ avec α ′ def = α T e
. Or, on sait que le SINR normalisé est majoré par
l’unité et on voit dans (7.20) que cette borne supérieure est atteinte quand s 4 = 0, c’est à dire lorsque
α opt = s 1 T e = [ (M+1)L−(K+1)
2
]T e . Comme on le voit sur Fig.7.7, la contrainte optimale obtenue par cette
approche est intuitive car elle consiste à imposer que le filtre spatial implique un gain unité dans la
direction de focalisation à un instant qui correspond approximativement au ’milieu’ de la rafale. Nous
le notons donc T middle = α et la contrainte s’écrit w S (T middle ) H φ = 1. Il est important de noter que la
valeur optimale ρ = 1 ne dépend pas de la case distance testée l contrairement au cas de l’algorithme
standard (cf. (7.19)). Cependant, on montre en Fig.7.8 que le SINR est très sensible à la valeur de α aux
différentes cases distance.
7.3.3 Simulations
On présente maintenant des simulations pour comparer les performances des deux contraintes précédentes
utilisées avec l’algorithme ESMI. On considère une antenne linéaire uniforme et on utilise les paramètres
radar typiques donnés par Tab.7.4 pour la simulation. On compare les performances lorsque l’antenne est

7.4 Conclusion 115
SINR normalise en dB
1800
Numero d’echantillon
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
−4
−5
−3 −3
−4
−2 −2 −2
−3
0
0
−3
−5
−3 −3
−5
−5
−13 −13
−13
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
alpha
Fig. 7.8: SINR normalisé ρ en fonction de α
en rotation à la vitesse de 0.5 tour/sec., ce qui correspond à une rotation de 0.06 rad. pendant la rafale
ou encore 0.25 en largeur de lobe principal. Fig.7.9 représente les SINRs normalisés (ici par rapport à la
valeur optimale) pour trois algorithmes (SMI et ESMI avec les deux contraintes considérées). Les courbes
sont obtenues après simulation de Monte Carlo sur 100 réalisations. On les compare à la courbe de SINR
optimale obtenue avec un traitement STAP optimal (cf. chapitre suivant) avec matrice de covariance R(t)
connue. Sur Fig.7.9, on vérifie tout d’abord que l’amélioration des performances résultant de l’utilisation
de l’algorithme ESMI est importante dans la zone du brouilleur (on observe un gain d’environ 20 dB).
Ensuite, on remarque que le choix de la contrainte n’a pas véritablement d’influence lorsque la cible est
proche du brouilleur. Cependant, quand le brouilleur est vu dans les lobes secondaires éloignés, c’est à
dire lorsque l’on se rapproche d’une situation sans brouillage, une perte importante (−4 dB en accord
avec 7.19) apparaît lorsque la contrainte standard est choisie. Au contraire, l’utilisation de la contrainte
alternative conduit à un SINR proche du SINR optimal.
7.4 Conclusion
Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés au problème d’antibrouillage en configuration radar
à antenne tournante. En particulier, nous avons proposé l’utilisation de filtrage spatial à coefficients
variables dans le temps. Dans un premier temps, nous nous sommes placés sous l’hypothèse selon laquelle
la rotation d’antenne est rapide à l’échelle de la récurrence et avons proposé l’utilisation d’une version
de l’algorithme OLS à coefficients variables dans le temps. Puis, nous en avons étudié les performances
pour montrer que l’utilisation de coefficients variables dans le temps permettait un gain conséquent en
termes de SINR. Ensuite, nous avons considéré une situation dans laquelle la rotation d’antenne est
négligeable à l’échelle de la récurrence mais pas à l’échelle de la rafale. Dans ce cas, nous avons proposé
l’utilisation de l’algorithme ESMI présenté dans la littérature pour un calcul de filtres MVDR variables
dans le temps. Cependant, l’implémentation de cet algorithme avec une contrainte directionnelle standard
conduit à de mauvaises performances en présence de signaux de brouillage vus dans les lobes secondaires.
Pour compenser ces pertes en performance, nous avons finalement présenté une méthode d’optimisation

116 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
0
SINR
−10
−20
−30
−40
dB
−50
−60
−70
−80
−90
ESMI with alternative constraint
optimal SINR
SMI
ESMI with standard constraint
−100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
degrees
Fig. 7.9: Comparaison des SINRs résultants des différents algorithmes
du choix de cette contrainte et montré que l’on pouvait de cette manière atteindre les performances
optimales en termes de SINR obtenues en configuration antenne fixe.

Chapitre 8
Filtrage spatio-temporel sur radar à
antenne tournante
Sommaire
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Traitement proposé en présence de référence brouillage seul . . . . . . . . . . 123
8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul . . . . . . . . . . 126
8.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.1 Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons considéré le problème de rejection de signaux de brouillage
en configuration antenne tournante. Nous avons vu que la rotation d’antenne rendait l’environnement
non-stationnaire et avons proposé l’utilisation d’un filtrage à coefficients variables dans le temps. Dans ce
chapitre, nous nous intéressons maintenant au problème de rejection conjointe des signaux de brouillage
et de fouillis par filtrage spatio-temporel.
En configuration antenne fixe, la rejection d’échos de fouillis s’effectue par filtrage temporel (ou Doppler).
En effet, ces derniers sont vus à des faibles fréquences Doppler qu’il est possible de rejeter par
utilisation de filtres passe bande autour de fréquences Doppler non nulles correspondant aux différentes
hypothèses de vitesses de cibles. De plus, la rejection de brouilleurs bande étroite est réalisée par filtrage
spatial, les différents brouilleurs étant vus à des directions d’arrivée constantes. Dans cette situation, le
spectre Doppler des échos étant indépendant de leur DOA et la DOA des brouilleurs ne dépendant pas de
leur spectre Doppler, il est clair que le même filtre Doppler peut être appliqué sur chaque capteur ou pour
chaque DOA et le même filtre spatial à chaque récurrence ou en sortie de chaque filtre Doppler. Notant
W le filtre spatio-temporel, celui-ci peut donc s’écrire de manière factorisée sous la forme W = w S ⊗w T
ou W = w T ⊗ w S , où w S désigne le filtre spatial et w T le filtre Doppler. Cependant, en configuration
antenne tournante, cette indépendance des paramètres du fouillis et des brouilleurs n’est plus vérifiée. En
effet, les échos de fouillis sont vus à une certaine vitesse induite par la rotation d’antenne et la position
des brouilleurs varie au cours du temps. Le filtre spatio-temporel ne peut donc plus s’écrire sous une forme
factorisée sans impliquer une dégradation des performances du système.
Dans les systèmes radar aéroportés, il existe également une dépendance entre les paramètres Doppler
et DOAs du fouillis. En effet, les échos de fouillis sont vus à une certaine vitesse radiale par rapport au
radar en déplacement, cette dernière étant fonction de la DOA de l’écho par rapport au radar. Un simple
filtrage Doppler n’est donc pas applicable dans cette situation, contrairement à la configuration radar
terrestre (sans déplacement) en configuration antenne fixe. Pour filtrer efficacement le fouillis, un filtrage

118 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
spatio-temporel adaptatif (Space-Time Adaptive Processing ou STAP) a été introduit en 1973 dans [73] et
développé plus tard dans [79] et [82] (voir également [20], [83]). Ce filtrage consiste à adapter conjointement
le filtre spatio-temporel à partir des données afin de filtrer le fouillis et les brouilleurs dans le plan
fréquence-Doppler/DOA. Cependant, en pratique, l’utilisation du filtrage STAP tout adaptatif est limitée
par des contraintes de complexité d’implémentation et de vitesse de convergence lente. Pour faire face
à cette difficulté, deux grandes catégories d’algorithmes STAP à adaptativité réduite sont proposées. La
première correspond au filtrage à réduction de dimension (RD) et consiste à appliquer une transformation
non adaptative sur les données avant de calculer le filtre spatio-temporel. La seconde catégorie correspond
au STAP à réduction de rang (RR) et consiste à appliquer une transformation dépendant des données sur
ces données avant le calcul du filtre (cf. par exemple [18,84,85] et la discussion au chapitre 2). Les deux
types d’algorithme permettent notamment de rendre la convergence des filtres calculés vers la solution
optimale (au sens d’un nombre infini d’échantillons) plus rapide (cf. par exemple [86]).
Dans ce chapitre, nous nous intéressons au problème de l’utilisation du filtrage STAP avec radar
terrestre en configuration antenne tournante. Nous distinguons plusieurs cas, en fonction de la nature des
données disponibles pour l’estimation du filtre spatio-temporel. Ainsi, nous supposons tout d’abord avoir
à disposition des données servant de référence brouillage+bruit thermique seul (sans présence de fouillis).
Puis, nous considérons le cas où cette hypothèse n’est plus valable. Pour chaque cas, nous proposons
l’utilisation d’un filtrage spatio-temporel dont nous étudions les performances en les comparant à celles
d’autres implémentations STAP à réduction de dimension ou de rang.
8.2 Position du problème
8.2.1 Modélisation des données
On suppose que l’environnement est composé de brouilleurs, de fouillis, de bruit thermique et d’une
cible en déplacement. Le radar émet une rafale composée de M récurrences de période T rec . Les données
sont regroupées en trois catégories : primaires, secondaires et tertiaires. Les données primaires correspondent
aux échantillons à filtrer et sont composées d’interférences (brouilleurs et fouillis), de bruit
thermique et éventuellement de signal utile. Les données secondaires sont les données d’estimation et
sont supposées n’être composées que de brouillage, fouillis et bruit thermique. Finalement, les données
tertiaires ne contiennent que les composantes de brouillage et de bruit thermique. De telles données sont
par exemple présentes dans les radars à faible fréquence de récurrence (PRF ou Pulse Repetition Frequency)
pour lesquels la puissance de fouillis dans les cases distance lointaines peut être faible 1 . On note
K le nombre d’échantillons secondaires dans la récurrence. Pour simplifier les notations, on suppose que
le nombre d’échantillons tertiaires dans chaque récurrence est aussi égal à K. On suppose de plus que les
J signaux de brouillage {j (m,j)
k
} k=1..K,m=1..M,j=1..J , modélisés par des processus aléatoires stationnaires
au second ordre, sont centrés, de puissance σJ 2 . Ils sont spatialement corrélés, mais blancs temporellement
et mutuellement indépendants. Le fouillis est modélisé par des points brillants. Ces derniers sont supposés
fixes, corrélés spatialement et de récurrence à récurrence mais blancs d’échantillon à échantillon au
sein de chaque récurrence. Comme les brouilleurs, ils sont centrés, de puissance σc 2(θ i), fonction de leur
DOA et de leur distance par rapport au radar. De plus, ils sont supposés mutuellement indépendants. Le
bruit thermique {n (m)
k
} k=1..K,m=1..M est modélisé par un processus aléatoire stationnaire au second ordre
complexe blanc, de puissance unitaire σn. 2 Finalement, le signal est supposé déterministe, de puissance
inconnue σS 2 , mais de direction et de vitesse connue. On note {x(m)
k
} k=1..K,m=1..M les données tertiaires
(vecteurs de dimension N correspondant au nombre de capteurs) et on a :
x (m)
k
=
J∑
j=1
j (m)
k
(θ j ) + n (m)
k
1 Notons qu’il existe en radar des fonctions internes permettant de savoir si les cellules sont polluées ou non par du fouillis.

