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84 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz Bloc Toeplitz 5.2 Notations et résultats préliminaires Tout d’abord, on formalise les définitions de matrices MTBT et Multi-niveaux Circulante Bloc Circulante (MCBC) et on étend la notion d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices aux séquences de matrices bloc multi-niveaux. Ensuite, on écrit des lemmes préliminaires nécessaires à la démonstration du principal résultat de cette annexe dans la section suivante. Définition 1 (MTBT matrix) : Etant donné un vecteur d’index n P = (n 1 ,n 2 ,...,n P ), une matrice P-MTBT A n P se définit récursivement de la manière suivante. Si P = 1, alors il s’agit d’une matrice de Toeplitz ordinaire d’ordre n 1 . Si P > 1, alors A n P peut être partitionnée en n P × n P blocs A n P def = ⎡ ⎢ ⎣ A n P −1 0 A n P −1 −1 · · · A n P −1 . .. . .. . A n P −1 1 −(n P −1) . .. . .. A n P −1 −1 . A n P −1 n P −1 · · · A n P −1 1 A n P −1 0 où chaque bloc A n P −1 m 1 , m 1 = −(n P − 1),...,n P − 2,n P − 1 est une matrice (P − 1)-MTBT, A n P −1 m 1 def = ⎡ ⎢ ⎣ A n P −2 m 1 ,0 A n P −2 m 1 ,1 A n P −2 m 1 ,−1 · · · A n P −2 . .. . .. . ⎤ ⎥ ⎦ m 1 ,−(n P −1 −1) . .. . .. A n P −2 m 1 ,−1 . A n P −2 m 1 ,n P −1 −1 · · · A n P −2 m 1 ,1 A n P −2 m 1 ,0 ⎤ ⎥ ⎦ et de façon générale, pour k = 1,...,P − 2, A n P −k m k def = ⎡ ⎢ ⎣ A n P −k−1 m k ,0 A n P −k−1 m k ,1 A n P −k−1 m k ,−1 · · · A n P −k−1 . .. . .. . m k ,−(n P −k −1) . .. . .. A n P −k−1 m k ,−1 . A n P −k−1 m k ,n P −k −1 · · · A n P −k−1 m k ,1 A n P −k−1 m k ,0 ⎤ ⎥ ⎦ et finalement, au dernier niveau de bloc, on trouve une matrice de Toeplitz ordinaire d’ordre n 1 ⎡ a n 0 m P −1 ,0 a n 0 m P −1 ,−1 · · · a n ⎤ 0 m P −1 ,−(n 1 −1) A n 1 def a n . 0 .. . .. m m P −1 = P −1 ,1 . ⎢ . ⎣ . .. . .. a n 0 ⎥ m P −1 ,−1 ⎦ a n 0 m P −1 ,(n 1 −1) · · · a n 0 m P −1 ,1 a n 0 m P −1 ,0 avec pour k = 1,...,P − 1 n P −k = (n 1 ,n 2 ,...,n P −k ) and m k = (m 1 ,m 2 ,...,m k ) où pour k = 1...P −(n P −k+1 − 1) ≤ m k ≤ n P −k+1 − 1 et où a n 0 m P −1 ,m P , m P = −(n 1 −1),...,(n 1 −1) est le terme général a m1 ,m 2 ,...,m P de A n P . Finalement, notons que l’ensemble des matrices P-dimensionelles MTBT Finally, let note that the set of all P-dimensional
5.2 Notations et résultats préliminaires 85 MTBT matrices d’ordre (n 1 ,n 2 ,...,n P ) est un espace vectoriel de dimension (2n P − 1)...(2n 1 − 1), dont la base naturelle est donnée par les matrices [44] J m 1 n P ⊗ ... ⊗ J m k n P −k+1 ⊗ ... ⊗ J m P n 1 où J m k n P −k+1 représente la matrice de dimension n P −k+1 × n P −k+1 dont les éléments (i,j) sont égaux à 1 si j − i = m k . La matrice MTBT A n P peut alors s’écrire de façon unique sous la forme A n P = n∑ P −1 m 1 =−n P +1 ... n∑ 1 −1 m P =−n 1 +1 a m1 ,...,m P J m 1 n P ⊗ ... ⊗ J m k n P −k+1 ⊗ ... ⊗ J m P n 1 . L’approche choisie dans cette annexe consiste à relier les valeurs propres généralisées de matrices MTBT à celles des matrices MCBC ayant une structure plus simple. On formalise maintenant l’écriture de ces dernières matrices. Définition 2 (MCBC matrix) : Etant donné un vecteur d’index n P = (n 1 ,n 2 ,...,n P ), une matrice P-MCBC se définit récursivement comme une matrice P-MTBT, en remplaçant les blocs de Toeplitz par des blocs circulants. Ces matrices MCBC ont une décomposition en éléments propres qui étend celle des matrices circulantes. La décomposition en éléments propres démontrée dans [67, Th. 5.84] pour le cas de matrices circulantes de niveau 3 s’étend facilement à des matrices circulantes de niveau quelconque P. Plus précisément une matrice MCBC de dimension n 1 n 2 ...n P × n 1 n 2 ...n P C n P est diagonalisable par la matrice unitaire U nP = U nP ⊗ ... ⊗ U n1 (5.1) où (U np ) p=1...P sont les matrices de transformée de Fourier discrète unitaires (TFD) de dimension n p ×n p , de termes (U np ) k,l = √ 1 (k−1)(l−1) −j2π np e np et dont les valeurs propres sont les TFD P-dimensionnelles de sa première ligne λ k1 ,...,k P = n∑ 1 −1 n∑ 2 −1 m 1 =0 m 2 =0 ... n∑ P −1 m P =0 On définit maintenant l’équivalence asymptotique multi-niveaux. c m1 ,...,m p e −j2π “ m1 k 1 n 1 + m 2 k 2 n 2 +...+ m P k P n P ”. Définition 3 (Equivalence Asymptotique Multi-niveaux) : Soit {A n P } et {B n P } des séquences matricielles de dimension n 1 n 2 ...n P × n 1 n 2 ...n P . Ces matrices sont dites asymptotiquement équivalentes multi-niveaux, ce qui se note A n P ∼ B n P lorsque les conditions suivantes sont vérifiées : – ‖A n P ‖ ≤ M < ∞ – ‖B n P ‖ ≤ M < ∞ – lim n1 ,n 2 ,...,n P →∞ |A n P − B n P | = 0 où ‖.‖ est la norme spectrale et |.| est la norme de Frobenius normalisée définie par |A n P | 2 = 1 ∑n 1 n 1 n 2 ...n P ∑n 2 m 1 =1 m 2 =1 ... n P ∑ m P =1 |a m1 ,m 2 ,...,m P | 2 . Ensuite, on montre le lemme suivant sur la distribution asymptotique des valeurs propres de matrices asymptotiquement équivalentes multi-niveaux.
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Remerciements Je souhaiterais tout
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Annexe E Expression du signal reçu
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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