TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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44 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande 15 10 B/f 0 =0.05 bande nulle B/f 0 =0.1 5 SINR (dB) 0 −5 −10 −15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 u = sin(θ ) S S Fig. 3.1: SINR (3.8) en fonction de la DOA de la source utile, pour différentes valeurs de bande fractionnée. En insérant (3.7) dans (3.6), le SINR à bande non nulle résultant devient SINR = φH S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S φ H S ¯R −1 φ S . (3.8) Afin d’illustrer l’influence de la largeur de bande sur les performances du filtrage spatial bande étroite en termes de SINR, on effectue maintenant des simulations. Fig.3.1 montre le SINR résultant après formation de faisceaux bande étroite (3.7) sous des conditions de largeur de bande nulle (i.e. pour une bande fractionnée B f 0 nulle) et sous des conditions de largeur de bande non nulle pour deux valeurs de bande fractionnée ( B f 0 = 0.05 et B f 0 = 0.1). Les paramètres de la simulation sont N = 32, σJ 2 = 30 dB, σS 2 = 30 dB, σ2 n = 0 dB, u J = 0.1. On remarque que les pertes en SINR par rapport au cas où la largeur de bande est nulle, interviennent à la fois pour des sources utiles de DOA éloignée de la normale à l’antenne ou pour des sources utiles de DOA proche de celle de la source d’interférence. De plus, on observe que les pertes augmentent avec la largeur de bande. 3.3.2 Expression du critère de robustesse Nous introduisons maintenant le critère de robustesse défini par le rapport entre le SINR après formation de faisceaux bande étroite appliquée sous des conditions de largeur de bande non nulle (3.7) et le même filtrage appliqué sous des conditions de largeur de bande nulle (3.3). Ce critère permet de quantifier la perte en SINR dûe à l’augmentation de la largeur de bande lorsque qu’un filtrage spatial adapté à des signaux bande étroite est utilisé. Son expression est : r = SINR SINR ZB (3.9) où SINR est donné par (3.8) et SINR ZB est donné par (3.5). Comme r < 1, r −1 sera appelée perte en SINR tout au long du chapitre. En utilisant les expressions de SINR et SINR ZB dans (3.9), on obtient la
3.3 Critère de robustesse par rapport à la largeur de bande 45 forme détaillée du critère de robustesse choisi : r = φ H S ¯R −1 ¯RS ¯R−1 φ S σ 2 S φH S R−1 φ S φ H S ¯R −1 φ S . (3.10) 3.3.3 Relation entre la perte en SINR et la définition de bande étroite de Zatman Dans [33, Section 5], Zatman a considéré un signal d’interférence de largeur de bande non nulle mais un signal utile de largeur de bande nulle. Avec nos notations, le SINR associé est égal à : SINR = σ2 S |wH φ S | 2 w H ¯Rw et le filtre formation de faisceaux bande étroite w (3.7) devient optimal du point de vue de la maximisation du SINR, quelque soit la largeur de bande du signal d’interférence. Le SINR optimal devient : SINR = σ 2 S φH S ¯R −1 φ S . (3.11) Avec un modèle de signal utile à bande nulle, la perte en SINR dûe à une largeur de bande non nulle n’apparaît que dans des scénarios de source d’interférence vue dans le lobe principal, comme justifié dans l’annexe A. Notons que cela peut être également observé dans [33, Fig.6]. Le rapport de SINR exact r devient après insertion de (3.11) et (3.5) dans (3.9) : r = φH S ¯R −1 φ S φ H S R−1 φ S . (3.12) On souhaite maintenant relier ce rapport de SINR (3.12) au rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de bruit. Sous l’hypothèse que la bande fractionnée est faible, on montre le résultat suivant dans le cadre d’une antenne linéaire uniforme composée de N capteurs espacés d’une demi-longueur d’onde par rapport à la fréquence porteuse : Résultat 1 En présence d’un signal utile à bande nulle et d’un signal d’interférence de largeur de bande non nulle, le rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de bruit est égal à une borne supérieure de la perte en SINR r −1 de la formation de faisceaux optimale, dûe à la largeur de bande, par rapport à la DOA de la source utile. Preuve En utilisant le développement effectué dans l’annexe A basé sur les résultats de [38], la matrice de covariance du signal d’interférence à bande non nulle ¯R−σ nI 2 peut être approximée par une matrice de rang deux 2 où les deux valeurs et vecteurs propres sont respectivement égaux à µ 1 − σn 2 ≈ Nσ2 J , µ 2 − σn 2 et u 1 ≈ √ φ J N et u 2 . Ensuite, en utilisant (3.4), R − σnI 2 = NσJ 2 φ √NJ φ √ H J N . On a donc : ¯R ≈ R + (µ 2 − σ 2 n)u 2 u H 2 . Après utilisation du lemme d’inversion matricielle, on déduit : ( ) ¯R −1 ≈ R −1 − R −1 1 −1 u 2 µ 2 − σn 2 + u H 2 R −1 u 2 u H 2 R −1 . (3.13) Après insertion de (3.13) dans (3.12), on obtient : r ≈ 1 − |φH S R−1 u 2 | 2 φ H S R−1 φ S × 1 1 ( µ 2 + u −σ H n 2 2 R−1 u 2 ) . (3.14) 2 Notons que cette hypothèse a été justifiée dans [33] par l’observation empirique selon laquelle les valeurs propres de ¯R dépassent le seuil de bruit thermique l’une après l’autre, au fur et à mesure de l’augmentation de largeur de bande.
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Annexe F Calcul du SINR normalisé
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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