8.2 Position du problème 119
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
01
Antenna
Emission
Beamwidth
Reception
Beamwidth
Rotation in CPI
(ω=180 deg/s)
Fig. 8.1: Hypothèses sur les diagrammes d’émission et de réception
où j (m,j)
k
= j (m)
k
(θ j )φ (m)
k
(θ j ) et φ (m)
k
(θ) est le vecteur directionnel du k eme échantillon de la m eme récurrence.
Ensuite, en supposant que toutes les composantes sont mutuellement décorrélées, la matrice de covariance
spatiale du k eme échantillon de la récurrence m est donnée par :
R (m)
k
=
J∑
j=1
R (m,j)
k
+ σ 2 nI.
Notons ensuite X k=1..K les données spatio-temporelles de dimension NM. L’arrangement spatio-temporel
est le suivant :
⎛
x (1) ⎞
ḳ
def ⎜ ⎟
J∑
X k=1..K = ⎝ . ⎠ = J k (θ j ) + ∑ C k (θ i ) + N k
x (M) j=1 i
k
avec J k (θ j ) def = [j (1)
k (θ j),..,j (M)
k
(θ j )] T def
les vecteurs spatio-temporels de brouillage, N k = [n (1)
k ,..,n(M) k
] T
le vecteur spatio-temporel de bruit thermique, C k (θ i ) = c k (θ i )Φ k (θ i ) les vecteurs spatio-temporels de
fouillis et Φ k (θ i ) def = [φ (1)
k (θ i),..,φ (M)
k
(θ i )] T les vecteurs directionnels spatio-temporels à l’échantillon k.
Notons que cette expression signifie implicitement que le gain d’émission est supposé constant pendant la
récurrence, en dépit de la rotation d’antenne. Cette hypothèse se justifie dans la mesure où on suppose
que le faisceau d’émission de l’antenne est large par rapport à la rotation d’antenne, contrairement au
faisceau en réception, comme l’illustre Fig.8.1. Ensuite, la matrice de covariance spatio-temporelle des
données secondaires est donnée par :
R k = R k,J + R k,c + σ 2 nI (8.1)
où
et
R k,J
def
=
⎛
J∑ ⎜
⎝
j=1
R k,c
def
= ∑ i
R (1,j)
k
O
. ..
O
R (M,j)
k
σ 2 c (θ i)Φ k (θ i )Φ H k (θ i).
⎞
⎟
⎠
Finalement, on note Φ k le vecteur directionnel spatio-temporel de la cible égal à :
Φ k = [φ (1)
k (θ S),e j2πf ST rec
φ (2)
k (θ S),...,e j2π(M−1)f ST rec
φ (M)
k
(θ S )] T

120 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
où θ S est la DOA de la cible et f S sa fréquence Doppler. On considère une antenne linéaire uniforme et une
situation dans laquelle la rotation est rapide à l’échelle de la rafale mais lente à l’échelle de la récurrence.
Par conséquent, on effectue les approximations suivantes : R (m)
k
≈ R (m) , R k ≈ R et Φ k ≈ Φ. On suppose
que l’antenne est en rotation à la vitesse ω rad/s. Ainsi, une cible vue sous la DOA θ à l’instant initial
est vue sous la DOA θ + ωt à l’instant t. Notons enfin que pour évaluer les performances des différents
traitements, on considérera le SINR spatio-temporel normalisé, à savoir
ρ = SINR
σ 2 S NM .
8.2.2 Influence de la rotation d’antenne sur les traitements spatio-temporels
Comme nous l’avons rappelé dans le chapitre 2, le filtre maximisant le SINR spatio-temporel est de
la forme : W ∝ R −1 Φ. En pratique, la matrice de covariance d’interférences et de bruit thermique R est
inconnue et doit être estimée à partir des données. Des algorithmes adaptatifs sont donc utilisés, dont
le plus célèbre est l’algorithme SMI proposé dans [31]. Il consiste à implémenter le filtre W = ˆR −1 Φ,
où ˆR est l’estimée empirique de la matrice de covariance exacte. Les auteurs de [31] ont montré que
la vitesse de convergence de l’algorithme dépend de la dimension de la matrice. Cependant, d’autres
algorithmes peuvent également être utilisés afin d’accélerer la vitesse de convergence du filtre (cf. chapitre
2). Cette dernière dépend alors du rang du sous-espace des interférences. Ici, on s’intéresse à l’influence
de la rotation d’antenne sur le filtrage STAP (en observant notamment l’influence de la rotation sur le
rang du sous-espace des interférences) puis sur les filtrages spatial et temporel. Dans la suite, on suppose
que le fouillis sur les lobes secondaires du diagramme d’émission peut être négligé et que la puissance du
fouillis sur le lobe principal est constante.
Sur le filtrage spatio-temporel conjoint : STAP
Le filtrage STAP consiste à calculer de manière adaptative un filtre spatio-temporel. Les algorithmes
les plus couramment utilisés sont les algorithmes à réduction de rang (cf. [85]), dont la vitesse de convergence
dépend du rang de la matrice de covariance des interférences. Ce dernier dépend en particulier
du nombre de capteurs de l’antenne et augmente avec l’étalement angulaire du fouillis. Cependant, dans
notre contexte d’application, le rang dépend également de la vitesse de rotation d’antenne. Pour illustrer
cette dépendance, on trace en Fig.8.2 les valeurs propres de la matrice de covariance spatio-temporelle du
fouillis et bruit thermique, en fonction de la vitesse de rotation d’antenne et de l’extension angulaire du
fouillis. Les paramètres sont N = 60, M = 10 et T rec = 2 ms. On remarque que la rotation accroit le rang
du sous-espace de fouillis, et le phénomène augmente avec l’extension angulaire de ce dernier. Cependant,
l’augmentation du rang reste faible par rapport au rang du sous-espace de fouillis en antenne fixe.
Sur le filtrage spatio-temporel séparable
L’approche de filtrage spatio-temporel séparable consiste à implémenter un filtrage spatial suivi d’un
filtrage temporel ou vice-versa. Le cas le plus simple est le filtrage factorisé, qui est utilisé par défaut dans
les radars terrestres. Dans cette approche, un seul filtre spatial et un seul filtre temporel sont calculés et
le filtre spatio-temporel est ensuite formé par produit de Kronecker de ces deux filtres. Deux versions du
traitement séparable sont disponibles, en fonction de l’ordre des filtres : spatial et temporel ou temporel
et spatial. Cependant, en présence d’une antenne tournante, la seconde solution ne semble pas adéquate,
parce qu’elle rend impossible une mise à jour des filtres spatiaux de récurrence à récurrence pour s’adapter
à la rotation d’antenne au sein de la rafale. Par conséquent, on ne considère maintenant que l’approche
filtrage spatial puis temporel.

8.2 Position du problème 121
45
40
35
30
25
dB
20
θ c
=[−20:20]
15
10
5
0
ω = 0 deg/s
ω = 180 deg/s
ω = 720 deg/s
θ c
=[−50:50]
0 10 20 30 40 50 60
indice de valeur propre
Fig. 8.2: 60 premières valeurs propres de la matrice de covariance spatio-temporelle totale de bruit
Filtrage spatial Comme cela a été décrit dans [77], la rotation d’antenne conduit à un étalement spectral
de la matrice de covariance du brouillage. Cela résulte en une dégradation des performances du traitement
en termes de SINR. Pour contourner cette difficulté, les filtres spatiaux doivent être fréquemment
recalculés. Cela peut s’effectuer à chaque récurrence ou par paquets de récurrences. Pour simplifier les
notations, on suppose dans la suite que la mise à jour s’effectue par récurrence et on note {w S,m } m=1..M
les différents filtres spatiaux.
Filtrage temporel On suppose maintenant que le filtrage spatial a été implémenté, avec compensation
de rotation pour s’adapter à la rotation d’antenne. Dans ces conditions, les réflecteurs du fouillis de DOAs
différentes de la direction de focalisation sont vus avec une fréquence Doppler non nulle. Ainsi, si on note
θ S l’azimuth de focalisation et θ c celle d’un point brillant de fouillis, on peut montrer que ce dernier sera
vue avec la fréquence Doppler normalisée ‘artificielle’ suivante, calculée au premier ordre :
( (
θS − θ c θS + θ c
f dop (θ c ) ≈
(N − 1)
ωTsin
2
2
)
sin
2
)
. (8.2)
Fig.8.3 représente cette fréquence Doppler en fonction de θ S à des valeurs différentes de θ c , pour les paramètres
N = 60, ω = 180 deg/s et T rec = 2 ms. Par exemple, on observe que lorsque l’antenne est focalisée
dans la direction 0 deg., un point brillant de fouillis vu à la direction d’arrivée 20 deg., apparaît avec une
fréquence Doppler normalisée d’environ 0.012. Pour comprendre l’origine de ce phénomène, intéressons
nous aux diagrammes d’antenne, avant et après compensation de rotation. Sans compensation, la rotation
d’antenne entraîne une translation du diagramme, par rapport à un repère fixe. A titre d’exemple, Fig.8.4
montre un diagramme spatial focalisé initialement dans la DOA 0 degré. Après rotation de l’antenne de
10 degrés, le diagramme se retrouve translaté de cette même valeur. Afin de faire en sorte que le lobe principal
de l’antenne soit toujours dirigé vers la même DOA, une compensation de rotation peut alors être
utilisée. Cependant, comme le montre Fig.8.5, ce traitement permet seulement de compenser la rotation
dans la direction de focalisation. On observe en effet un décalage entre les lobes secondaires avant rotation
et après compensation de rotation, croissant lorsque l’on s’éloigne de la direction de focalisation. C’est ce
décalage qui entraîne une modulation des échos vus sur les lobes secondaires, d’autant plus importante

122 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
0.015
0.01
θ c
=20 deg
frequence Doppler normalisee
0.005
0
−0.005
θ c
=15 deg
θ c
=10 deg
θ c
=5 deg
−0.01
θ c
=0 deg
−0.015
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
θ S
Fig. 8.3: Fréquence Doppler normalisée en fonction de θ S et θ c
20
Modification du diagramme de rayonnement après rotation d’antenne
Diagramme initial
Diagramme après rotation
10
0
Gain en dB
−10
−20
−30
−40
−50
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
Azimut en degrés
Fig. 8.4: Modification du diagramme spatial de l’antenne après rotation

8.3 Traitement proposé en présence de référence brouillage seul 123
20
Diagrammes spatiaux après contre rotation (Rotation de 10 degrés)
Diagramme initial
Diagramme après rotation
10
0
Gain en dB
−10
−20
−30
−40
−50
−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100
Azimut en degrés
Fig. 8.5: Diagrammes spatiaux avant rotation de 10 deg. et après compensation de rotation
que ces derniers ont une DOA éloignée de la direction de focalisation. Cela se traduit par l’apparition
d’une fréquence Doppler normalisée ’artificielle’ selon la formule 8.2.
8.3 Traitement proposé en présence de référence brouillage seul
Pour tenir compte de l’influence de la rotation sur les traitements, on propose maintenant l’utilisation
d’un filtrage spatio-temporel séparable. Cela correspond à une approche intermédiaire entre un filtrage
STAP et un filtrage spatio-temporel factorisé utilisé par défaut dans les radars terrestres. Le filtrage
proposé consiste à implémenter un filtrage spatial adaptatif avec calcul des filtres à partir des données
tertiaires à chaque récurrence, suivi d’un filtrage Doppler adaptatif. Il est illustré par Fig.8.6. Par opposition
au traitement STAP, ce filtrage sera dénommé SAPTAP (Space Adaptive Processing Time Adaptive
Processing) dans la suite, afin de simplifier les notations.
1st data
Spatial filtering
Doppler filtering
w S
w T
3rd data
Estim.
R^
2nd data
Estim.
^R T
Fig. 8.6: Diagramme du filtrage spatio-temporel SAPTAP

124 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
8.3.1 Description du traitement proposé
Lorsque l’on s’impose une contrainte directionnelle, maximiser un SINR est équivalent à minimiser la
variance : W H RW. Contrairement au filtrage STAP, on contraint la structure du filtre spatio-temporel
à s’écrire sous la forme :
W = [w T (1)w T S,1 ,...,w T(M)w T S,M ]T
et on note w T = [w T (1),... ,w T (M)] T le filtre Doppler et W S = [w S,1 ,...,w S,M ] T les filtres spatiaux
pour les différentes récurrences. Ensuite, pour faire l’optimisation, on décompose la variance W H RW en
deux parties, correspondant respectivement aux matrices de covariance de brouillage+bruit thermique et
fouillis (cf. 8.1) :
avec
W H RW = f(W S ,w T ) + g(W S ,w T )
f(W S ,w T ) =
M∑
|w T (m)| 2 wS,m(R H k,J + σnI)w 2 S,m
m=1
g(W S ,w T ) = w H T R Z w T
et R Z est la matrice de covariance du fouillis après filtrage spatial, c’est à dire (R Z ) m,m ′ = w H S,m R c(m,m ′ )w S,m ′
avec R c (m,m ′ ) = ∑ i σ2 c (θ i)φ (m) (θ i )φ (m′)H (θ i ).
On décrit maintenant le traitement proposé, qui consiste à effectuer l’optimisation en deux étapes. Tout
d’abord, les filtres spatiaux (w S,m ) m=1..M sont calculés pour minimiser la variance de brouillage+bruit
thermique sur chaque récurrence et ainsi la composante f(W S ,w T ). Cette optimisation s’effectue par
utilisation des données tertiaires. Ensuite, pour minimiser W H RW, il reste à minimiser la seconde composante
g(W S ,w T ). Cette étape s’effectue sur w T , par utilisation des données secondaires. Le filtre
solution est alors simplement w T ∝ R −1
Z φ T où φ T est le vecteur des déphasages Doppler correspondant
à la vitesse de la cible.
Pour mieux comprendre ce schéma, comparons le à l’approche factorisée en configuration antenne
fixe. Ce dernier traitement consiste à implémenter en premier lieu un filtrage spatial adaptatif unique
w S et à ensuite appliquer un filtre Doppler non adaptatif par TFD. En configuration antenne fixe, ce
schéma est efficace par la matrice correspondante R Z est de rang un, engendrée par le vecteur [1...1] T .
Par conséquent, les filtres Doppler obtenus par TFD aux fréquences Doppler non nulles sont orthogonaux
à ce dernier vecteur, annulant ainsi le terme wT HR Zw T . Cependant, lorsque l’antenne est en rotation
et que les filtres spatiaux sont mis à jour dans la rafale, la propriété de rang un de la matrice R Z
disparaît. Cela s’explique à la fois par des erreurs stochastiques dans le calcul des filtres de récurrence à
récurrence et par des changements déterministes conduisant à un étalement Doppler, comme cela a été
décrit dans la section précédente. Notons alors que même si les fluctuations aléatoires peuvent être limitées
par utilisation de contraintes sur les filtres spatiaux, un étalement Doppler reste. Cela peut induire des
dégradations de performance, par exemple lorsque de puissants points brillants de fouillis sont vus sur les
lobes secondaires. Par conséquent, un calcul adaptatif des filtres Doppler apparaît approprié.
Finalement, on résume l’algorithme permettant de calculer le filtre spatio-temporel :
– Calculer les filtres spatiaux W S avec mise à jour à chaque récurrence par estimation des données
tertiaires
– Estimer la matrice de covariance R c avec les données secondaires
– Calculer R Z à partir de R c et W S
– Calculer w T
– Former le filtre spatio-temporel et filtrer les données primaires

