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88 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz Lemme 5 Sous les hypothèses de Lemme 4, si A n P est une matrice Hermitienne MTBT générée par une séquence absolument sommable {a i1 ,i 2 ,...,i P }, les matrices MCBC associées C n P (a) et C n P (b) données par (5.2) vérifient (B n P ) −1 A n P ∼ (C n P (b)) −1 C n P (a). Preuve : La preuve est la même que pour Lemme 4 au chapitre 4. On introduit maintenant l’intervalle I ω = [ min b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ); max b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )] ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ω 1 ,ω 2 ,...,ω P et on énonce un théorème sur la distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Hermitiennes MTBT. Théorème 3 Soit A n P et B n P deux matrices Hermitiennes MTBT, avec B n P définie positive, générées par des séquences absolument sommables {a i1 ,i 2 ,...,i P } et {b i1 ,i 2 ,...,i P }, respectivement, et avec min ω1 ,ω 2 ,...,ω P b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = m b > 0. Alors, pour toute fonction continue F sur I ω lim n 1 ,...,n P →∞ n 1 ...n 1 ∑ P −1 F(λ k (A n P ,B n P ))= 1 ∫ π n 1 ...n P (2π) P ... k=0 −π ∫ π −π F(b −1 (ω 1 ,...,ω P )a(ω 1 ,...,ω P ))dω 1 ...dωP. Preuve : En utilisant Lemme 5, (B n P ) −1 A n P est asymptotiquement équivalent multi-niveaux à (C n P (b)) −1 C n P (a) et comme les matrices C n P (b) et C n P (a) sont respectivement semblables aux matrices diagonales ∆ nP (b) et ∆ nP (a) avec la même matrice unitaire U nP (5.3), on obtient après utilisation de Lemme 1, pour tout entier s, avec lim n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ = lim n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ = ∫ 1 π (2π) P lim n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ −π ∫ π −π n 1 n 2 1 ∑...n P −1 [λ s k n 1 n 2 ...n (An P ,B n P ) − λ s k (∆−1 n P (b)∆ nP (a))] = 0 P n 1 n 2 1 ∑...n P −1 n 1 n 2 ...n P k=0 n 1 ∑ 1 −1 n 1 n 2 ...n P ... ∫ π −π n∑ 2 −1 k 1 =0 k 2 =0 k=0 λ s k (∆−1 n P (b)∆ nP (a))] n∑ P −1 ... k P =0 b −s (2π k 1 n 1 ,2π k 2 n 2 ,...,2π k P n P )a s (2π k 1 n 1 ,2π k 2 n 2 ,...,2π k P n P ) b −s (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a s (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )dω 1 dω 2 ...dωP, où la continuité des transformées de Fourier b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) et a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) permettent de garantir l’existence de l’intégrale. Finalement, ce résultat s’étend à l’ensemble des polynômes et après invocation du théorème d’approximation de Stone-Weierstrass, Théorème 3 est prouvé. Comme cela a été montré dans [47,48], et tenant compte du fait que pour tous vecteurs n P , les valeurs propres de (B n P ) −1 A n P appartiennent à I ω , Théorème 3 conduit au corollaire suivant : Corollaire 1 Pour tout entier positif l, les l plus petites et plus grandes valeurs propres généralisées de (A n P ,B n P ) convergent en n 1 ,n 2 ,...,n P et lim λ n n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ 1 n 2 ...n P −l+1(A n P ,B n P ) = min b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) ω 1 ,ω 2 ,...,ω P
5.4 Conclusion 89 et lim λ l(A n P ,B n P ) = max b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ ω 1 ,ω 2 ,...,ω P où les valeurs propres généralisées sont rangées par ordre décroissant. 5.4 Conclusion Dans cette annexe, nous avons donné une extension du théorème de Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices Hermitiennes MTBT. Nous avons donné une preuve simple de ce théorème, sous l’hypothèse d’éléments absolument sommables, basée sur la notion d’équivalence asymptotique multiniveaux entre des séquences de matrices bloc multi-niveaux.
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Remerciements Je souhaiterais tout
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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