TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

66 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
obtenus [45]. En particulier, les auteurs ont calculé la valeur limite exacte du nombre de conditionnement
d’une séquence de matrices Hermitiennes bloc Toeplitz préconditionnées, après calcul de la limite des
plus petite et plus grande valeurs propres de cette séquence de matrice. Cette analyse a été effectuée sous
l’hypothèse mathématique selon laquelle la séquence de matrices Hermitiennes bloc Toeplitz est générée
par des fonctions matricielles Hermitiennes mesurables et bornées presque partout. Cependant, il n’y a
pas d’extension du célèbre théorème de Szegö [46], qui affirme que les valeurs propres d’une séquence de
matrices Hermitiennes de Toeplitz se comportent asymptotiquement comme les échantillons de la transformée
de Fourier de ses entrées, aux valeurs propres généralisées d’une paire de matrices Hermitiennes
dans [45], ni à notre connaissance dans la littérature. Ce théorème nous permet de caractériser la distribution
des valeurs propres de matrices de Toeplitz à partir de laquelle de nombreuses propriétés peuvent
être déduites (cf. par exemple [47]).
Ici, nous proposons une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées des matrices
bloc Toeplitz, la taille des blocs restant fixe. La preuve est faite sous l’hypothèse d’éléments absolument
sommables. Cette hypothèse nous permet d’utiliser l’approche proposée par Gray dans [48] et reposant
sur l’équivalence asymptotique de séquences de matrices. Auparavant, afin d’avoir une caractérisation
des valeurs propres généralisées de paires quelconques de matrices Hermitiennes complète, on introduit
une extension du théorème d’entrelacement de Cauchy qui fournit des inégalités sur les valeurs propres
généralisées d’une paire de matrices Hermitiennes et de leurs sous-matrices principales.
Ensuite, en seconde partie de ce chapitre, l’extension du théorème de Szegö est appliquée à l’étude de
performance du filtrage spatio-temporel (ou avec des lignes à retard) large bande (cf. par exemple, [6, chap.
6.13]) maximisant le SINR. On calcule ainsi l’expression du SINR spatio-temporel optimal asymptotique
par rapport au nombre de retards pour montrer qu’il peut améliorer le SINR spatial optimal à bande
étroite associé. Ce résultat est illustré par des simulations numériques, tout comme la convergence du
SINR à nombre fini de retards vers le SINR asymptotique. On peut noter que de nombreux auteurs ont
étudié la performance des algorithmes de formation de faisceaux large bande, implémentés dans le domaine
temporel (cf. par exemple, [49,50]), ou dans le domaine fréquentiel (cf. par exemple, [35,39]). Cependant,
à notre connaissance, ils ont considéré différents critères d’optimisation du filtre spatio-temporel, comme
les critères Minimum Mean Square Error (MMSE) (cf. par exemple, [3,49]), ou Minimum Variance with
Distortionless Response (MVDR) (cf. par exemple, [51]). De plus, la plupart des études ont été réalisées
au travers de simulations numériques (cf. par exemple, [49–52]) et peu de résultats analytiques existent.
De plus, ils ont été obtenus pour des cas particuliers d’antennes avec un nombre limité de capteurs (cf.
par exemple, [3,53,54]). Contrairement aux approches précédentes, notre approche est asymptotique au
sens du nombre de retards, ce qui nous permet de considérer des antennes quelconques avec un nombre
fixé mais arbitraire d’éléments.
Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Tout d’abord, le principe du problème des valeurs propres
généralisées est rappelé et un théorème d’entrelacement des valeurs propres généralisées est proposé. Puis,
après un rappel des résultats existants sur l’équivalence asymptotique de séquences de matrices, une
preuve du théorème de Szegö étendu au comportement asymptotique des valeurs propres généralisées de
matrices bloc Toeplitz est donnée. Enfin, ce théorème est appliqué à l’étude de performance asymptotique
du filtrage spatio-temporel large bande optimal au sens de la maximisation du SINR.
4.2 Problème des valeurs propres généralisées
Dans cette section, on commence par faire un rappel sur le problème des valeurs propres généralisées.
Ensuite, on étend le théorème d’entrelacement, bien connu dans le cas des valeurs propres de sous-matrices
Hermitiennes (cf. par exemple [55, theorem 4.3.15]), au cas des valeurs propres généralisées de matrices
Hermitiennes. Enfin, on fait quelques commentaires sur deux cas particuliers apparaissant fréquemment
dans des applications de traitement de signal.