8.3 Traitement proposé en présence de référence brouillage seul 125
0
−0.5
−1
−1.5
f S
=0.2
−2
dB
−2.5
−3
−3.5
f S
=0.05
−4
−4.5
−5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
ω (deg/s)
Fig. 8.7: Comparaison des performances optimales, STAP (–), SAPTAP (- -)
8.3.2 Simulations
On effectue maintenant des simulations pour comparer les performances des traitements STAP et
SAPTAP. Notons que nous ne simulons pas ici le traitement spatio-temporel factorisé qui conduit à
de mauvaises performances par rapport aux traitements précédents. Dans un premier temps, nous nous
intéressons aux performances optimales des traitements (les matrices de covariance étant donc supposées
connues) afin d’obtenir des bornes de performances pour l’étude des versions adaptatives.
Filtrage optimal
On suppose que J = 4 brouilleurs sont présents aux DOAs [−20, −17,10,18] deg. et de puissance
σJ 2 = 30 dB. L’extension angulaire du fouillis est [−20 : 20] deg. et les paramètres de la simulation sont
les mêmes que pour Fig.8.2. On trace les SINRs obtenus en fonction de la vitesse de rotation ω sur
Fig.8.7. Tout d’abord, on observe que les deux traitements sont optimaux en configuration antenne fixe.
Cependant, on observe qu’une perte en SINR apparaît pour des faibles valeurs de la fréquence Doppler de
la cible f S . Par exemple, une perte d’environ 2.3 dBs se produit pour le STAP. Ensuite, on note que les
performances du filtrage STAP ne semblent pas dépendre de la vitesse de rotation d’antenne, contrairement
au filtrage SAPTAP. Enfin, on remarque que la dégradation des performances pour le filtrage SAPTAP en
fonction de la vitesse de rotation d’antenne est limitée lorsque f S = 0.2, mais conséquente pour f S = 0.05.
Ainsi, une rotation de ω = 180 deg/s conduit à une perte en performance égale à 3 dB par rapport au
cas antenne fixe.
Filtrage adaptatif
On considère maintenant les performances des traitements adaptatifs. L’algorithme STAP EigenVector
Projection [19] est implémenté. Ensuite, pour l’approche SAPTAP, l’algorithme LSMI [17] est tout
d’abord utilisé pour le calcul adaptatif des filtres spatiaux. Deux valeurs du facteur de surcharge diagonale
δ sont utilisées. Ensuite, l’algorithme Penalty Function [29] est utilisé. Les paramètres de simulation sont

126 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
0
−5
−10
−15
dB
−20
−25
−30
−35
STAP − EVP
SAPTAP − LSMI (δ = 10)
SAPTAP − LSMI (δ = 50)
SAPTAP − Penalty F.
−40
0 20 40 60 80 100 120
Nombre d’echantillons
Fig. 8.8: Comparaison des performances adaptatives avec f S = 0.2
les mêmes que précédemment et la vitesse de rotation d’antenne est ω = 180 deg/s. Tout d’abord, on compare
les SINRs normalisés avec f S = 0.2 sur Fig.8.8. On observe que pour un faible nombre d’échantillons
des données tertiaires et secondaires, les performances des algorithmes SAPTAP sont supérieures à celles
de l’algorithme STAP. Cela s’explique par le fait que la dimension de la matrice utilisée pour l’estimation
des filtres temporels (avec M = 10) est plus faible que le rang du sous-espace des interférences (approximativement
égal à 60 pour cette simulation). Par conséquent, la convergence des algorithmes SAPTAP
est plus rapide que celle de l’algorithme STAP. Ensuite, on remarque que les performances de l’algorithme
LSMI-SAPTAP avec un facteur de surcharge diagonale important (δ = 50) sont supérieures à celle de
l’algorithme avec un plus faible facteur (δ = 10), mais inférieures à celles de l’algorithme Penalty Function
- SAPTAP. Cela s’explique par le fait que les filtres spatiaux fluctuent de récurrence à récurrence,
ce qui conduit à une modulation du fouillis. La surcharge diagonale est alors un moyen d’atténuer ces
fluctuations [17], tout comme l’utilisation d’une contrainte douce. Ensuite, Fig.8.9 correspond à la même
simulation que Fig.8.8, avec f S = 0.05. Tout d’abord, on remarque que pour les différents algorithmes, les
SINRs associés sont tous inférieurs à ceux de Fig.8.8. En effet, les performances optimales sont inférieures
pour f S = 0.05 que pour f S = 0.2 (cf. Fig.8.7). Ensuite, on remarque que mis à part le décalage en SINR
résultant de la perte en performance optimale, les algorithmes SAPTAP conduisent ici à des performances
semblables à celles de Fig.8.8. Cependant, contrairement à Fig.8.8, on note qu’il existe une zone de support
d’échantillonnage (lorsque K ≥ 80), pour laquelle les performances de l’algorithme STAP sont supérieures
à celles des algorithmes SAPTAP.
8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul
On se place maintenant sous l’hypothèse selon laquelle il n’y a pas de données tertiaires disponibles.
Dans cette situation, l’approche de filtrage spatio-temporel séparable présenté dans la section précédente
n’est pas applicable. En effet, le calcul et l’application de filtres adaptatifs spatiaux sur chaque récurrence
conduirait à l’utilisation de degrés de liberté spatiaux pour le filtrage des échos de fouillis, pouvant se
faire au détriment de la rejection des brouilleurs. Pour faire face à cette difficulté, deux solutions sont
maintenant proposées et étudiées. Dans un premier temps, l’objectif est de se ramener à la situation

8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul 127
0
−5
−10
−15
dB
−20
−25
−30
−35
STAP − EVP
SAPTAP − LSMI (δ = 10)
SAPTAP − LSMI (δ = 50)
SAPTAP − Penalty F.
−40
0 20 40 60 80 100 120
Nombre d’echantillons
Fig. 8.9: Comparaison des performances adaptatives avec f S = 0.05
précédente en réduisant la puissance du fouillis dans les données secondaires, de sorte à la rendre inférieure
à celle des brouilleurs. Pour cela, il est proposé d’utiliser un préfiltrage passe haut, noté ACF (Anti-Clutter
Filter) sur les données secondaires, afin de créer ’artificiellement’ des données tertiaires. Dans un deuxième
temps, il est proposé d’utiliser une approche de filtrage STAP après formation de faisceaux et filtrage
Doppler. Ces deux solutions sont maintenant étudiées.
8.4.1 Utilisation d’un préfiltrage ACF
Principe du filtrage
Le principe du préfiltrage passe-haut utilisé est de former de nouveaux échantillons d’estimation à
partir des données secondaires, par combinaison linéaire des échantillons de récurrences successives, avec
recouvrement. La position du préfiltrage au sein du traitement spatio-temporel est illustrée sur Fig.8.10. Le
nombre de récurrences successives utilisées est limité par l’étalement spectral de la matrice de covariance
de brouillage. En effet, alors qu’en configuration antenne fixe, la matrice de covariance de chaque brouilleur
est de rang un, en configuration antenne tournante, le rang du sous-espace de brouilleurs devient supérieur
au nombre de brouilleurs. Plus précisément, des simulations montrent que lorsque la vitesse de rotation
d’antenne augmente, les valeurs propres s’élèvent au dessus du seuil de bruit thermique l’une après l’autre.
Ce phénomène dénommé ’effet iceberg’ est semblable à celui apparaissant en présence de signaux large
bande et étudié au chapitre 3. La rotation d’antenne conduit donc à une perte en performance du filtrage
spatial dès que la seconde valeur propre associée à un brouilleur atteint la valeur propre de bruit thermique.
Cet effet nous conduit à l’utilisation d’une règle empirique pour le choix du nombre maximal de récurrences
pouvant être utilisés pour le préfiltrage ACF. Pour la définir, nous nous appuyons sur les résultats de [77]
qui montrent que la rotation d’antenne limite permettant de conserver la seconde valeur propre associée
à un brouilleur sous le seuil de bruit thermique peut être approximée par l’expression suivante
δθ max ≈
Nπ
12
√
σ 2 J
σ 2 n

128 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
1st data
Spatial filtering
Doppler filtering
w S
w T
2nd data
ACF
Estim.
R^
Fig. 8.10: Position du préfiltrage ACF dans la chaîne de traitement spatio-temporel
10
9
8
7
nombre de recurrences
6
5
4
3
2
1
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre de capteurs
Fig. 8.11: Nombre de récurrences maximal au sens de (8.3)
(exprimée en radians), en présence d’un brouilleur dans le lobe principal et pour des antennes linéaires
uniformes ayant un nombre important de capteurs. On en déduit directement qu’une règle de choix du
nombre maximal M de récurrences pour le préfiltrage peut être :
⎡ ⎤
M max = ⎢
12
⎣
√
ωT rec Nπ
σ 2 J
σ 2 n
⎥
⎦ . (8.3)
Pour se faire une idée de valeurs admissibles typiques de M, on trace maintenant en Fig.8.11 le nombre
maximal M max , en fonction du nombre de capteurs N. Les paramètres sont choisis égaux à σ 2 J = 15dB,
ω = πrad/s et T rec = 0.002s. On observe que le nombre de récurrences choisi selon cette régle décroit
rapidement. Typiquement, deux ou trois récurrences peuvent être utilisées. On note également que pour
un nombre élevé de capteurs (ici N ≥ 55), l’utilisation du préfiltrage conduit à un étalement spectral de
la matrice de covariance de brouillage et donc une dégradation des performances du filtrage spatial.

8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul 129
On cherche maintenant à quantifier la suppression de fouillis en configuration antenne tournante, avec
du fouillis totalement ou partiellement corrélé.
Etude de performance
Pour fixer les [ idées, on considère maintenant l’exemple d’un filtre passe haut du second ordre normalisé
de coefficients − √ 1 2
6
; √6 ; − √ 1
6
]. On quantifie l’effet de ce filtrage en termes de puissance résiduelle. Après
filtrage, la contribution spatiale d’un point brillant particulier sur la m eme récurrence est égale à :
d (m) = 1 √
6
(
−c (m) φ (m) +2c (m+1) φ (m+1) −c (m+2) φ (m+2))
où l’on a omis le paramètre θ i pour simplifier les notations, comme nous le ferons également dans les
expressions de puissance à venir. Ensuite, on calcule la puissance du fouillis filtré, égale à λ = E { ||d (m) || 2}
que l’on compare à la puissance avant filtrage, c’est à dire λ 0 = Nσ 2 c. Notons que comme les points
brillants de fouillis sont supposés mutuellement décorrélés, la puissance totale de fouillis est la somme des
puissances des différents réflecteurs. Tout d’abord, on suppose que les signaux des points brillants sont
totalement corrélés temporellement. Puis, on suppose qu’ils sont partiellement corrélés, avec un spectre
de forme gaussienne [70, chap. 7].
Fouillis totalement corrélé Lorsque le point brillant de fouillis est totalement corrélé temporellement,
après un développement limité sous l’hypothèse ωT rec ≪ 1, on obtient l’approximation suivante de la
puissance après filtrage, détaillée en Annexe G
λ fc ≈ σ2 c
6 π4 ω 4 T 4 recg(N)cos 4 (θ + mωT rec ) (8.4)
avec g(N) = ∑ N−1
n=0 n4 . On trace maintenant, sur Fig.8.12, le rapport entre λ fc et λ 0 (exprimé en dB),
en fonction du nombre de capteurs pour deux valeurs de θ. Les paramètres sont m = 5, σc 2 = 30 dB,
T rec = 0.002 s et ω = π. Tout d’abord, on observe que le rapport de puissance est inférieur à 0 dB,
prouvant ainsi l’efficacité du préfiltrage pour réduire la puissance du fouillis. Ensuite, on observe que le
rapport augmente avec le nombre de capteurs de l’antenne. Par conséquent, l’efficacité du prétraitement
diminue avec ce nombre. Enfin, on note que les performances du préfiltrage sont meilleures pour des points
brillants vus dans la direction de l’antenne (θ = 90 deg) que pour des points brillants vus dans la direction
normale à l’antenne (θ = 0 deg). Par exemple, pour N = 30, on observe une différence d’environ 13 dB
entre les rapports de puissance des réflecteurs de fouillis.
Fouillis partiellement corrélé On suppose maintenant que le fouillis fluctue suivant un spectre gaussien,
i.e.,
{
E c (m) c (m+l)∗} = σce 2 −2π2 l 2 Trec 2 σ2 d .
Après quelques calculs et un développement limité sous l’hypothèse σ d T rec ≪ 1 et ωT rec ≪ 1 effectués en
Annexe G, on obtient :
λ pc ≈ σ2 c
6 π4 ω 4 T 4 rec g(N)cos4 (θ + mωT rec )+8σ 2 c Nπ4 σ 4 d T 4 rec . (8.5)
On trace en Fig.8.13, le rapport entre λ pc et λ 0 (exprimé en dB), en fonction du nombre de capteurs, pour
θ = 0 et deux valeurs typiques de l’écart type σ d du spectre du fouillis. Le premier est égal à 6 Hz, qui
est une valeur typique pour du fouillis de sol avec une vitesse de mouvement interne de 0.3 m/s en bande
S, (cf. [87, chap. 6]). La deuxième valeur est égale à 16 Hz et correspond à du fouillis avec une vitesse

