TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

68 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
4.2.3 Cas Toeplitz et bloc Toeplitz
Appliquées aux statistiques, les matrices A et B peuvent être interprétées comme les matrices de covariance
de processus stochastiques et par conséquent Hermitiennes semi-définies positives. Très fréquemment,
les processus stochastiques sont la somme de deux processus centrés : le processus d’intérêt et le processus
de bruit, de matrices de covariance respectives A et B. Dans ce cas, le quotient de Rayleigh (4.1) peut
être interprété comme un SINR après application d’un filtre linéaire sur les processus stochastiques. Dans
ce cas, B est presque toujours définie positive et une question d’intérêt est la maximisation du quotient
(4.1) pour différents ordres du filtre linéaire.
Deux cas particuliers importants peuvent être développés, selon les propriétés du processus et de
l’échantillonnage. Tout d’abord, dans le cas d’un échantillonnage périodique temporel de processus aléatoires
stationnaires au second ordre, les matrices de covariance sont Toeplitz. Puis, dans le cas d’un échantillonnage
spatio-temporel, les matrices sont bloc Toeplitz si l’ordre d’échantillonnage est spatial puis temporel ou à
blocs de Toeplitz autrement (i.e., temporel puis spatial). Dans la suite, nous nous restreignons à l’analyse
de valeurs propres généralisées de cette dernière catégorie de matrices.
4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices
bloc Toeplitz
L’objectif de cette section est d’étendre le théorème de Szegö [46] au cas des valeurs propres généralisées
des matrices bloc Toeplitz sous l’hypothèse que les éléments générant les matrices sont absolument sommables.
Dans ce but, on commence par expliquer les notations puis on effectue un rappel des résultats
existants utiles dans la preuve du théorème (Théorème 2). Ensuite, on introduit trois lemmes (lemmes
2-4) sur lesquels on base notre preuve du théorème. Plus précisément, Théorème 2 utilise directement les
résultats de Lemme 4, prouvé grâce à Lemme 2 et 3.
4.3.1 Notations et résultats existants
Notations
Notons A ′ m,n et B ′ m,n deux matrices Hermitiennes bloc Toeplitz avec B ′ m,n définie positive. Les deux
matrices sont composées de m×m blocs de dimension n×n, où les blocs sont non nécessairement Toeplitz.
Elles sont associées avec les matrices à blocs de Toeplitz A m,n et B m,n par les relations
A ′ m,n = K m,n A m,n K n,m
B ′ m,n = K m,nB m,n K n,m
(4.2)
où K m,n représente la matrice de permutation lignes-colonnes [57] et par conséquent :
de sorte que les matrices B ′ −1
m,n A′ m,n
B ′ −1
m,nA ′ m,n=K −1
n,mB −1
m,nK −1
m,nK m,n A m,n K n,m =K −1
n,mB −1
m,nA m,n K n,m
et B−1 m,n A m,n sont semblables. Les paires (A ′ m,n ,B′ m,n ) et (A m,n,B m,n )
ont donc les mêmes valeurs propres généralisées. Cependant, la formulation à blocs de Toeplitz A m,n et
B m,n est préférée car elle permet de manipuler des blocs de Toeplitz pour lesquels Lemme 1 s’applique.
Ainsi, les matrices à blocs de Toeplitz A m,n sont égales à :
⎡
A m,n = ⎢
⎣
m ... A 1,n ⎤
m
m ... A 2,n
m
⎥
. . . ⎦
A n,1
m A n,2
m ... A n,n
m
Am 1,1 A 1,2
Am 2,1 A 2,2