TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 73
avec S j (ω) def = 1 T S j( ω
2πT ), S S (ω) def = 1 T S S( ω
2πT ), φ j (ω) def = φ ( θ j , ω+ω )
0
2πT et φS (ω) def = φ ( θ S , ω+ω )
0
2πT . Par
conséquent, R m , m = ..., −1,0,1,..., (R −m = R H m ) sont générés par les coefficients de Fourier des fonctions
matricielles Hermitiennes de dimension N × N :
R(ω) =
{∑ J
j=1 S j(ω) φ j (ω)φ j (ω) H +σ 2 nI for |ω| ≤ πBT
0 for πBT < |ω| ≤ π
et
R S (ω) =
{
SS (ω) φ S (ω)φ S (ω) H for |ω| ≤ πBT
0 for πBT < |ω| ≤ π .
4.4.3 Etude de performance asymptotique
Interférences quelconques
La formation de faisceaux spatio-temporelle consiste à filtrer linéairement les données par un vecteur
où les filtres spatiaux aux différents retards sont concaténés. On note le filtre w M , lorsque M retards
sont utilisés. Dans ce chapitre, on considère le critère d’optimisation du SINR maximal. Le filtrage spatiotemporel
optimal (au sens de la maximisation du SINR) maximise le quotient de Rayleigh généralisé :
SINR(M) def w H
= max
¯R M S,M w M
w M wM H ¯R (4.5)
M w M
où ¯R S,M et ¯R M sont les matrices de covariance spatio-temporelles des signaux utiles et d’interférences
plus bruit, respectivement, données par (4.4). Comme cela a été remarqué précédemment, ¯RS,M et ¯R M
sont respectivement, Hermitienne semi-définie positive et Hermitienne définie positive. Par conséquent, la
solution de ce problème d’optimisation est donnée par le vecteur propre généralisé principal de ces deux
matrices, soit :
−1
w M ∝ P( ¯R ¯R M S,M )
où P(.) représente le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre généralisée d’une matrice.
Ensuite, le SINR spatio-temporel optimal est donné par la plus grande valeur propre généralisée de ¯R S,M
et ¯R M qui correspond également à :
SINR(M) = max
λ
−1
λ( ¯R ¯R M S,M ) = max λ( ¯R S,M , ¯R M ).
λ
Notant que le filtrage spatio-temporel avec M retards est un cas particulier du traitement avec M + 1
retards, où le filtre spatial correspondant au (M + 1) eme retard est forcé à zéro, on obtient l’inégalité
suivante relative à (4.5) :
SINR(M + 1) ≥ SINR(M).
Cette propriété peut également se déduire de Théorème 1 appliqué aux sous-matrices principales ¯R S,M
et ¯R M de ¯R S,M+1 et ¯R M+1 respectivement.
On considère dans la suite la limite du SINR par rapport à M pour des DOAs de sources d’interférence
et de source utile arbitraires. Dans le cas où T = 1 B
, les hypothèses de Théorème 2 et Corollaire 1 s’appliquent
à la séquence de matrices de covariance spatio-temporelles (R S,M ,R M ) par rapport au nombre
de retards :
lim SINR(M) =
M→∞
max
λ,ω∈[−π;π] {λ(R−1 (ω)R S (ω))}
= max
λ,f∈[− B 2 ; B 2 ] {λ(R −1 (f)R S (f))}