130 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
0
−10
−20
θ = 0 deg
rapport de puissance (dB)
−30
−40
−50
−60
−70
θ = 90 deg
−80
−90
−100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre de capteurs
Fig. 8.12: Réduction de la puissance d’un réflecteur totalement corrélé après préfiltrage, (–) exact, (- -)
approximé par (8.4)
0
−5
−10
rapport de puissance (dB)
−15
−20
−25
−30
−35
σ d
=16 Hz
−40
−45
σ d
=6 Hz
−50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Nombre de capteurs
Fig. 8.13: Réduction de la puissance d’un réflecteur partiellement corrélé après préfiltrage, (–) exact, (-
-) approximé par (8.5)

8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul 131
de mouvement interne égale à 0.8 m/s en bande S. On observe que les pertes en performance restent une
fonction croissante du nombre de capteurs. Ensuite, elles se dégradent par rapport à celles de Fig.8.12
pour un faible nombre de capteurs. Typiquement, lorsque σ d = 16 Hz, la décorrélation du fouillis conduit
à une perte en performance d’environ 4 dB, avec N = 30. Cependant, lorsque ce nombre augmente,
les différences entre les courbes avec fouillis totalement corrélé et partiellement corrélé s’estompent. Par
conséquent, l’efficacité du traitement en présence de fouillis partiellement corrélé est surtout réduite
lorsque le nombre de capteurs est faible. Finalement, on vérifie que la courbe approchée par (8.5) coincide
avec la courbe exacte, particulièrement pour des faibles valeurs de l’écart type du spectre gaussien du
fouillis.
8.4.2 Filtrage STAP après formation de faisceaux et filtrage Doppler
Comme nous l’avons vu dans la section précédente, les performances du filtrage ACF se dégradent
lorsque la vitesse de rotation d’antenne augmente ou lorsque le fouillis devient décorrélé. Par conséquent,
l’utilisation de ce préfiltrage suivie de l’implémentation du filtrage séparable SAPTAP ne fonctionne pas
pour tous les scénarios.
Ici, nous proposons un traitement spatio-temporel qui ne nécessite pas la présence de données de
référence brouillage seul (ou données tertiaires). Ainsi, nous proposons un algorithme de filtrage STAP
dans lequel le filtrage adaptatif s’effectue sur les données après formation de faisceaux et filtrage Doppler
non-adaptatif. Pour le distinguer d’autres algorithmes de filtrage STAP, le traitement proposé est
dénommé BDSTAP (Beamspace post-Doppler STAP, selon [79]). Pour l’étude de ce traitement, nous distinguerons
deux situations, en fonction de la connaissance ou non des directions d’arrivée des brouilleurs.
Ensuite, nous étudierons l’influence du nombre de filtres Doppler sur les performances et montrerons sur
des simulations qu’un faible nombre de faisceaux et de filtres Doppler est suffisant pour atteindre de
bonnes performances. Par conséquent, le traitement proposé présente le double avantage d’une convergence
rapide du SINR avec le nombre d’échantillons disponibles à l’estimation et d’une faible complexité
de calcul.
Principe du filtrage
Le traitement proposé est réalisé en trois étapes. Tout d’abord, des faisceaux sont formés sur les
données primaires et secondaires. Ensuite, un filtrage Doppler est appliqué en sortie de chaque faisceau
formé. Finalement, un filtre adaptatif spatio-temporel calculé à partir des données secondaires est appliqué
sur les données primaires dans l’espace faisceaux-Doppler. L’ensemble du traitement BDSTAP
est résumé en Fig.8.14. Lors de la première étape de formation de faisceaux, le premier faisceau (voie
principale) est formé dans la direction de la cible. Les autres faisceaux (voies auxiliaires) sont formés
dans d’autres directions. Notons que pour que l’antibrouillage soit efficace, le nombre de faisceaux formés
doit être au moins supérieur à J + 1. Lorsqu’un a priori est disponible sur les DOAs des brouilleurs, les
voies auxiliaires peuvent être formées dans ces directions. Dans le cas contraire, les faisceaux peuvent
par exemple être formés de façon à couvrir un certain secteur angulaire, comme l’illustre Fig.8.15. Sur
cette figure, une grappe de neuf faisceaux avec θ 3dB = 12 deg. couvrant un large secteur angulaire est
représentée. Ensuite, afin d’éviter un décalage de la direction de focalisation des faisceaux de récurrence à
récurrence, résultant de la rotation d’antenne, une compensation de rotation est implémentée. Finalement,
pour l’implémentation de l’algorithme, il est utile de répondre aux trois questions suivantes :
– Comment former les voies auxiliaires
– Combien de filtres Doppler doivent être utilisés
– Comment choisir les fréquences normalisées des filtres Doppler
Des éléments de réponse à ces questions seront donnés dans le paragraphe suivant, après analyse de l’influence
des différents paramètres de l’algorithme sur ses performances. Auparavant, nous détaillons l’expression
du filtre BDSTAP W. Décomposant le filtrage en la série des trois étapes détaillée précédemment,

132 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
1st data
Beamforming
Doppler filtering
Adaptive filtering
w B
w
T
w
S
2nd data
Estim.
R
S
Diagram of the spatio−temporal processing
Fig. 8.14: Principe du filtrage BDSTAP
θ
Covered zone
θ=48 deg
θ=−48 deg
Fig. 8.15: Exemple de grappe de faisceaux formée pour le filtrage BDSTAP

8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul 133
le filtre s’écrit sous la forme :
où
A=
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
W = A H B H w S (8.6)
w H f 1 ,1
.
w H f P ,1
O
⎞
⎟
⎠
. ..
⎛
⎜
⎝
O
w H f 1 ,M
.
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
w H f P ,M
est de taille (PM ×NM) et correspond à la première étape du traitement avec P désignant le nombre de
faisceaux et (w fp,m) p=1..P,m=1..M = φ (m) (θ p ). Le choix des DOAs (θ p ) p=2...P sera étudié dans le paragraphe
suivant. Ensuite ⎛0
wT,1 ∗ (1) O
1 0
wT,1 ∗ B
. ..
C
... (M) O
1⎞
B
. ..
C
@
A @
A
O w T,1 ∗ (1) O wT,1 ∗ (M) B=
.
0
⎛
wT,Q ∗
⎜
(1) O wT,Q ∗ ⎝B
. ..
C ... ⎜
(M) O
⎝
. ..
⎟
⎠
A
@
O w ∗ T,Q (1) 1
O
w ∗ T,Q (M) ⎞
est de taille (PQ × PM) et correspond à la seconde étape, avec w T,1 = φ T (f S ). Ensuite, les autres filtres
Doppler sont choisis tels que (w T,q ) q=2...Q = φ T (f q ) où le choix et le nombre des fréquences normalisées
(f q ) q=2...Q seront considérés dans la suite. Finalement, w S est le filtre spatio-temporel adaptatif appliqué
sur les données dans l’espace faisceaux-Doppler, lors de la troisième étape. Il est calculé par l’algorithme
MVDR :
w S =
R−1 S v
v H R −1
S v (8.7)
où
R S = BARA H B H (8.8)
représente la matrice de covariance du bruit des données secondaires après les deux premières étapes et
v = BAΦ est un vecteur de dimension PQ.
Choix des paramètres
Après avoir expliqué le principe du traitement STAP proposé, on s’intéresse maintenant au choix des
paramètres. En particulier, on étudie le choix des DOAs des faisceaux formés (θ p ) p=2...P et des fréquences
Doppler normalisées (f q ) q=2...Q .
Tout d’abord, notons qu’après formation de faisceaux après compensation de rotation, l’étalement
Doppler du fouillis est limité (cf. section 8.2.2). Par conséquent, excepté pour des échos très puissants vus
dans les lobes secondaires, le fouillis peut être efficacement filtré par un filtrage non adaptatif standard,
correspondant au cas Q = 1. La principale difficulté du traitement proposé réside donc dans la rejection
du brouillage à laquelle on s’intéresse maintenant.
Pour simplifier l’analyse, on suppose qu’un seul brouilleur est présent et que l’on forme deux faisceaux,
le premier étant formé vers la cible. Dans un premier temps, on considère le cas Q = 1, qui correspond
à un filtrage adaptatif seulement spatial, après formation de faisceaux et filtrage Doppler. On calcule le
SINR en statistiques exactes (en supposant les matrices de covariance connues) en fonction de la DOA

134 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
du second faisceau θ 2 et des paramètres du scénario. Quand une connaissance a priori de la DOA du
brouilleur est disponible, un choix intuitif de la direction d’arrivée du second faisceau est donné par la
DOA du brouilleur (θ 2 = θ j ). Cependant, si ce choix conduit à des performances optimales (en termes de
SINR) en configuration radar à antenne fixe, on montre que la rotation d’antenne conduit à des pertes
en performance qui s’accroissent lorsque la DOA s’éloigne de la direction de focalisation (i.e. la DOA du
premier faisceau formé). Ensuite, en nous basant sur l’expression du SINR obtenue, on déduit une règle
empirique pour le choix de la seconde DOA, permettant de limiter les pertes en performance résultant
de la rotation d’antenne. Ensuite, on considère le cas Q = 2. Ainsi, on montre qu’un choix approprié
de la seconde fréquence Doppler normalisée, permet de compenser les pertes en SINR dûes à la rotation
d’antenne, dans le cas où le second faisceau est formé dans la direction d’arrivée du brouilleur.
Antibrouillage avec Q = 1 Ici, nous analysons l’influence de la rotation d’antenne sur le SINR en
statistiques exactes après filtrage BDSTAP, en fonction de la direction d’arrivée du brouilleur et du
deuxième faisceau formé. Comme l’algorithme adaptatif MVDR est implémenté (8.7), la puissance du
signal est conservée et égale à P res (signal) = σS 2 après filtrage BDSTAP. Par conséquent, les pertes en
SINR correspondent à l’augmentation de la puissance résultante du bruit. Par définition, cette dernière
est égale à P res (noise) = W H RW. Ensuite, en utilisant (8.6), (8.7) et (8.8), on a :
avec v ≈ NM(1
forme
où pour 1 ≤ m ≤ M
P res (noise) =
1
v H R −1
S v (8.9)
0) T . Cherchons à en détailler l’expression. Après quelques calculs, R S s’écrit sous la
R S = σ 2 J
M∑
m=1
( |βm | 2 γ ∗ mβ m
γ m β ∗ m |γ m| 2 )
+ σ 2 S
M∑
m=1
β m = φ (m) (θ S ) H φ (m) (θ j )
γ m = φ (m) (θ 2 ) H φ (m) (θ j )
δ m = φ (m) (θ S ) H φ (m) (θ 2 )
( ) N δm
δm ∗ N
(8.10)
En utilisant v ≈ NM(1 0) T et après insertion de (8.10) dans (8.9), P res (noise) peut donc être approximé
par :
⎛
1 ⎜
M∑
∣ ∑ M
P res (noise) ≈
(NM) 2 ⎝ (σJ 2 |β m | 2 + σnN) 2 m=1 σ2 J γ∗ m β m + σn 2δ m∣ 2 ⎞
⎟
− ∑ M
m=1 (σ2 J |γ m| 2 ⎠. (8.11)
+ σnN)
2
m=1
En nous basant sur (8.11), on donne tout d’abord une expression approchée du SINR normalisé par le
SINR optimal sur bruit thermique, lorsque θ 2 = θ j , pour expliciter l’influence de la rotation d’antenne.
Puis, on introduit une règle empirique de choix de la direction d’arrivée du second faisceau θ 2 .
Lorsque le second faisceau est formé dans la direction d’arrivée du brouilleur, on a γ m = N et β m = δ m
pour 1 ≤ m ≤ M. Sous l’hypothèse Nσ 2 J ≫ σ2 n, (8.11) peut être approximée par :
P res (noise) ≈
σ2 n
NM +
⎛
σ2 J ⎜
M∑
(NM) 2 ⎝
m=1
|β m | 2 −
∣ ∑ M
m=1 β m∣ 2
M
⎞
∣
⎟
⎠. (8.12)
Ensuite, pour expliciter l’expression (8.12), on suppose que ωT rec ≪ 1 et M ≫ 1. Après un développement
limité d’ordre deux et quelques manipulations algébriques, on obtient :
P res (noise) ≈
σ2 n
NM + M
σ2 J
12N 2 |α|2 ω 2 Trec
2

