TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

Annexe A
Approximations du SINR
Approximation (3.16)
Considérant la décomposition en éléments propres de ¯R :
N∑
¯R = µ n u n u H n ,
n=1
montrons tout d’abord que nous avons :
∣ φ
H
S u k
∣ ∣ ≪
√
N for k = 1,2.
(A.1)
Utilisant la représentation spectrale x t = ∫ B
2
e i2πft dµ(f) de l’enveloppe complexe des signaux stationnaires
au sens large, à bande limité et gaussiens de brouillage, approximée par x t ≈ ∑ L−1
− B 2
l=0 a le i2πf lt
avec f l = (−L + 2l + 1) B 2L , L ≫ 1 et (a l) l=0,...,L−1 des variables aléatoires gaussiennes décorrélées avec
E{|a l | 2 } = σ2 J
L
, ¯R peut être approximée par la matrice de covariance spatiale associée à une somme discrète
de signaux à bande limitée, très proches en fréquence avec du bruit additif, pour des faibles valeurs de
bande fractionnée :
¯R ≈
L−1
∑
l=0
σ 2 J
L φ J(f 0 + f l )φ H J (f 0 + f l ) + σ 2 nI.
Par conséquent, les résultats de [38] s’appliquent. En particulier,
u 1 = φ J
√ + O( B ),
N f 0
et donc ∣ ∣ φ
H
S u 1
∣ ∣ ≈
|φ H S φ J|
√
N
, ce qui prouve (A.1) quand k = 1.
Lorsque k = 2, la démonstration est plus délicate. A nouveau, en utilisant [38], u 2 est de la forme :
u 2 =
(
I −
φ J φ H J
N
∥ ∥ ( I − φ J φH J
N
) ⌋
dφJ (f)
df
) dφJ (f)
df
Avec notre modèle de données, il est facile de montrer que :
u 2 = e 2 ◦ φ J
||e 2 ||
f=f 0
⌋f=f 0
∥ ∥∥
+ o( B f 0
). (A.2)
+ o( B f 0
),