TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

154 Preuve de Théorème 2
Par conséquent, λ(C m (b)) ≥ m b > 0, C m (b) est non singulière et vérifie également ∥ C
−1
m (b)∥ ∥ ≤
1
m b
et la
condition de l’équivalence asymptotique est vérifiée.
Finalement, utilisant, ∣ B
−1
m,n − C −1
m (b) ∣ ∣ = ∣C −1
m (b)C m (b)B −1
m,n − C −1
m (b)B m,n B −1 ∣
m,n avec [47, Lemma
3], on obtient :
∣ B
−1
m,n − C−1 m (b)∣ ∣ ≤
∥ ∥C −1
m (b)∥ ∥ ∥ ∥ B
−1
m,n
∥ |Cm (b) − B m,n |
prouvant que lim m→∞
∣ ∣B −1
m,n − C −1
m (b) ∣ ∣ = 0 ce qui vérifie la condition 2 de l’équivalence asymptotique.
Lemme 4
et
Comme pour la norme spectrale
∥ B
−1
m,nA m,n
∥ ∥ ≤
∥ ∥B −1
m,n
∥ ‖Am,n ‖
∥ C
−1
n (b)C n (a) ∥ ∥ ≤
∥ ∥C −1
n (b) ∥ ∥ ‖Cn (a)‖ ,
la condition 1 de l’équivalence asymptotique est vérifiée à partir des lemmes 1 et 3. Alors, à partir
de [47, Lemma 3], on a
∥ B
−1
m,nA m,n − C −1
m (b)C m (a) ∥ ∥ = ∥B −1
m,nA m,n − B −1
m,nC m (a) + B −1
m,nC m (a) − C −1
m (b)C m (a) ∥ ≤
∥ B
−1 ∥ |Am,n − C m (a)| + ‖C m (a)‖ ∣ B
−1
m,n − C −1
m (b) ∣ m,n
et en utilisant les lemmes 2 et 3, la condition 2 de l’équivalence asymptotique est satisfaite.
Théorème 2
Utilisant B −1
m,n A m,n ∼ C −1
m (b)C m(a) donné par le lemme 4 et la propriété sur leurs valeurs propres
associées donnée par [47, Corollary 1, p.174], nous avons
∀s ∈ N ∗
lim
m→∞
1
m
nm∑
k=1
[
λ
s
k (B −1
m,n A m,n) − λ s k (C−1 m (b)C m(a)) ] = 0.
(C.1)
Utilisant le fait que les matrices C m (a) et C m (b) sont semblables à ∆ m (a) et ∆ m (b) avec la même matrice
unitaire U m,n donnée par le lemme 1, nous avons
nm∑
k=1
λ s k (C−1 m (b)C m (a)) =
nm∑
k=1
λ s k (∆−1 m (b)∆ m (a)).
(C.2)
Ecrivant les matrices ∆ m (a) et ∆ m (b) définies dans le lemme 1 sous la forme :
∆ m (a) = ∑ ( )
m
k=1 A 2π(k−1)
m
⊗ E k
∆ m (b) = ∑ ( )
m
k=1 B 2π(k−1)
m
⊗ E k
avec E k la matrice creuse de dimension m × m dont les éléments sont nuls sauf (E k ) k,k = 1, on obtient
directement :
m ∆ −1
m (b) = ∑
( ) 2π(k − 1)
B −1 ⊗ E k
m
k=1