8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul 135
1
0
θ j
= 10 deg
SINR normalise en dB
−1
−2
−3
−4
−5
θ j
= 20 deg
θ j
= 30 deg
θ j
= 40 deg
−6
−7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
vitesse de rotation en deg/s
Fig. 8.16: Comparaison entre les valeurs exactes (–) et (- -) approchée (8.13) de SINR norm pour
différentes valeurs de θ j
avec α = jπ(cos(θ S ) − cos(θ j )) ∑ N−1
n=1 nejnπ(sin(θ S)−sin(θ j )) , à partir de laquelle on obtient l’expression du
SINR
SINR =
et du SINR normalisé, SINR norm = σ2 n SINR
σ 2 S NM :
SINR norm ≈
σn
2
NM + σ2 J
σS
2
M
12N 2 |α| 2 ω 2 T 2 rec
1
. (8.13)
1 + σ2 J M 2
σn
2 12N |α|2 ω 2 Trec
2
Pour illustrer ce résultat, on trace en Fig.8.16 la value approchée de SINR norm donnée par (8.13) que
l’on compare à sa valeur exacte. Les paramètres sont M = 10, N = 60, T rec = 0.002 sec., θ S = 0 deg.,
f S = 0.1 et σJ 2 = 30 dB. Tout d’abord, on observe que les courbes approchées et exactes sont proches pour
des faibles valeurs de rotation d’antenne. Ensuite, on remarque que le SINR décroît lorsque la direction
d’arrivée du brouilleur s’éloigne de celle de la cible. Pour des valeurs de DOA du brouilleur proches de
celle de la cible, les pertes en performance restent cependant limitées. Par exemple, la perte en SINR est
inférieure à 1 dB pour des brouilleurs de DOA inférieure à 10 deg., avec les paramètres de la simulation.
Cependant, pour un brouilleur de DOA égale à 40 deg., la perte en SINR s’élève à environ 6 dB lorsque la
vitesse de rotation est égale à 180 deg./s. Physiquement, ces pertes en performance s’interprétent par la
fluctuation des lobes secondaires après compensation de rotation, qui s’accentue au fur et à mesure que l’on
s’éloigne de la direction de focalisation. Par conséquent, le signal de brouillage devient non stationnaire
de récurrence à récurrence, ce qui rend sa rejection difficile après filtrage Doppler. Pour tenir compte de
cet effet, il est possible d’utiliser d’un second filtre Doppler avant traitement adaptatif. De cette manière,
une adaptativité temporelle est introduite. Ce point sera analysé dans le paragraphe suivant dans lequel
des simulations avec Q = 2 seront présentées. Auparavant, on considère le cas où l’on choisit une autre
direction que celle du brouilleur pour la formation du second faisceau.
Bien qu’optimal en configuration antenne fixe, nous avons vu que le choix d’un second faisceau formé
dans la direction d’arrivée du brouilleur conduit à des pertes en termes de SINR lorsque l’antenne est

136 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
−1
−2
−3
SINR normalise en dB
−4
−5
−6
−7
θ 2
=1.9 deg
θ 2
=2.5 deg
θ 2
=1.5 deg
−8
−9
−10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Vitesse de rotation en deg/s
Fig. 8.17: SINR normalisé exact pour différentes valeurs de θ 2
en rotation. Nous proposons maintenant un choix alternatif de DOA du second faisceau formé, ayant
l’avantage de ne pas nécessiter de connaissance a priori de la direction d’arrivée des brouilleurs. Ce choix
se base sur l’analyse de la puissance résiduelle de bruit donnée par (8.11). Supposant que la contribution
du bruit thermique dans (8.11) est négligeable devant celle du brouilleur, la puissance résiduelle de bruit
est minimisée lorsque |P M
m=1 γ∗ m
P βm|2
M est maximisé. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ce rapport est
m=1 |γm|2
maximisé lorsque γ m ∝ β m , obtenu en choisissant θ 2 = θ S . Cependant, ce choix conduit à une matrice
de dimension réduite R S singulière et est donc impossible. Par conséquent, on propose de choisir un
second faisceau correspondant au premier faisceau orthogonal au faisceau principal (i.e. en choisissant
sin(θ 2 ) = sin(θ S ) ± 2 N
). Pour illustrer l’influence de la DOA du second faisceau sur le SINR, on trace en
Fig.8.17 le SINR normalisé en fonction de la vitesse de rotation d’antenne, pour trois valeurs différentes
de θ 2 . La première est égale à θ 2 = 1.9 deg. et correspond à la formation d’un second faisceau orthogonal
au premier faisceau (avec θ 2 > 0). Ensuite, deux autres faisceaux sont formés pour des DOAs de chaque
côté du faisceau orthogonal, égales à θ 2 = 1.5 deg. ou θ 2 = 2.5 deg. On observe que le choix du faisceau
orthogonal avec θ 2 = 1.9 deg. n’est pas optimal en termes de SINR, mais conduit à des performances
robustes à la rotation d’antenne. Par opposition, les performances avec les deux autres choix de DOAs du
second faisceau sont très fluctuantes avec la rotation d’antenne.
Antibrouillage avec Q = 2 Comme l’étude analytique du SINR normalisé avec Q = 2 est plus
complexe que lorsque Q = 1, on utilise maintenant des simulations de Monte Carlo pour étudier l’influence
du choix de f 2 sur les performances du filtrage BDSTAP. Ainsi, on considère un brouilleur de DOA θ j = 40
deg. (ce qui correspond à une perte de SINR en statistiques exactes d’environ 6 dB d’après Fig.8.16).
Puis, le nombre d’échantillons utilisé pour l’estimation de la matrice de covariance BDSTAP R S est égal
à K = 120. En Fig.8.18, on trace le SINR normalisé dans le cas où le second faisceau est formé dans la
direction du brouilleur (i.e. de DOA θ 2 = 40 deg.) et dans le cas où il est choisi de sorte à être le premier
faisceau (de DOA positive) orthogonal au faisceau principal (i.e. de DOA θ 2 = arcsin( 2 N
) = 1.9 deg.).
Dans le cas où θ 2 = 40 deg., on vérifie tout d’abord que pour f 2 = 0.1, le SINR normalisé est proche du
SINR normalisé en statistiques exactes obtenu sur Fig.8.16 avec ω = 180 deg./s (i.e. approximativement

8.4 Traitement proposé en l’absence de référence brouillage seul 137
0
−1
−2
θ 2
=1.9 deg
SINR normalise (dB)
−3
−4
−5
θ 2
=40 deg
−6
−7
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f 2
Fig. 8.18: SINR normalisé exact pour différentes valeurs de θ 2
−6 dB). En effet, même si le nombre de fréquences Doppler utilisées est égal à Q = 2, l’utilisation des
deux mêmes fréquences n’a pas d’influence sur les performances qui sont donc égales à celles pour Q = 1.
Puis, on observe que lorsque f 2 ≤ −0.15 ou f 2 ≥ 0.2, il n’y a pas non plus d’amélioration du SINR
résultant de l’utilisation d’un second filtre Doppler. Par contre, lorsque f 2 ≈ 0.15, le brouilleur se trouve
presque annulé. Fig.8.18 montre donc que l’utilisation d’adaptivité temporelle peut permettre d’améliorer
significativement les performances du traitement BDSTAP avec faisceaux formés dans la direction des
brouilleurs, sous réserve d’un choix approprié de la seconde fréquence Doppler. D’après cette figure, il
semble également qu’un choix de f 2 proche de la fréquence Doppler normalisée de la cible soit approprié.
Dans le cas où θ 2 = 1.9 deg., on observe au contraire que l’utilisation d’un second filtre Doppler n’a
pas d’influence sur les performances en termes de SINR.
En conclusion, en nous basant sur l’étude de performances effectuée dans ce paragraphe, on fait les
remarques suivantes, utiles pour le choix des paramètres de l’algorithme BDSTAP :
– La formation de faisceaux dans la direction des brouilleurs conduit à des performances en termes
de SINR qui se dégradent avec la rotation d’antenne
– Ces pertes en performance peuvent être compensées par l’utilisation d’adaptivité temporelle, mais
le SINR résultant est très dépendant du choix des fréquences normalisées des filtres Doppler
– La formation de faisceaux avec des faisceaux orthogonaux à faibles DOAs conduit à des performances
sous-optimales mais robustes par rapport à la rotation d’antenne
– Ces performances ne sont pas significativement améliorées par l’utilisation d’adaptivité temporelle
Simulations
On effectue maintenant des simulations de Monte Carlo pour comparer les performances de différents
algorithmes de filtrage spatio-temporel. On considère un scénario dans lequel quatre brouilleurs sont
présents, de DOAs −20, −17, 10 et 18 deg. et de puissance σJ 2 = 30 dB. De plus, des points brillants de
fouillis sont simulés, de DOAs entre −20 et 20 deg., avec une densité de 1pt/deg. et une puissance par
réflecteur égale à σc 2 = 11 dB.
Pour le traitement BDSTAP, cinq faisceaux sont formés. Le premier est toujours formé dans la DOA

138 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
0
−5
SINR normalise (dB)
−10
−15
−20
−25
TPSAP
BDSTAP a priori (Q=1)
BDSTAP a priori (Q=2)
BDSTAP (Q=1)
BDSTAP (Q=2)
STAP−EVP
−30
−35
−40
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Vitesse de rotation (deg/s)
Fig. 8.19: SINR normalisé des différents algorithmes de filtrage spatio-temporel, en fonction de ω
de la cible. Les autres sont soit formés dans les directions d’arrivée des brouilleurs, soit correspondant
à une grappe de faisceaux orthogonaux de DOAs appartenant à [−3.8, −1.9,1.9,3.8] deg. Lorsqu’elle est
utilisée, la fréquence normalisée du second filtre Doppler est égale à f 2 = 0.15. En Fig.8.19, on compare
l’algorithme BDSTAP avec différents paramètres avec le traitement spatio-temporel standard en radar
terrestre à antenne fixe et un traitement STAP à réduction de rang classique (STAP-EVP, cf. Chapitre
2). Le traitement standard en antenne fixe consiste à effectuer un filtrage Doppler non adaptatif en
sortie de chaque capteur, suivi d’un filtrage spatial adaptatif en sortie des filtres Doppler. Ce dernier
traitement est implémenté grâce à l’algorithme LSMI (cf. Chapitre 2). Pour distinguer ce traitement du
traitement STAP, nous le désignerons par TPSAP (Time Processing Space Adaptive Processing). Pour
l’algorithme EVP, nous supposons connaître la dimension du sous-espace des interférences (ici égale à 60).
Dans un premier temps, on étudie l’influence de la vitesse de rotation d’antenne sur les SINRs normalisés
des différents algorithmes. Tout d’abord, on observe que les performances de l’algorithme TPSAP se
dégradent rapidement avec la rotation d’antenne. Cela s’explique par deux raisons. Premièrement, la
rotation affecte une fréquence Doppler ’artificielle’ non nulle, dépendant du capteur, aux réflecteurs du
fouillis. Par conséquent, la rejection du fouillis se dégrade. Deuxièmement, le fait d’effectuer le filtrage
Doppler avant filtrage spatial conduit à un étalement spectral de la matrice de covariance du brouillage
lorsque l’antenne est en rotation (cf. par exemple [77]). Par conséquent, la rejection du brouillage est
également dégradée. Ensuite, on note que l’algorithme STAP-EVP est robuste à la rotation d’antenne
mais a des performances limitées par une faible vitesse de convergence du SINR vers l’optimal avec le
nombre d’échantillons d’estimation des filtres (cette vitesse étant fonction de la dimension du sous-espace
d’interférences, cf. [86]). Ici, le nombre d’échantillons est égal à deux fois la dimension du sous-espace
des interférences, ce qui implique que le SINR normalisé est approximativement égal à −3 dB. Enfin,
pour des faibles vitesses de rotation, l’algorithme BDSTAP avec les paramètres considérés conduit à de
meilleures performances que celles des deux autres algorithmes implémentés. Plus précisément, pour des
vitesses de rotation d’antenne inférieures à 70 deg/s, l’algorithme BDSTAP avec faisceaux formés dans
les directions d’arrivée des brouilleurs (désigné par BDSTAP a priori) avec Q = 1 et Q = 2 conduit
aux meilleures performances en terme de SINR. Cependant, lorsque la vitesse de rotation augmente, on
observe une décroissance du SINR, importante pour Q = 1 mais limitée pour Q = 2. Pour des vitesses de

8.5 Conclusion 139
0
−5
SINR normalise (dB)
−10
−15
−20
−25
BDSTAP a priori (Q=1)
BDSTAP a priori (Q=2)
BDSTAP (Q=1)
BDSTAP (Q=2)
STAP−EVP
−30
0 20 40 60 80 100 120
Nombre d’echantillons
Fig. 8.20: SINR normalisé des différents algorithmes de filtrage spatio-temporel, en fonction de K
rotation d’antenne plus élevées, les meilleures performances sont atteintes avec l’utilisation de l’algorithme
BDSTAP avec faisceaux orthogonaux et Q = 1.
Ensuite, afin de comparer la vitesse de convergence du SINR des algorithmes BDSTAP et STAP-
EVP avec le nombre d’échantillons d’estimation utilisés pour le calcul des filtres adaptatifs, on analyse
maintenant l’influence de ce nombre. Ainsi, on trace en Fig.8.20 le SINR en fonction de K pour les
algorithmes STAP et BDSTAP avec différentes valeurs de Q. La vitesse de rotation d’antenne est égale
à 180 deg/s. On observe que l’algorithme BDSTAP a une meilleure convergence que l’algorithme STAP-
EVP. Cela s’explique par la dimension réduite des données dans le cas BDSTAP (égale à PQ = 5 ou
PQ = 10), respectivement pour Q = 1 et Q = 2, en comparaison du rang du sous-espace des interférences
égal à 60 dans le cas STAP-EVP. De plus, sauf pour le cas de l’algorithme BDSTAP avec faisceaux formés
dans les directions d’arrivée des brouilleurs et Q = 1, on note que le SINR après filtrage BDSTAP est
toujours supérieur à celui après filtrage STAP-EVP, quelque soit le nombre d’échantillons d’estimation
utilisé (dans la limite de la plage de valeurs considérée).
8.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous nous sommes intéressés au problème de rejection conjointe des signaux de
brouillage et de fouillis par filtrage spatio-temporel. Ainsi, nous avons présenté différents algorithmes de
filtrage spatio-temporel, en fonction de la nature des données d’estimation disponibles pour le calcul des
filtres spatio-temporels. Tout d’abord, nous avons considéré la situation dans laquelle des données tertiaires
servant de référence brouillage+bruit thermique seul (sans présence de fouillis) sont disponibles.
Dans ce cas, nous avons proposé l’utilisation d’un filtrage STAP de type séparable consistant en un filtrage
spatial par récurrence avec utilisation de contraintes de gabarit pour le calcul des filtres afin de limiter la
fluctuation des diagrammes de récurrence à récurrence suivi d’un filtrage Doppler adaptatif. Ensuite, nous
avons considéré la situation dans laquelle des données tertiaires ne sont pas disponibles. Dans ce cas, nous
avons tout d’abord proposé l’utilisation d’un préfiltrage sur les données afin de se ramener à la situation
précédente et en avons étudié les performances en présence de fouillis plus ou moins corrélé. Puis, nous

