TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

4.2 Problème des valeurs propres généralisées 67
4.2.1 Points stationnaires d’un quotient de Rayleigh
Etant donné deux matrices Hermitiennes A et B de dimension m × m, et un vecteur w de dimension
(m × 1), avec B définie positive, le quotient de Rayleigh est défini comme le rapport :
r(w) = wH Aw
w H Bw . (4.1)
Ce rapport est très lié au problème des valeurs propres généralisées. Ses points stationnaires (i.e. les
vecteurs w annulant le gradient complexe) peuvent être interprétés comme les vecteurs propres généralisés
des matrices A et B. En effet, en annulant le gradient complexe de (4.1) par rapport à w, on obtient :
Aw = r(w)Bw.
C’est l’expression d’un problème de valeurs propres généralisées. 2 Par conséquent, les points stationnaires
w et valeurs stationnaires r(w) du quotient de Rayleigh sont respectivement les vecteurs et valeurs propres
généralisées λ(A,B) du problème de valeurs propres généralisées correspondant 3 . De plus, comme B est
définie positive, l’expression précédente est équivalente à
B −1 Aw = r(w)w
et les vecteurs et valeurs propres généralisées de A et B correspondent respectivement aux vecteurs et
valeurs propres de B −1 A, i.e., λ(A,B) = λ(B −1 A).
4.2.2 Théorème d’entrelacement généralisé
Le théorème d’entrelacement (ou théorème d’entrelacement de Cauchy) fournit des inégalités sur les
valeurs propres d’une matrice Hermitienne et celles de leurs sous-matrices principales. Pour toutes sousmatrices
principales A m−1 de dimension (m − 1) × (m − 1) d’une matrice Hermitienne A m , la propriété
d’entrelacement s’écrit sous la forme :
λ i+1 (A m ) ≤ λ i (A m−1 ) ≤ λ i (A m )
pour i = 1,...,m − 1, où les valeurs propres sont rangées par ordre décroissant. Ce résultat se déduit du
théorème Min-Max de Courant-Fischer [55, theorem 4.3.8]. Maintenant, plaçons nous dans le contexte du
problème de valeurs propres généralisées pour lequel nous souhaitons relier les valeurs propres généralisées
d’une paire de matrices Hermitiennes A et B aux valeurs propres généralisées de leurs sous-matrices
principales associées. En utilisant le théorème Min-Max, on montre en Annexe B le résultat suivant
semblable au théorème d’entrelacement :
Théorème 1 (théorème d’entrelacement généralisé) : soit A m et B m deux matrices Hermitiennes de
dimension m × m, où B m est définie positive, de valeurs propres généralisées λ i (A m ,B m ). Alors, pour
toutes sous-matrices principales A m−1 et B m−1 , associées aux mêmes lignes et colonnes, de respectivement
A m et B m , et pour tout i, 1 ≤ i ≤ m − 1 :
λ i+1 (A m ,B m ) ≤ λ i (A m−1 ,B m−1 ) ≤ λ i (A m ,B m ).
2 Notons que différentes extensions du problème des valeurs propres généralisées ont été proposées dans la littérature (cf.
par exemple [56]).
3 Notons que pour des matrices Hermitiennes A et B avec B définie positive, les valeurs propres généralisées sont réelles
et les vecteurs propres généralisés associés à différentes valeurs propres généralisées sont orthogonaux au sens du produit
scalaire (x,y) = x H By.