TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

70 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR
4.3.2 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc
Toeplitz
Après le rappel de résultats utiles, on prouve maintenant un théorème qui étend le théorème de
Szegö aux valeurs propres généralisées de matrices bloc Toeplitz (Théorème 2). Tout d’abord, on détaille
trois lemmes (Lemmes 2-4) utilisés dans la preuve du théorème. Pour prouver en Annexe C, l’extension
du lemme [47, lemma 6], on introduit la matrice spectrale suivante :
⎡
a 1,1 (ω) a 1,2 (ω) · · · a 1,n ⎤
(ω)
a 2,1 (ω) a 2,2 (ω) ... a 2,n (ω)
A(ω) = ⎢
⎥
⎣ . . . ⎦
a n,1 (ω) a n,2 (ω) · · · a n,n (ω)
où a u,v (ω) est la transformée de Fourier des séquences absolument sommables { a u,v }
k
pour
k=...,−1,0,1,...
u,v = 1,...,n. B(ω) est définie de la même manière à partir de b u,v (ω). Notons que A(ω) est Hermitienne
pour tout ω si A m,n est Hermitienne. On suppose maintenant que A m,n et B m,n sont Hermitiennes. On
prouve le lemme suivant en Annexe C.
Lemme 2 Soit A m,n une matrice Hermitienne avec des blocs Toeplitz générés par des séquences absolument
sommables { a u,v }
k k=...,−1,0,1,... . Pour toutes valeurs propres quelconques λ(A m,n) de A m,n , on
a :
min
ω,λ λ(A(ω)) ≤ λ(A m,n) ≤ max
ω,λ λ(A(ω)) .
Considérant maintenant une matrice Hermitienne définie positive bloc Toeplitz, on prouve le lemme
suivant en Annexe C :
Lemme 3 Soit B m,n une matrice Hermitienne définie positive avec des blocs Toeplitz et des séquences
absolument sommables { b u,v }
k k=...,−1,0,1,... et la matrice asymptotiquement équivalente C m(b) donnée par
Lemme 1. Si, min ω,λ λ {B(ω)} = m b > 0, alors
Ensuite, on montre également en Annexe C :
B −1
m,n ∼ C −1
m (b).
Lemme 4 Avec les hypothèses de Lemme 3, si A m,n est une matrice Hermitienne avec des blocs Toeplitz
générés par des séquences absolument sommables {a u,v
k } k=...,−1,0,1,..., les matrices associées C m (a) et
C m (b) données par Lemme 1 vérifient :
B −1
m,nA m,n ∼ C −1
m (b)C m (a).
On introduit maintenant l’intervalle I ω = [min ω,λ λ(B −1 (ω)A(ω)),max ω,λ λ(B −1 (ω)A(ω))] et on prouve
en Annexe C l’extension suivante du théorème de Szegö [46] sur les valeurs propres généralisées de matrices
bloc Toeplitz. L’analyse utilise la propriété selon laquelle les valeurs propres généralisées de deux matrices
A et B sont les valeurs propres de B −1 A.
Théorème 2 Soit A m,n et B m,n deux matrices Hermitiennes avec des blocs Toeplitz, et B m,n définie positive,
respectivement générées par des séquences absolument sommables { a u,v
k
}k=...,−1,0,1,... et { b u,v }
k
avec min ω,λ λ {B(ω)} = m b > 0. Alors, pour toute fonction continue F sur I ω
lim m→∞
1
m
nm∑
k=1
F(λ k (A m,n ,B m,n )) = 1 ∫ π
2π −π
n∑
F(λ u (A(ω),B(ω))dω.
u=1
k=...,−1,0,1,... ,