140 Filtrage spatio-temporel sur radar à antenne tournante
avons étudié l’utilisation d’un filtrage STAP à réduction de dimension de type Beamspace post-Doppler
STAP. Ainsi, nous avons montré que l’utilisation de ce type de filtrage permettait d’obtenir de bonnes
performances en termes de SINR même avec un nombre d’échantillons disponibles pour l’estimation des
filtres limité. De plus, nous avons montré sur simulations que la réduction de dimension par cette méthode
pouvait être très importante, et donc que le type de filtrage proposé avait l’avantage d’être peu complexe à
mettre en oeuvre. Finalement, le tableau suivant récapitule les avantages et inconvénients des principaux
algorithmes comparés dans ce chapitre.
Nécessite données tertiaires Robustesse/rotation Vitesse convergence
SAPTAP - + +
BDSTAP + + +
STAP-EVP + + -

Chapitre 9
Conclusions et perspectives
Bilan
Ce rapport a été consacré à l’étude d’algorithmes de filtrage spatial ou spatio-temporel de signaux
large bande ou bande étroite. En particulier, nous nous sommes intéressés au problème de rejection
d’interférences sur signaux large bande puis sur signaux radar bande étroite en configuration antenne
tournante.
Dans le cas du filtrage de signaux large bande, nous nous sommes tout d’abord intéressés à l’étude de
robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande. Nous avons ainsi
cherché à répondre à la question : que se passe-t-il si l’on utilise un algorithme de formation de faisceaux
adapté à l’hypothèse (purement théorique) bande nulle, alors que les signaux sont reçus sur une certaine
bande de fréquence Pour y répondre, nous avons dans un premier temps cherché une relation entre un
critère de perte en SINR après formation de faisceaux résultant de l’augmentation de largeur de bande et
le critère introduit par Zatman et souvent utilisé comme référence pour définir des signaux bande étroite,
à savoir le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et
la valeur propre de bruit. Ainsi, nous avons démontré que ce rapport constituait un majorant de la perte
en SINR, celle-ci dépendant de la position de la source utile par rapport à la source d’interférence. Puis,
nous avons cherché à savoir si le majorant obtenu sur la perte en SINR était proche de la valeur de perte
en SINR maximale. Pour cela, nous nous sommes appuyés sur des résultats relatifs aux valeurs et vecteurs
propres de matrices de covariance de signaux très rapprochés en fréquence et avons calculé une expression
interprétable de la perte en SINR. Celle-ci nous a alors permis de définir des conditions suffisantes pour
que la perte en SINR atteigne presque la borne supérieure donnée par le critère de Zatman.
Après avoir constaté puis étudié les pertes en performance liées à l’utilisation d’algorithmes de formation
de faisceaux bande étroite sur signaux large bande, nous avons considéré l’utilisation d’un filtrage
spatio-temporel. Ce dernier permet en effet de compenser les pertes en performance liées à l’augmentation
de largeur de bande. Plus précisément, nous nous sommes intéressés à l’étude de performance du filtrage
spatio-temporel maximisant le SINR. Bien que l’utilisation de ce type de filtrage soit limitée à certains
problèmes de détection et d’estimation, son étude nous semble importante dans la mesure où elle permet
d’obtenir des bornes en performance en terme de SINR, utiles pour l’étude de performance d’autres
algorithmes de filtrage spatio-temporel. Pour procéder, nous avons exploité le caractère bloc Toeplitz
des matrices de covariance et effectué une étude asymptotique au sens du nombre de retards, le nombre
de capteurs étant fixe. Après interprétation du SINR spatio-temporel optimal comme la valeur propre
généralisée maximale des matrices de covariances de signal utile et d’interférences plus bruit, nous nous
sommes dans un premier temps intéressés au comportement asymptotique des valeurs propres généralisées
de matrices bloc Toeplitz. Sous l’hypothèse de matrices générées par des séquences d’éléments absolument
sommables et en nous basant sur la notion d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices, nous
avons alors démontré une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices
Hermitiennes bloc Toeplitz. Puis, grâce à une conséquence de ce théorème, nous avons obtenu une expres-

142 Conclusions et perspectives
sion explicite du SINR spatio-temporel optimal asymptotique. Ainsi, nous avons démontré que le SINR
spatio-temporel optimal converge vers une limite s’interprétant comme un SINR spatial optimal à bande
nulle.
Enfin, dans un troisième temps, nous avons étendu le résultat relatif à la distribution asymptotique
des valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz, à celle de matrices multi-niveaux Toeplitz
bloc Toeplitz, lorsque la dimension de chacun des blocs tend vers l’infini. Comme précédemment, la
démonstration de ce résultat a été faite sous l’hypothèse de matrices générées par des séquences d’éléments
absolument sommables. Ce résultat est en particulier utile à l’étude de performance en terme de SINR du
filtrage optimal maximisant le SINR, de processus aléatoires discrets multidimensionnels, stationnaires au
second ordre. Il peut donc s’appliquer dans de nombreux problèmes de traitement de signal ou d’image,
tels que le débruitage d’images hyperspectrales ou interférométriques SAR.
Dans le cas du filtrage de signaux radar bande étroite, nous nous sommes tout d’abord intéressés au
problème de rejection de signaux de brouillage en configuration radar à antenne tournante. La difficulté de
ce problème résultant de la non stationnarité des signaux de brouillage induite par la rotation d’antenne,
nous avons proposé l’utilisation d’une méthode de filtrage spatial non stationnaire. Cette méthode basée
sur un développement limité du filtre spatial permettant de calculer un filtre variant dans le temps a été
déclinée sur l’algorithme OLS et l’algorithme MVDR pour deux situations de brouillage différentes. Dans
un premier temps, une implémentation de l’algorithme OLS à coefficients variables dans le temps au sein
d’une récurrence en situation de rotation non négligeable à l’échelle de la récurrence a été proposée. Puis,
une étude de performance analytique et par simulations a été effectuée, montrant le gain important en
termes de rejection de brouillage grâce à l’utilisation de la version non stationnaire de l’algorithme par
rapport à sa version standard. Dans un deuxième temps, une implémentation de l’algorithme MVDR
à coefficients variables dans le temps au sein d’une rafale en situation de rotation non négligeable à
l’échelle de cette dernière a été proposée. Puis, une étude de performance de l’algorithme en situation
de brouillage dans les lobes secondaires a permis de choisir le paramètrage optimal, permettant ainsi
d’obtenir des performance en termes de SINR identiques à celle de l’algorithme MVDR en configuration
antenne fixe et donc compenser toutes les pertes en performance dûes à la rotation d’antenne.
Ensuite, nous avons considéré le problème de rejection conjointe de signaux de brouillage et de fouillis
en configuration radar à antenne tournante, par filtrage spatio-temporel. Contrairement au cas où l’antenne
est fixe, les paramètres de direction d’arrivée et récurrence/fréquence Doppler pour les brouilleurs et
le fouillis ne sont plus indépendants dans cette configuration. Par conséquent, le filtrage spatio-temporel
ne peut plus se décomposer entre un filtrage spatial et un filtrage Doppler implémentés indépendamment
l’un de l’autre, sans impliquer une dégradation des performance du système. Pour faire face à cette difficulté,
nous avons donc proposé l’utilisation d’un filtrage spatio-temporel de type STAP. Plus précisément,
nous avons considéré une situation de rotation négligeable à l’échelle de la récurrence et distingué deux
cas, en fonction du type de données disponibles pour l’estimation des filtres adaptatifs. Tout d’abord,
nous avons supposé que des données tertiaires formées de brouillage plus bruit thermique seul (donc sans
présence de fouillis) étaient disponibles. Dans ce cas, nous avons proposé l’utilisation d’un filtrage de type
STAP séparable formé d’un filtrage spatial par récurrence avec contrainte sur les diagrammes spatiaux
suivi d’un filtrage Doppler adaptatif. Puis, nous avons supposé que ces données tertiaires n’étaient pas
disponibles. Dans ce cas, nous avons proposé deux solutions. Tout d’abord, il est possible d’utiliser un
préfiltrage des données afin de recréer ’artificiellement’ des données tertiaires. Une étude de performance
de ce préfiltrage en termes de réduction de puissance du fouillis a ainsi été effectuée afin de quantifier la
réduction de puissance du fouillis en fonction des différents paramètres de fouillis. Puis, une autre solution
consistant à utiliser un filtrage de type Beamspace post-Doppler STAP a été proposée. Nous avons alors
montré que l’utilisation de ce type de filtrage conduisait à de bonnes performances en termes de SINR, et
avait l’avantage d’être peu complexe à mettre en oeuvre et de nécessiter peu d’échantillons d’estimation
des filtres spatiaux pour atteindre de bonnes performances. Finalement, comme ce dernier algorithme
peut également être utilisé en présence de données tertiaires, il semble donc que son utilisation soit bien
adaptée au problème de rejection d’interférences en configuration radar à antenne tournante.

143
Perspectives
Suite à ce travail de thèse, plusieurs constats peuvent être fait et soulever de nouveaux problèmes :
– Nous nous sommes dans ce document limités à l’étude de performance asymptotique par rapport
au nombre de retards du filtrage spatio-temporel optimal au sens du critère du SINR maximal. Cependant,
ce filtrage présente l’inconvénient de ne pas garantir la non-déformation du signal utile, ce
qui limite son champ d’applications. Il serait donc intéressant d’utiliser la même approche d’étude
de performance asympotique pour analyser des algorithmes de filtrage spatio-temporel optimaux
au sens d’autres critères, comme par exemple au sens des critères MMSE ou LCMV. Notons qu’actuellement,
nous travaillons sur un de ces problèmes, à savoir l’étude de performance asymptotique
au sens du nombre de retards du filtrage spatio-temporel optimal au sens du critère MMSE.
– L’étude de performance asymptotique à laquelle nous nous sommes intéressés nous permet d’obtenir
une borne de performance limite, atteinte avec un nombre infini de retards. Cependant, elle ne nous
donne pas d’information sur la convergence vers cette limite. Il serait donc intéressant d’obtenir des
résultats théoriques sur la vitesse de convergence du SINR spatio-temporel optimal à nombre de
retards fini vers la limite théorique calculée.
– Lors de l’étude du filtrage spatio-temporel en configuration radar bande étroite à antenne tournante,
nous avons supposé que le fouillis était homogène dans la zone d’estimation des filtres adaptatifs.
Cependant, en pratique, le milieu peut être hétérogène, ce qui entraîne des pertes en performance des
algorithmes proposés. Il serait donc intéressant de faire une étude de performance des algorithmes
proposés dans cette situation de milieu hétérogène.

