TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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46 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande Une borne inférieure sur le rapport de SINR (3.14) par rapport à la DOA de la source utile est obtenue en considérant un vecteur directionnel sans contrainte φ S . Dans ce cas, (3.14) est minimisée lorsque le terme |φ H S R−1 u 2 | 2 est maximisé, i.e., lorsque φ φ H S R−1 φ S ∝ u 2 . Utilisant u H 2 R−1 u 2 ≈ 1 déduit de u H φ √NJ S σn 2 2 ≈ u H 2 u 1 = 0, la borne inférieure associée sur le rapport de SINR r est égale à 3 : r lb = σ2 n µ 2 . (3.15) Par conséquent, le rapport entre la valeur propre de bruit et la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit peut être interprété comme une borne inférieure sur le rapport en SINR r ou inversement, le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et valeur propre de bruit comme une borne supérieure sur la perte en SINR r −1 . De ce résultat, on déduit une borne supérieure sur la perte en SINR r −1 en présence d’un signal d’interférence bande étroite, au sens de la définition de Zatman. Ainsi, lorsque la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit est inférieure à la valeur de 3 dB au dessus de la valeur propre de bruit, Résultat 1 prouve que la perte en SINR sera inférieure à 3 dB quelque soit la DOA de la source utile et de la source d’interférence. En effet, si µ 2 ≤ 2σ 2 n, on a : 1 ≤ perte en SINR = 1 r ≤ 1 r lb = µ 2 σ 2 n Après avoir donné une relation générale entre le critère de Zatman et la perte en SINR r −1 , on cherche à estimer cette perte et en particulier la valeur du ‘pire cas’ r −1 min , en fonction des différents paramètres ( B f 0 , σJ 2 ,DOAs, N). D’autre part, on souhaite donner des conditions suffisantes pour que la borne supérieure σn 2 soit presque atteinte pour une certaine DOA de la source utile. r −1 lb ≤ 2. 3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR Dans cette section, notre objectif est d’analyser l’expression (3.10). Cependant, le fait de considérer un signal utile de largeur de bande non nulle conduit à une expression complexe du rapport de SINR. Pour l’analyser, il nous faut distinguer deux cas en fonction de la position de la source d’interférence par rapport à la source utile. Ensuite, on utilisera l’hypothèse selon laquelle la bande fractionnée est faible et le nombre de capteurs de l’antenne important. Notons que cette dernière hypothèse est justifiée dans la plupart des applications radar, pour lesquelles une haute résolution spatiale est requise. Ces hypothèses nous permettent d’obtenir des expressions limites du critère considéré, comme nous le verrons dans les paragraphes 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 and 3.4.4. Pour aider à la compréhension de la suite, le tableau suivant récapitule les différentes hypothèses sur lesquelles sont basés les différents paragraphes. paragraphes 2.4.1 (lobes secondaires) 2.4.1 (lobe principal) 2.4.2 2.4.3 2.4.4 B f 0 ≪ 1 X X X X X N ≫ 1 s.c. NB f 0 ≪ 1 X X X 3 Notons que l’approximation k de u 2 est donnée par la dérivée de φ J (f) par rapport à f, orthogonalisée par φ J , u 2 ≈ ` I− φ J φH J N ‚ ‚`I− φ J φH J N ´ dφJ (f) df ´ dφJ (f) df f=f 0 ‚ ‚‚ + o( kf=f B f 0 ) [38]. Comme il n’existe pas de DOA de source utile pour laquelle φ S est proportionnel à ce 0 vecteur, la borne inférieure sur le rapport de SINR ne peut pas être atteinte.
3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 47 20 lobes secondaires lobes secondaires 10 0 SINR (dB) −10 −20 −30 SINR exact SINR approche lobe principal −40 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u = sin(θ ) S S Fig. 3.2: SINR exact (3.8) et approché (3.16) (3.17), en fonction de la DOA de la cible. 3.4.1 Approximation du SINR Bien que le rapport de SINR donné par (3.10) soit exact, il est difficilement calculable. Cependant, on montre maintenant que le SINR (3.8) peut être simplifié en distinguant le cas où la source d’interférence est vue dans les lobes secondaires de celui où elle est vue dans le lobe principal. Ainsi, on prouve les résultats suivants en annexe A : Résultat 2 Pour une source d’interférence vue dans les lobes secondaires, c’est à dire quand sa DOA est éloignée de celle de la source utile (i.e. lorsque |u S − u J | ≫ 1 N ), et pour une source d’interférence vue dans le lobe principal, c’est à dire de DOA proche de celle de la source utile (i.e. lorsque |u S − u J | ≈ 1 N ), le SINR intervenant dans le critère (3.9) peut être approximé par respectivement : SINR 1 = φH ¯R S S φ S Nσn 2 (3.16) SINR 2 = σS 2 φH ¯R S −1 φ S . (3.17) On note que pour une source d’interférence vue dans les lobes secondaires, l’expression (3.16) montre que le vecteur directionnel du signal utile se trouve dans un sous-espace presque orthogonal à celui du signal d’interférence, et donc que seul le bruit thermique joue un rôle dans (3.8). De plus, pour une source d’interférence vue dans le lobe principal, la relation (3.17) est l’expression du SINR optimal sous l’hypothèse d’un signal utile à bande nulle comme donné par (3.11). Ces approximations sont validées par de nombreuses comparaisons numériques, pour des puissances arbitraires des interférences. A titre d’exemple, Fig.3.2 compare le SINR exact (3.8) avec les deux expressions précédentes (3.16 et 3.17) pour une valeur de bande fractionnée importante B f 0 = 0.5. On observe que les deux approximations sont précises dans les deux régions, même lorsque la bande fractionnée est élevée.
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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