TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

Chapitre 4
Etude de performance asymptotique du
filtrage spatio-temporel adaptatif large
bande MSINR
Sommaire
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Problème des valeurs propres généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices bloc
Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1 Introduction
Dans de nombreuses applications en détection, comme le radar et le sonar, le principal critère de
performance est le rapport signal sur bruit (SINR). Si un filtre linéaire est appliqué sur les données, le SINR
correspond à un quotient de Rayleigh associé aux matrices de covariance des composantes de signal et
d’interférences plus bruit. Dans de nombreuses applications, ces matrices possèdent une certaine structure.
Par exemple, si les données d’observation sont modélisées par des processus aléatoires stationnaires au
second ordre, elles possèdent une structure de Toeplitz dans le cas d’un filtrage temporel et bloc Toeplitz
dans le cas d’un filtrage spatio-temporel. Dans le cas plus général d’un processus aléatoire stationnaire
au second ordre, de dimension quelconque, les matrices de covariance ont une structure multi-niveaux
Toeplitz bloc Toeplitz.
Dans ce chapitre, on étudie le problème de l’influence de l’ordre du filtre sur le SINR optimal. Plus
spécifiquement, on considère le cas de matrices bloc Toeplitz 1 . Comme le SINR optimal correspond à la
valeur maximale d’un quotient de Rayleigh, il peut être interprété comme la plus grande valeur propre
généralisée des deux matrices. Par conséquent, le problème de l’influence de l’ordre du filtre sur le SINR est
très lié au problème de valeurs propres généralisées. En analyse numérique, un problème similaire traite de
l’analyse du comportement des valeurs propres d’une matrice préconditionnée. Le préconditionnement est
par exemple utilisé avec la méthode du gradient conjugué et a pour but de concentrer les valeurs propres
d’une matrice pour accélérer la convergence de l’algorithme (cf. par exemple [44]). Pour ce problème,
des résultats sur le comportement asymptotique des valeurs propres de matrices bloc Toeplitz ont été
1 Le cas général des matrices multi-niveaux Toeplitz bloc Toeplitz est étudié dans le chapitre suivant, car il n’est pas
directement applicable à l’étude de performance du filtrage spatio-temporel considérée dans ce chapitre.