144 Conclusions et perspectives

ANNEXES

Annexe A
Approximations du SINR
Approximation (3.16)
Considérant la décomposition en éléments propres de ¯R :
N∑
¯R = µ n u n u H n ,
n=1
montrons tout d’abord que nous avons :
∣ φ
H
S u k
∣ ∣ ≪
√
N for k = 1,2.
(A.1)
Utilisant la représentation spectrale x t = ∫ B
2
e i2πft dµ(f) de l’enveloppe complexe des signaux stationnaires
au sens large, à bande limité et gaussiens de brouillage, approximée par x t ≈ ∑ L−1
− B 2
l=0 a le i2πf lt
avec f l = (−L + 2l + 1) B 2L , L ≫ 1 et (a l) l=0,...,L−1 des variables aléatoires gaussiennes décorrélées avec
E{|a l | 2 } = σ2 J
L
, ¯R peut être approximée par la matrice de covariance spatiale associée à une somme discrète
de signaux à bande limitée, très proches en fréquence avec du bruit additif, pour des faibles valeurs de
bande fractionnée :
¯R ≈
L−1
∑
l=0
σ 2 J
L φ J(f 0 + f l )φ H J (f 0 + f l ) + σ 2 nI.
Par conséquent, les résultats de [38] s’appliquent. En particulier,
u 1 = φ J
√ + O( B ),
N f 0
et donc ∣ ∣ φ
H
S u 1
∣ ∣ ≈
|φ H S φ J|
√
N
, ce qui prouve (A.1) quand k = 1.
Lorsque k = 2, la démonstration est plus délicate. A nouveau, en utilisant [38], u 2 est de la forme :
u 2 =
(
I −
φ J φ H J
N
∥ ∥ ( I − φ J φH J
N
) ⌋
dφJ (f)
df
) dφJ (f)
df
Avec notre modèle de données, il est facile de montrer que :
u 2 = e 2 ◦ φ J
||e 2 ||
f=f 0
⌋f=f 0
∥ ∥∥
+ o( B f 0
). (A.2)
+ o( B f 0
),

148 Approximations du SINR
où ◦ représente le multiplication élément par élément des vecteurs et avec e 2 = [−(N − 1),..., −N + 2n −
1,...,+(N − 1)] T . Par conséquent, on obtient :
||e 2 ||(φ H S u 2 ) = −
N∑
(N − 2n + 1)e j(n−1)x
n=1
N−1
j(
= −(N + 1)e 2 )xsin(N 2 x)
sin( x 2 ) + 2(N − 1)ejNx − Ne j(N−1)x + 1
(1 − e jx ) 2 (A.3)
avec x = π(u S − u J ). En prenant la valeur absolue de (A.3), et après utilisation de ||e 2 || 2 = (N−1)N(N+2)
3
,
on obtient rapidement |φ H S u 2| ≪ √ N pour N ≫ 1, prouvant ainsi (A.1) pour k = 2. Finalement, sous
l’hypothèse d’une relativement faible bande fractionnée, seules les deux premières valeurs propres de ¯R
sont supérieures au seuil de bruit. On déduit µ k ≈ σn 2 pour k = 3,...,N, ce qui conduit à l’approximation :
¯R −1 ≈ I
σn
2 +
≈
I
σ 2 n
2∑
( 1
− 1
µ k
k=1
− 1
σ 2 n
σ 2 n
2∑
u k u H k .
k=1
)
u k u H k
Après insertion de (A.1) dans (A.4), on obtient l’approximation (3.16).
Approximation (3.17)
Pour approximer (3.8) par (3.17), on analyse l’expression φ H S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S (i.e., le numérateur de
(3.8)) que l’on compare à σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 . Comme cela a été expliqué dans le paragraphe précédent, les
résultats de [38] s’appliquent également à la matrice de covariance à bande non nulle de la cible ¯R S de
décomposition en éléments propres ¯R S = ∑ N
n=1 λ nv n v H n et en particulier
v 1 = φ S
√ + O( B )
N f 0
(A.4)
et
λ 1 = tr( ¯R S ) + O( B f 0
).
Notons que ce résultat est obtenu à N fixé pour B f 0
tendant vers 0, pour lequel il est prouvé dans [38] que
λ k = O(( B f 0
) 2(k−1) ) pour k = 1,...,N. Par conséquent, pour B f 0
≪ 1, v 1 ≈ √ φ S
N
et λ 1 ≈ NσS 2 et on obtient :
φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ ∑ k,l,m
qui peut être décomposé en deux parties :
Nλ l
µ k µ m
(v H 1 u k )(u H k v l).(v H l u m )(u H mv 1 ),
φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ ∑ k,m
N 2 σ 2 S
µ k µ m
∣ ∣v H
1 u k
∣ ∣
2 ∣ ∣u H
m v 1
∣ ∣
2
+
∑
k,m,l≠1
Nλ l
µ k µ m
(v H 1 u k)(u H k v l)(v H l u m )(u H m v 1). (A.5)
Ensuite, on développe σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 par
σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 ≈ σ 2 S N2 ( ∑
k
∣ u
H
k
v 1
∣ ∣
2
µ k
) 2
. (A.6)

149
Sous les mêmes conditions pour le brouilleur, nous avons u 1 ≈ √ φ J
N
. Ensuite, utilisant l’hypothèse selon
laquelle le brouilleur se trouve dans un proche voisinage de la cible (|u S − u J | ≪ 1), φ J ≈ φ S et
d’où
u 1 ≈ v 1
u k,k≠1 ⊥ v 1 ,
φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ σ2 S N2
µ 2 1
σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 ≈ σ2 S N2
µ 2 1
à partir de respectivement (A.5) et (A.6). Cela conduit finalement à l’approximation du SINR donnée par
(3.17).

150 Approximations du SINR

Annexe B
Preuve de Théorème 1
A partir de [88, 2.22 p.74], nous avons
λ i+1 (A m ,B m ) = inf
D m
sup
D H m B mw m = 0
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H mB m w m
(B.1)
où D m représente une matrice quelconque de dimension m × i. Soit Sm
m−i un sous-espace arbitraire de
dimension (m − i) de C m pour lequel les vecteurs (B H md 1 ,...,B H md i ) forment une base du complément
orthogonal. Par conséquent,
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H m B mw m
=
sup
D H mB m w m = 0
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H m B mw m
et par le principe d’inclusion :
inf
S m−i
m
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H mB m w m
≥ inf
D m
sup
D H mB m w m = 0
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H mB m w m
.
Comme les vecteurs propres généralisés (v 1 ,...,v m ) sont orthogonaux au sens du produit scalaire (x,y) =
x H By, le quotient de Rayleigh (4.1) devient :
wm HA ∑ m
mw m k=1
wmB H =
λ k|x k |
∑ 2
m w m
m k=1 |x k| 2
avec w m = ∑ n
k=1 x kv k et donc si Sm m−i représente le sous-espace de Cm engendré par (v i+1 ,...,v m )
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H m B mw m
=
sup
(x i+1 ,...,x m) T ≠0
∑ m
k=i+1 λ k|x k | 2
∑ m
k=i+1 |x k| 2 = λ i+1
et par conséquent
λ i+1 (A m ,B m ) = inf
S m−i
m
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H m B mw m

152 Preuve de Théorème 1
est prouvé. Comme Sm−1 m−i peut être étendu à un sous-espace Sm−i m,0 de dimension (m − i) de Cm , après
transformation de w m−1 en vecteurs 1 w m = (wm−1 T ,0)T de C m de sorte que
on obtient d’après le principe d’inclusion :
w H m−1 A m−1w m−1
w H m−1 B m−1w m−1
= wH m A mw m
w H m B mw m
,
λ i+1 (A m ,B m ) ≤
min
S m−i
m,0
max
Sm,0
m−i
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H mB m w m
= min
S m−i
m−1
max
Sm−1
m−i
w m−1 ≠ 0
w H m−1 A m−1w m−1
w H m−1 B m−1w m−1
= λ i (A m−1 ,B m−1 )
et l’inégalité gauche de Théorème 1 est prouvée. L’inégalité droite se démontre de la même manière à
partir de [88, 2.22 p.74]
λ m−i (A m ,B m ) = sup
D m
pour toute matrice D m de dimension m × i.
inf
D H m B mw m = 0
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H m B mw m
1 On considère ici les sous-matrices associées aux premières m − 1 lignes et colonnes de A m et B m. L’extension à des
sous-matrices principales quelconques associées aux mêmes m − 1 lignes et colonnes s’en déduit directement, en utilisant les
vecteurs associés w m.

Annexe C
Preuve de Théorème 2
Lemme 2
Les valeurs propres λ(A m,n ) de A m,n vérifient
min
w
w H A m,n w
w H w
≤ λ(A m,n) ≤ max
w
= 1
2π
w H A m,n w
w H w
où le vecteur w est partitionné de la manière w T = [ w1 T,... ,wT u ,... T
n] ,wT avec w
T
u = [w u,1 ,w u,2 ,...,w u,m ] T .
En conséquence,
w H A m,n w = ∑ wu H Au,v m w v = ∑ ∑
wu,k ∗ au,v k−l w v,l
u,v
u,v k,l
∫ π ∑ ∑
(w u,k e −ikω ) ∗ a u,v (ω)(w v,l e −ilω )dω
= 1
2π
−π u,v
∫ π
−π
k,l
w H (ω)A(ω)w(ω)dω
où nous avons utilisé la transformée de Fourier w u (ω) = ∑ m
k=1 w u,ke −ikω , u = 1,... ,n et le vecteur
w(ω) = [w 1 (ω),... ,w u (ω),... ,w n (ω)] T . On déduit 1 ,
min
ω,λ λ(A(ω)) 1
2π
∫ π
−π
Finalement, remarquant que 1
2π
Lemme 3
w H (ω)w(ω)dω ≤ w H A m,n w ≤ max λ(A(ω)) 1 w H (ω)w(ω)dω.
ω,λ 2π −π
∫ π
−π wH (ω)w(ω)dω = w H w, le lemme 2 est prouvé.
Tout d’abord, à partir du lemme 2, λ(B m,n ) ≥ m b > 0, et donc B m,n est non singulière. De plus,
comme B m,n est Hermitienne λ(B −1
m,n ) = λ−1 (B m,n ) et ∥ B
−1 ∥
m,n = maxλ λ −1 (B m,n ) ≤ 1 m b
.
Considérant la matrice bloc diagonale ∆ m (b) associée avec B m,n donné par le lemme 1, on a avec les
notations du lemme 2 et w k def = (w 1,k ,... ,w n,k ) T :
w H ∆ m (b)w = ∑ wu H D m(b u,v )w v = ∑ ∑
( ) 2π(k − 1)
wu,k ∗ bu,v w v,k
m
u,v
u,v k
m∑
( ) 2π(k − 1)
= (w k ) H B w k ≥ min λ(B(ω))w H w
m
λ
k=1
1 Notons que parce que les séquences {a u,v
k
}u,v=1,...,m sont absolument sommables, au,v (ω) sont continues et max ω(A(ω))
et min ω(A(ω)) atteignent leurs extrema.
∫ π

154 Preuve de Théorème 2
Par conséquent, λ(C m (b)) ≥ m b > 0, C m (b) est non singulière et vérifie également ∥ C
−1
m (b)∥ ∥ ≤
1
m b
et la
condition de l’équivalence asymptotique est vérifiée.
Finalement, utilisant, ∣ B
−1
m,n − C −1
m (b) ∣ ∣ = ∣C −1
m (b)C m (b)B −1
m,n − C −1
m (b)B m,n B −1 ∣
m,n avec [47, Lemma
3], on obtient :
∣ B
−1
m,n − C−1 m (b)∣ ∣ ≤
∥ ∥C −1
m (b)∥ ∥ ∥ ∥ B
−1
m,n
∥ |Cm (b) − B m,n |
prouvant que lim m→∞
∣ ∣B −1
m,n − C −1
m (b) ∣ ∣ = 0 ce qui vérifie la condition 2 de l’équivalence asymptotique.
Lemme 4
et
Comme pour la norme spectrale
∥ B
−1
m,nA m,n
∥ ∥ ≤
∥ ∥B −1
m,n
∥ ‖Am,n ‖
∥ C
−1
n (b)C n (a) ∥ ∥ ≤
∥ ∥C −1
n (b) ∥ ∥ ‖Cn (a)‖ ,
la condition 1 de l’équivalence asymptotique est vérifiée à partir des lemmes 1 et 3. Alors, à partir
de [47, Lemma 3], on a
∥ B
−1
m,nA m,n − C −1
m (b)C m (a) ∥ ∥ = ∥B −1
m,nA m,n − B −1
m,nC m (a) + B −1
m,nC m (a) − C −1
m (b)C m (a) ∥ ≤
∥ B
−1 ∥ |Am,n − C m (a)| + ‖C m (a)‖ ∣ B
−1
m,n − C −1
m (b) ∣ m,n
et en utilisant les lemmes 2 et 3, la condition 2 de l’équivalence asymptotique est satisfaite.
Théorème 2
Utilisant B −1
m,n A m,n ∼ C −1
m (b)C m(a) donné par le lemme 4 et la propriété sur leurs valeurs propres
associées donnée par [47, Corollary 1, p.174], nous avons
∀s ∈ N ∗
lim
m→∞
1
m
nm∑
k=1
[
λ
s
k (B −1
m,n A m,n) − λ s k (C−1 m (b)C m(a)) ] = 0.
(C.1)
Utilisant le fait que les matrices C m (a) et C m (b) sont semblables à ∆ m (a) et ∆ m (b) avec la même matrice
unitaire U m,n donnée par le lemme 1, nous avons
nm∑
k=1
λ s k (C−1 m (b)C m (a)) =
nm∑
k=1
λ s k (∆−1 m (b)∆ m (a)).
(C.2)
Ecrivant les matrices ∆ m (a) et ∆ m (b) définies dans le lemme 1 sous la forme :
∆ m (a) = ∑ ( )
m
k=1 A 2π(k−1)
m
⊗ E k
∆ m (b) = ∑ ( )
m
k=1 B 2π(k−1)
m
⊗ E k
avec E k la matrice creuse de dimension m × m dont les éléments sont nuls sauf (E k ) k,k = 1, on obtient
directement :
m ∆ −1
m (b) = ∑
( ) 2π(k − 1)
B −1 ⊗ E k
m
k=1

