TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

148 Approximations du SINR
où ◦ représente le multiplication élément par élément des vecteurs et avec e 2 = [−(N − 1),..., −N + 2n −
1,...,+(N − 1)] T . Par conséquent, on obtient :
||e 2 ||(φ H S u 2 ) = −
N∑
(N − 2n + 1)e j(n−1)x
n=1
N−1
j(
= −(N + 1)e 2 )xsin(N 2 x)
sin( x 2 ) + 2(N − 1)ejNx − Ne j(N−1)x + 1
(1 − e jx ) 2 (A.3)
avec x = π(u S − u J ). En prenant la valeur absolue de (A.3), et après utilisation de ||e 2 || 2 = (N−1)N(N+2)
3
,
on obtient rapidement |φ H S u 2| ≪ √ N pour N ≫ 1, prouvant ainsi (A.1) pour k = 2. Finalement, sous
l’hypothèse d’une relativement faible bande fractionnée, seules les deux premières valeurs propres de ¯R
sont supérieures au seuil de bruit. On déduit µ k ≈ σn 2 pour k = 3,...,N, ce qui conduit à l’approximation :
¯R −1 ≈ I
σn
2 +
≈
I
σ 2 n
2∑
( 1
− 1
µ k
k=1
− 1
σ 2 n
σ 2 n
2∑
u k u H k .
k=1
)
u k u H k
Après insertion de (A.1) dans (A.4), on obtient l’approximation (3.16).
Approximation (3.17)
Pour approximer (3.8) par (3.17), on analyse l’expression φ H S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S (i.e., le numérateur de
(3.8)) que l’on compare à σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 . Comme cela a été expliqué dans le paragraphe précédent, les
résultats de [38] s’appliquent également à la matrice de covariance à bande non nulle de la cible ¯R S de
décomposition en éléments propres ¯R S = ∑ N
n=1 λ nv n v H n et en particulier
v 1 = φ S
√ + O( B )
N f 0
(A.4)
et
λ 1 = tr( ¯R S ) + O( B f 0
).
Notons que ce résultat est obtenu à N fixé pour B f 0
tendant vers 0, pour lequel il est prouvé dans [38] que
λ k = O(( B f 0
) 2(k−1) ) pour k = 1,...,N. Par conséquent, pour B f 0
≪ 1, v 1 ≈ √ φ S
N
et λ 1 ≈ NσS 2 et on obtient :
φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ ∑ k,l,m
qui peut être décomposé en deux parties :
Nλ l
µ k µ m
(v H 1 u k )(u H k v l).(v H l u m )(u H mv 1 ),
φ H S ¯R −1¯RS ¯R−1 φ S ≈ ∑ k,m
N 2 σ 2 S
µ k µ m
∣ ∣v H
1 u k
∣ ∣
2 ∣ ∣u H
m v 1
∣ ∣
2
+
∑
k,m,l≠1
Nλ l
µ k µ m
(v H 1 u k)(u H k v l)(v H l u m )(u H m v 1). (A.5)
Ensuite, on développe σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 par
σ 2 S (φH S ¯R −1 φ S ) 2 ≈ σ 2 S N2 ( ∑
k
∣ u
H
k
v 1
∣ ∣
2
µ k
) 2
. (A.6)