TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz 69
où (A u,v
n ) u=1..n,v=1..n représentent les matrices Toeplitz de dimension m × m données par :
A u,v
m =
⎡
⎢
⎣
a u,v
0 a u,v
−1 ... a u,v
. .. . .. a
u,v
a u,v
1
.
a u,v
m−1
−(m−1)
−(m−2)
. .. .
a u,v
m−2 ... a u,v
0
⎤
⎥
⎦
(4.3)
où {a u,v
k } k=...,−1,0,1,... est une séquence de scalaires complexes absolument sommable, ce qui garantit
l’existence de la transformée de Fourier 2π périodique associée a u,v (ω) = ∑ k au,v k e−ikω . Ces notations
étendent les matrices à blocs de Toeplitz B m,n . Notons que A m,n est Hermitienne si et seulement si
A u,v
m = (A v,u
m ) H , u,v = 1,...,n équivalent à a u,v (ω) = (a v,u (ω)) ∗ , u,v = 1,...,n.
Résultats existants
Pour étudier le comportement asymptotique de séquences de matrices, deux normes ont été introduites
dans [48]. Ce sont la norme spectrale ‖.‖ (ou norme forte) et la norme de Frobenius normalisée |.| (norme
faible).
|A m | 2 def
= 1 m
m∑
i=1 j=1
m∑
|a i,j | 2 .
Les deux normes sont utilisées pour la définition de l’équivalence asymptotique donnée dans [48] :
Définition : deux séquences de matrices {A m } et {B m }, n = 1,2,... sont dites asymptotiquement
équivalentes et notées A m ∼ B m lorsque
1. ∃M < ∞ tel que ∀m, ‖A m ‖ ≤ M et ‖B m ‖ ≤ M
2. lim m→∞ |A m − B m | = 0.
On rappelle maintenant un lemme sur les matrices bloc Toeplitz [58], qui sera utile dans la suite :
Lemme 1 Pour toutes séquences absolument sommables {a u,v
k } k=...,−1,0,1,..., il existe une séquence de
matrices {C m (a)} asymptotiquement équivalente à {A m,n } et donnée par :
C m (a) = U H m,n ∆ m(a)U m,n
où U m,n = I n ⊗ U m est une matrice unitaire de dimension mn × mn indépendante de A m,n avec U m la
matrice de transformée de Fourier discrète unitaire et où ∆ m (a) est la matrice suivante :
∆ m (a) def =
⎡
⎢
⎣
D m (a 1,1 ) D m (a 1,2 ) · · · D m (a 1,n )
D m (a 2,1 ) D m (a 2,2 ) ... D m (a 2,n )
. . .
D m (a n,1 ) D m (a n,2 ) · · · D m (a n,n )
( )
avec D m (a u,v ) les matrices diagonales ayant leur k eme élément donné par (D m (a u,v )) k,k = a u,v 2π(k−1)
m
.
⎤
⎥
⎦
Notons que contrairement au lemme du cas original de Toeplitz (cf. par exemple [47]), la matrice C m (a)
n’est pas circulante et la matrice ∆ m (a) n’est pas diagonale.