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42 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande de la largeur de bande conduit au dépassement du seuil de bruit par la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit. Par conséquent, la dégradation des performances de l’algorithme formation de faisceaux standard est liée à la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit. Cependant, il n’a pas donné de relation explicite entre la seconde valeur propre et les pertes en performance de la formation de faisceaux ni clairement montré l’influence de la largeur de bande, pour différents paramètres de scénarios. De plus, il a considéré un signal utile de largeur de bande nulle, alors qu’en pratique, sa largeur de bande sera non nulle tout comme celle du signal d’interférence, impliquant des pertes additionnelles sur le SINR. Ces questions ont été abordées dans [34] où les auteurs ont proposé de définir le rapport entre le SINR après formation de faisceaux bande étroite sous des conditions de largeur de bande non nulle sur celui du même traitement sous des conditions de largeur de bande nulle, comme critère de définition d’une formation de faisceaux bande étroite. Cependant, ils ont considéré un environnement sans interférence, ce qui ne peut donc pas s’appliquer dans la plupart des applications, comme par exemple le radar. De plus, ils n’ont pas explicité la dépendance du critère choisi en la largeur de bande. Dans ce chapitre, nous proposons d’utiliser le même critère que dans [34] pour étudier la robustesse de la formation de faisceaux bande étroite, en présence d’un signal utile de largeur de bande non nulle et d’une source d’interférence dont les DOAs sont supposées quelconques. Contrairement aux modèles de [33] et [34], on considère un modèle général de signal utile de matrice de covariance de rang plein. Dans un premier temps, nous cherchons à rattacher l’étude de robustesse de la formation de faisceaux bande étroite au travail de Zatman dans [33]. Plus précisément, nous relions le critère du rapport de SINRs considéré à celui proposé par Zatman pour définir un environnement bande étroite, c’est à dire le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de bruit. Ainsi, nous montrons que ce dernier critère peut être interprété comme une borne supérieure sur la perte en SINR dûe à la largeur de bande, par rapport à la DOA de la source utile. Dans un second temps, nous souhaitons obtenir une expression explicite de la perte en SINR et donner des conditions suffisantes sur les paramètres pour que la valeur de perte maximale en SINR atteigne presque la borne donnée par le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de bruit. Dans ce but, nous commençons par distinguer deux cas selon la position de la source d’interférence par rapport à la source utile. En utilisant les résultats sur les valeurs et vecteurs propres des matrices de covariance de signaux très rapprochés en fréquence, nous approximons le SINR dans chacun des deux cas. Ensuite, sous l’hypothèse d’une faible largeur de bande et d’un nombre élevé de capteurs, nous effectuons une analyse asymptotique résultant en d’explicites expressions de la perte en SINR pour une source d’interférence dans le lobe principal ou les lobes secondaires. Sous ces hypothèses, nous montrons que le critère de Zatman donne une estimée précise de la perte maximale en SINR par rapport à la DOA de la source utile. Enfin, nous déduisons des expressions de perte en SINR obtenues deux définitions pratiques de la notion de signal bande étroite, au sens de la perte en SINR du filtrage formation de faisceaux bande étroite standard. Dans un troisième temps, nous étendons les résultats de la partie précédente, à l’étude de performance du filtrage par sous-bandes indépendantes afin d’y expliciter l’influence du nombre de sous-bandes sur le SINR. 3.2 Modèle des données On considère une antenne linéaire uniforme (ALU) composée de N capteurs qui sont espacés d’une demi-longueur d’onde par rapport à la fréquence porteuse. Puis, on considère un environnement composé d’une source d’interférence, de bruit thermique, et d’une source utile. Le signal d’interférence est modélisé par un processus stationnaire au second ordre, blanc de largeur de bande non nulle et de puissance σ 2 J . Le bruit thermique est modélisé par un processus blanc spatialement et temporellement, de puissance σ 2 n . En utilisant le modèle de signaux large bande donné par (2.3), la matrice de covariance interférences plus
3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande 43 bruit est égale à : avec ¯R = ∫ B 2 − B 2 σ 2 J B φ J(f 0 + f)φ J (f 0 + f) H df + σ 2 nI (3.1) [ ] φ J (f) = 1 e jπ f u f J j(N−1)π 0 · · · e f T u f J 0 où u J = sin(θ S ) et θ J est la DOA de la source d’interférence. Enfin, le signal utile est également modélisé par un processus stationnaire blanc de largeur de bande non nulle et de puissance σS 2 . Sa DOA est notée θ S . En utilisant également le modèle de signaux large bande donné par (2.3), sa matrice de covariance est donnée par : ∫ B 2 σS ¯R 2 S = B φ S(f 0 + f)φ S (f 0 + f) H df (3.2) avec où u S = sin(θ S ). − B 2 [ ] φ S (f) = 1 e jπ f u f S j(N−1)π 0 · · · e f T u f S 0 3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande Pour étudier la robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande, on s’intéresse au critère de SINR. En pratique, il est important de savoir si un signal est à bande étroite ou large bande (au sens de la formation de faisceaux), dans l’optique de choisir le traitement d’antenne approprié. En effet, si le signal est bande étroite, un filtrage spatial seul est suffisant (cf. par exemple [2]). Dans le cas contraire, sous des hypothèses large bande, un filtrage spatio-temporel ou par sous-bandes permet d’améliorer les performances par rapport à un filtrage spatial seul (cf. par exemple [6, chap.6] et [3,35–37]). 3.3.1 Influence de la largeur de bande sur le filtrage spatial Sous l’hypothèse de largeur de bande nulle, le filtre spatial optimal au sens de la maximisation du SINR (cf. expression (2.10)) a pour expression : où w ZB ∝ R −1 φ S (3.3) R = σ 2 J φ Jφ H J + σ2 n I (3.4) est la matrice de covariance interférences plus bruit et φ J = φ J (f 0 ) et φ S = φ S (f 0 ) sont respectivement les vecteurs directionnels à bande nulle du signal d’interférence et du signal utile. Le SINR optimal est alors égal à SINR ZB = σ 2 S φH S R−1 φ S . (3.5) Sous des conditions de largeur de bande non nulle, l’expression du SINR est donnée par SINR = wH ¯RS w w H ¯Rw (3.6) où ¯R et ¯R S sont respectivement données par (3.1) et (3.2). Notons w le filtre formation de faisceaux bande étroite (i.e. d’une forme similaire à (3.3)) calculé sous des conditions de largeur de bande non nulle. Son expression est : w = ¯R −1 φ S . (3.7)
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Annexe G Calcul de la puissance ré
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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