TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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148 Approximations du SINR où ◦ représente le multiplication élément par élément des vecteurs et avec e 2 = [−(N − 1),..., −N + 2n − 1,...,+(N − 1)] T . Par conséquent, on obtient : ||e 2 ||(φ H S u 2 ) = − N∑ (N − 2n + 1)e j(n−1)x n=1 N−1 j( = −(N + 1)e 2 )xsin(N 2 x) sin( x 2 ) + 2(N − 1)ejNx − Ne j(N−1)x + 1 (1 − e jx ) 2 (A.3) avec x = π(u S − u J ). En prenant la valeur absolue de (A.3), et après utilisation de ||e 2 || 2 = (N−1)N(N+2) 3 , on obtient rapidement |φ H S u 2| ≪ √ N pour N ≫ 1, prouvant ainsi (A.1) pour k = 2. Finalement, sous l’hypothèse d’une relativement faible bande fractionnée, seules les deux premières valeurs propres de ¯R sont supérieures au seuil de bruit. On déduit µ k ≈ σn 2 pour k = 3,...,N, ce qui conduit à l’approximation : ¯R −1 ≈ I σn 2 + ≈ I σ 2 n 2∑ ( 1 − 1 µ k k=1 − 1 σ 2 n σ 2 n 2∑ u k u H k . k=1 ) u k u H k Après insertion de (A.1) dans (A.4), on obtient l’approximation (3.16). Approximation (3.17) Pour approximer (3.8) par (3.17), on analyse l’expression φ H S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S (i.e., le numérateur de (3.8)) que l’on compare à σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 . Comme cela a été expliqué dans le paragraphe précédent, les résultats de [38] s’appliquent également à la matrice de covariance à bande non nulle de la cible ¯R S de décomposition en éléments propres ¯R S = ∑ N n=1 λ nv n v H n et en particulier v 1 = φ S √ + O( B ) N f 0 (A.4) et λ 1 = tr( ¯R S ) + O( B f 0 ). Notons que ce résultat est obtenu à N fixé pour B f 0 tendant vers 0, pour lequel il est prouvé dans [38] que λ k = O(( B f 0 ) 2(k−1) ) pour k = 1,...,N. Par conséquent, pour B f 0 ≪ 1, v 1 ≈ √ φ S N et λ 1 ≈ NσS 2 et on obtient : φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ ∑ k,l,m qui peut être décomposé en deux parties : Nλ l µ k µ m (v H 1 u k )(u H k v l).(v H l u m )(u H mv 1 ), φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ ∑ k,m N 2 σ 2 S µ k µ m ∣ ∣v H 1 u k ∣ ∣ 2 ∣ ∣u H m v 1 ∣ ∣ 2 + ∑ k,m,l≠1 Nλ l µ k µ m (v H 1 u k)(u H k v l)(v H l u m )(u H m v 1). (A.5) Ensuite, on développe σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 par σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 ≈ σ 2 S N2 ( ∑ k ∣ u H k v 1 ∣ ∣ 2 µ k ) 2 . (A.6)
149 Sous les mêmes conditions pour le brouilleur, nous avons u 1 ≈ √ φ J N . Ensuite, utilisant l’hypothèse selon laquelle le brouilleur se trouve dans un proche voisinage de la cible (|u S − u J | ≪ 1), φ J ≈ φ S et d’où u 1 ≈ v 1 u k,k≠1 ⊥ v 1 , φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ σ2 S N2 µ 2 1 σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 ≈ σ2 S N2 µ 2 1 à partir de respectivement (A.5) et (A.6). Cela conduit finalement à l’approximation du SINR donnée par (3.17).
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Remerciements Je souhaiterais tout
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Chapitre 3 Robustesse de la formati
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3.6 Conclusion 63 2.5 2 1.5 SINR(dB
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Chapitre 4 Etude de performance asy
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