TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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32 Introduction 0 Diagramme de reception, focalisation = 0 0 0 −5 −10 −15 −20 dB −25 −30 −35 −40 −45 −50 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 azimut en degres Fig. 2.3: Fluctuation des diagrammes spatiaux pour 10 réalisations Contraintes de gabarit au repos La première méthode de contrainte du gabarit dans une certaine zone angulaire consiste à imposer un diagramme au repos. Le filtre associé à ce dernier est noté w q . Pour imposer un diagramme au repos, on forme ¯w q = wq ‖w q‖ 2 et on réalise un filtrage MVDR avec la nouvelle contrainte : w H ¯w q = 1. Contrainte ‘douce’ La seconde méthode de contrainte du gabarit dans une certaine zone angulaire consiste à introduire dans la fonction à minimiser, une distance entre le diagramme formé et un diagramme de référence. Ainsi, au lieu de minimiser w H R −1 w comme dans l’algorithme MVDR traditionnel, on cherche à minimiser une expression de la forme w H Rw + k 2 E sous contrainte directionnelle. On a introduit un scalaire E qui peut être interprété comme une distance entre le diagramme souhaité et un diagramme de référence et que l’on pondère par k. Dans [29], les auteurs choisissent comme distance l’expression : E = d(w,w q ) = (w−w q ) H Z(w−w q ) où w q représente le filtre de référence et Z = ∫ θ h(θ)φ(θ)φ(θ)H dθ. Dans cette dernière expression, h(θ) est une fonction de pondération continue et positive à définir et φ(θ) est le vecteur directionnel associé à l’angle θ. Cet algorithme nécessite donc de choisir 5 la constante de pondération k, le filtre de référence et la fonction de pondération h(θ). L’objectif de l’algorithme est d’atténuer les fluctuations du filtre spatial d’une réalisation à une autre. Fig.2.3 illustre la fluctuation des diagrammes associés à différents filtres spatiaux, avec une focalisation à 0 deg. et une source d’interférence de DOA 35 deg. On observe que la fluctuation est importante en dehors des zones de focalisation et d’antibrouillage (35 deg.). On visualise ensuite en Fig.2.4 les diagrammes obtenus lorsque l’on calcule les filtres spatiaux par la méthode décrite précédemment. On vérifie que les diagrammes sont stabilisés et presque identiques de réalisation à réalisation. 5 L’inconvénient majeur de cette méthode est que le respect de la contrainte de gabarit peut se faire au détriment de l’antibrouillage. La gestion du compromis entre contrainte de gabarit et antibrouillage s’effectue au travers du paramétrage et en particulier du choix de k. Dans [30], il a été proposé un algorithme dans lequel l’optimisation sur la forme du diagramme s’effectue au travers des vecteurs du sous-espace orthogonal au sous-espace des interférences et à la contrainte de focalisation. De cette manière, la rejection des interférences n’est pas altérée bien que la forme du diagramme soit contrôlée.
2.5 Implémentation de la formation de faisceaux 33 0 Diagramme de reception, focalisation = 0 0 0 −5 −10 −15 −20 dB −25 −30 −35 −40 −45 −50 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 azimut en degres Fig. 2.4: Diagrammes spatiaux stabilisés par l’application d’une fonction de pénalisation 2.5 Implémentation de la formation de faisceaux Après avoir explicité les différents critères d’optimisation des filtres spatiaux et présenté les principaux algorithmes de formation de faisceaux, on s’intéresse maintenant à l’implémentation de ces derniers. Trois approches sont distinguées. La première consiste à implémenter directement les filtres spatiaux, en remplaçant les matrices de covariance exactes par leurs estimées. Il s’agit d’un traitement par blocs de données. La seconde approche correspond à une implémentation récursive des filtres. Enfin, la troisième approche correspond à la mise en oeuvre de la résolution d’un problème d’optimisation par un algorithme du gradient. 2.5.1 Implémentation directe Cette implémentation est connue sous le nom SMI (Sample Matrix Inversion) 6 et a pour la première fois été étudiée dans [31]. Elle consiste à remplacer la matrice de covariance de bruit par son estimée obtenue par moyenne empirique à partir des données 7 : ˆR(K) = 1 K∑ x k x H k K où K représente le nombre d’échantillons disponible pour l’estimation. Ensuite, cette matrice est directement inversée pour calculer le filtre spatial correspondant. Dans l’article historique [31], les auteurs étudient l’implémentation SMI de la solution MSINR (2.10) et donnent l’expression du SINR normalisé lorsque les échantillons utilisés dans la matrice ne contiennent pas de signal utile et sont gaussiens, indépendants et identiquement distribués. Dans ce cas, ils montrent 6 elle est également parfois dénommée DMI [1]. 7 sous l’hypothèse où les données spatiales sont modélisées par des échantillons de vecteurs aléatoires gaussiens complexes, i.i.d. (indépendants et identiquement distribués), cette matrice est l’estimée de la matrice de covariance des données au sens du maximum de vraisemblance [6, chap. 7.2]. k=1
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