155
et
Par conséquent,
nm∑
k=1
(
∆
−1
m (b)∆ m (a) ) s
∑
m [ ( ) ( )] 2π(k − 1) 2π(k − 1) s
= B −1 A
⊗ E k .
m m
k=1
λ s k (∆−1 m (b)∆ m(a)) =
m∑
k=1
([ ( ) 2π(k − 1)
Tr B −1 A
m
( 2π(k − 1)
m
)] s )
.
Utilisant la définition de l’intégrale de Riemann où la continuité des transformées de Fourier A(ω) et
B(ω) garantit l’existence, (C.2) donne
lim
m→∞
1
m
nm∑
k=1
λ s k (C−1 m (b)C m (a)) = 1 ∫ π
Tr ([ B −1 (ω)A(ω) ] s)
dω.
2π −π
Par conséquent, la limite du premier terme de (C.1) existe et
lim
m→∞
D’où on déduit pour tout polynôme P,
lim
m→∞
1
m
1
nm∑
λ s k
m
(B−1 m,nA m,n ) = 1 ∫ π
Tr ([ B −1 (ω)A(ω) ] s)
dω
2π
k=1
−π
n∑
nm∑
k=1
= 1 ∫ π
2π −π
P [ λ k (B −1
m,n A m,n) ] = 1 ∫ π
2π −π
u=1
λ s u(B −1 (ω)A(ω))dω.
n∑
P [ λ k (B −1 (ω)A(ω)) ] dω.
D’après le théorème d’approximation de Stone-Weierstrass (rappelé dans [48, Théorème 2.2]), cette relation
s’étend à toute fonction F continue sur I ω .
u=1

156 Preuve de Théorème 2

Annexe D
Preuve de Résultat 7
Tout d’abord, montrons par récurrence par rapport au nombre de brouilleurs que
R −1
J (f) = B σ 2 nI −
J∑
β j (f)α j (f)α H j (f)
j=1
(D.1)
où nous avons utilisé la notation R J (f) pour J brouilleurs dans (4.6). L’utilisation du lemme d’inversion
matricielle dans (4.6) en présence d’un unique brouilleur donne
R −1
J (f) = B σn
2 I − β 1 (f) φ(θ 1,f + f 0 )φ(θ 1 ,f + f 0 ) H
1 + NB
σ
β
n
2 1 (f)
et donc (D.1) est prouvé pour J = 1. Pour continuer, supposons que (D.1) est vraie pour J − 1. Utiliser
le lemme d’inversion matricielle dans (4.6) donne :
R −1
J (f) = B J−1
∑
σnI 2 −
j=1
β j (f)α j (f)α H j (f) − β J(f)[R −1
J−1 (f)φ(θ J,f + f 0 )][R −1
J−1 (f)φ(θ J,f + f 0 )] H
.
1 + φ(θ J ,f + f 0 ) H R −1
J−1 (f)φ(θ J,f + f 0 )
Ainsi, (D.1) est démontrée pour J brouilleurs. Insérant l’expression (D.1) dans le résultat 2 donne :
⎡
⎤
σS
2
B φ(θ S,f + f 0 ) H R −1 (f)φ(θ S ,f + f 0 ) = σ2 S ⎣N
σn
2 − σ2 J−1
∑
n
β j (f) ∣ φ(θS ,f + f 0 ) H α j (f) ∣ 2 ⎦ .
B
Cette expression est alors clairement maximisée pour β 1 (f) = β 2 (f) = · · · = β J (f) = 0, et son maximum
est donné par σ2 S
σ 2 n
N.
j=1

158 Preuve de Résultat 7

Annexe E
Expression du signal reçu au niveau de
l’antenne
On cherche à exprimer le signal r c (t) reçu par le capteur C à l’instant t (cf. Fig.6.3). Pour cela,
introduisons les instants t 1 correspondant à l’émission par le radar du signal reçu à l’instant t au niveau
du capteur C et t 2 correspondant à l’instant de réflexion de ce même signal par la cible. Le signal reçu
par le capteur C à l’instant t est égal à :
r c (t) = βe(t 1 ).
(E.1)
où β est un coefficient d’atténuation aléatoire dû à la propagation aller-retour. Il nous faut donc maintenant
exprimer t 1 en fonction de t. Avec les notations de Fig.6.3, on a :
c(t 2 − t 1 ) = OM(t 2 )
c(t − t 2 ) = ‖OM(t 2 ) + CO(t)‖
(E.2)
Supposons maintenant que la cible est en translation uniforme avec une vitesse radiale v et est initialement
à la distance R 0 du radar. La distance OM(t) est donc égale à :
OM(t) = R 0 − vt.
(E.3)
Cherchons ensuite une expression approchée de la distance ‖OM(t 2 ) + CO(t)‖. En notant l = CO(t) la
distance du capteur C à l’origine de l’antenne O, on a :
‖OM(t 2 ) + CO(t)‖ = √ OM(t 2 ) 2 + l 2 − 2lOM(t 2 )sin(θ(t)).
(E.4)
En utilisant ensuite l’hypothèse selon laquelle la cible est très éloignée de l’antenne (i.e.
obtient en effectuant un développement limité au premier ordre de (E.4) en
l
OM(t 2 ) :
l
OM(t 2 )
≪ 1), on
‖OM(t 2 ) + CO(t)‖ = OM(t 2 ) − l sin(θ(t)) + o(l).
(E.5)
En insérant (E.3) et (E.5) dans (E.2), on obtient :
c(t 2 − t 1 ) = R 0 − vt 2
c(t − t 2 ) = R 0 − vt 2 − l sin(θ(t)) + o(l).
(E.6)
On transforme ensuite le système (E.6) pour exprimer t 1 en fonction de t 2 puis t 2 en fonction de t. On
obtient ainsi :
t 1 = ( )
c+v
c t2 − R 0
c
t 2 = c
c−v t − R 0
c−v + l
c−v sin(θ(t)) + o( l c ).

160 Expression du signal reçu au niveau de l’antenne
On obtient ensuite l’expression de t 1 en fonction 1 de t :
t 1 = t + 2vt
c − v − 2R 0
c − v + l c sin(θ(t)) + o(l c )
(E.7)
en ayant négligé les termes négligeables devant d c
. Examinons maintenant l’expression (E.7). Comme
v
c ≪ 1, 2vt
c−v − 2R 0
c−v ∼ 2v c − 2R 0
c
. On obtient donc l’approximation suivante de l’instant d’émission du signal
t 1 :
t 1 ≈ t + 2vt
c − 2R 0
+ l sin(θ(t)). (E.8)
c c
Après insertion de (E.8) et (6.1) dans (E.9), on obtient l’expression du signal reçu :
(
r c (t) ≈ β t + 2vt
c − 2R 0
+ l ) “
c c sin(θ(t)) e j2πf 0 t+ 2vt
c −2R 0
c + l c
”.
sin(θ(t))
Remarquons enfin que sous l’hypothèse de signaux bande étroite, les termes 2vt
c
et l c
sin(θ(t)) n’influent
pas sur l’enveloppe complexe dans la plupart des cas [69]. En notant f d = 2v c f 0 la fréquence Doppler et
2R
ϕ = 2πf 0 0 c
un terme de phase, on obtient finalement :
(
r c (t) ≈ Au t − 2R )
0
e −jϕ e j2π[(f 0+f d )t+ l c f 0 sin(θ(t))]
(E.9)
c
avec A = βg.
1 Notons qu’avec l = 0 dans l’expression (E.7), on retrouve l’expression connue du temps de propagation aller-retour d’une
onde réfléchi par une cible se déplaçant à la vitesse radiale v (cf. [69]).

Annexe F
Calcul du SINR normalisé après
application de l’algorithme ESMI avec la
contrainte standard
En utilisant la ( formule ) de Frobenius sur l’inverse de la matrice partitionnée ˆ˜R, on obtient à partir de
(7.18) avec ˜φ φ
= :
0
ŵ 0 = ( ˆR (0) − ˆR ˆR−1 ˆR (1) (2) (1) ) −1 φ (F.1)
̂∆ω = ( ˆR ˆR−1 ˆR (1) (0) (1) − ˆR (2) ) −1 ˆR(1) ˆR−1 (0) φ
Ensuite, après des calculs simples, on obtient les expressions suivantes pour les quantités (s j ) j=0..2 :
s 0 = 1
(M + 1)L (K + 1)
s 1 = −
2 2
s 2 = L2 (M + 1)(2M + 1) (K + 1)(2K + 1) (K + 1)L(M + 1)
+ −
6
6
2
En remplaçant la matrice de covariance estimée par son espérance et en utilisant les notations précédentes
dans (F.2), on obtient l’expression du filtre spatial à l’instant t :
ŵ S (t) = ŵ 0 + t̂∆ω = (s 2 − ts 1 )
(s 2 − s 2 φ
1
Ensuite, choisissant d’analyser le SINR à la case distance l, on obtient :
⎛
Ŵ = ⎜
⎝
ŵ S (l)
ŵ S (L + l)
.
ŵ S ((M − 1)L + l)
En utilisant (F.2) et (F.3), on obtient l’expression du SINR : SINR = |ŴH Φ| 2
SINR =
∣
∣φ H φ ∑ M
φ H φ ∑ M
m=1
⎞
⎟
⎠
(
s2 −ls 1 −(m−1)Ls 1
m=1 s 2 −s 2 1
( ) 2
s2 −ls 1 −(m−1)Ls 1
s 2 −s 2 1
)∣ ∣∣
2
Ŵ H RŴ :
Finalement, après quelques manipulations algébriques, on obtient l’expression (7.19) pour le SINR normalisé
(ρ =
SINR
Φ H R −1 Φ ).
(F.2)
(F.3)

162 Calcul du SINR normalisé après application de l’algorithme ESMI avec la contrainte standard

Annexe G
Calcul de la puissance résiduelle de
fouillis après préfiltrage ACF
En présence de fouillis totalement corrélé : calcul de (8.4)
Pour du fouillis totalement corrélé, c (m) =c (m+1) =c (m+2) . Tout d’abord, donnons l’expression de l’élément
(n + 1) de d (m) :
d (m)
n+1 = c(m)
√
6
(−e jnπsin(θ+(m−1)ωTrec) + 2e jnπsin(θ+mωTrec)
− e jnπsin(θ+(m+1)ωTrec) )
(G.1)
Ensuite, donnons une approximation de cette expression pour ωT rec ≪ 1, en utilisant :
sin(θ+(m±1)ωT rec )=sin(θ+mωT rec ) ± ωT rec cos(θ+mωT rec )
Après insertion de ces approximations dans (G.1), on a
+ o(ωT rec ).
qui est aussi égal à
d (m)
n+1 ≈ c(m)
√
6
e jnπsin(θ+mωTrec) (−e −jnπωTreccos(θ+mωTrec)
+ 2 − e jnπωTreccos(θ+mωTrec) )
On déduit
d (m)
n+1 ≈ c(m)
√
6
e jnπ(sin(θ+mωTrec)−ωTreccos(θ+mωTrec))
×2 (1 − cos[nπωT rec cos(θ + mωT)]) .
{ ∣∣∣d (m)
E n+1∣ 2} ≈ 42 σc
2 ( nπ
)
6 sin4 2 ωT reccos(θ + mωT rec )
qui est équivalent à l’expression suivante pour NωT rec ≪ 1

164 Calcul de la puissance résiduelle de fouillis après préfiltrage ACF
{ ∣∣∣d (m)
E n+1∣ 2} ≈ σ2 c
6 n4 π 4 ω 4 Trec 4 cos4 (θ + mωT rec ).
Enfin, en utilisant λ fc = ∑ { ∣∣∣d N−1
n=0 E (m)
n+1∣ 2} , on obtient (8.4).
En présence de fouillis partiellement corrélé : calcul de (8.5)
Tout d’abord, donnons l’expression de λ pc
λ pc = 1 6 E { ∥∥∥−c (m) φ (m) +2c (m+1) φ (m+1) −c (m+2) φ (m+2) ∥ ∥∥
2 }
qui est égal à
avec
σ 2 c
6 [6N − 4ρ 1Re(φ (m+1)H φ (m) + φ (m+2)H φ (m+1) )
{
ρ 1
def
= e −2π2 T 2 recσ 2 d
ρ 2
def
= e −8π2 T 2 rec σ2 d.
+2ρ 2 Re(φ (m+2)H φ (m) )] (G.2)
A partir de (G.2) , on déduit la relation entre λ pc et λ fc (donnée (G.2) avec ρ 1 = ρ 2 = 1).
λ pc = λ fc + σ2 c
6 [4(1 − ρ 1)Re(φ (m+1)H φ (m)
+ φ (m+2)H φ (m+1) ) − 2(1 − ρ 2 )Re(φ (m+2)H φ (m) )].
Ensuite, pour σ d T ≪ 1, on utilise les développements suivants :
{ 1 − ρ1 = 2π 2 T 2 rec σ2 d − 2π4 T 4 rec σ4 d + o(T 4 rec σ4 d )
1 − ρ 2 = 8π 2 T 2 rec σ2 d − 32π4 T 4 rec σ4 d + o(T 4 rec σ4 d )
et après approximation des produits scalaires φ (m+1)H φ (m) , φ (m+2)H φ (m+1) et φ (m+2)H φ (m) par N (calculé
après un développement limité au second ordre en ωT rec ), on obtient finalement pour σ d T rec ≪ 1
λ pc ≈ λ fc + 8σ 2 c Nπ4 σ 4 d T 4 rec .
Finalement, après insertion de (8.4) dans (G.3), on obtient (8.5).
(G.3)

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