TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

34 Introduction
que le SINR normalisé ρ = SINR
SINR opt
suit une loi bêta de densité de probabilité :
P(ρ) =
K!
(N − 2)!(K + 1 − N)! (1 − ρ)N−2 ρ K+1−N .
En considérant ensuite l’espérance du SINR normalisé, (E(ρ) = K+2−N
K+1
), ils ont déduit une règle pour le
choix du nombre d’échantillons à utiliser dans l’estimation de la matrice de covariance. Cette règle stipule
que le nombre d’échantillons nécessaires pour être à 3 dB de l’optimum est égal à 2N.
2.5.2 Implémentation récursive
Cette implémentation consiste à calculer le filtre spatial estimé avec K échantillons à partir du filtre
estimé avec K −1. Contrairement à la méthode SMI du paragraphe précédent, cette implémentation peut
s’effectuer ’en ligne’. Son intérêt est de réduire la complexité de calcul par rapport à une approche directe,
tout en conservant des performances proches. Elle est basée sur l’écriture de la matrice de covariance
estimée sous la forme
ˆR(K) = ˆR(K − 1) + x k x H k
de façon à en déduire une expression de l’inverse par l’utilisation du lemme d’inversion matricielle, faisant
intervenir l’inverse de ˆR(K − 1). Cela permet d’obtenir une relation entre le filtre estimé avec K
échantillons et celui estimé avec K − 1 échantillons. Par exemple, si on implémente l’algorithme MSINR,
on obtient la relation de récurrence suivante pour le calcul du filtre :
avec
ŵ MSINR (K) = (I − v(K)x H K )ŵ MSINR(K − 1)
ˆR −1 (K − 1)x K
v(K) =
1 + x H ˆR K −1 (K − 1)x K
représentant le gain de Kalman, dans lequel l’inverse de la matrice de covariance est calculée récursivement
par l’expression ˆR −1 (K) = (I − v(K)x H K ) ˆR −1 (K − 1).
2.5.3 Implémentation par une méthode du gradient
Plutôt que d’implémenter directement ou récursivement les filtres spatiaux présentés dans les sections
2.3 et 2.4, les algorithmes du gradient ont pour objectif de rechercher l’optimum d’un critère de manière
récursive en effectuant une mise à jour des filtres dans la direction du gradient du critère à optimiser.
En pratique, les algorithmes du gradient les plus fréquemment utilisés sont stochastiques (Least Mean
Square ou LMS), dans lesquels les moments (matrices de covariance ou intercorrélation) intervenant
dans l’expression du gradient sont estimés par des valeurs instantanées. Différents algorithmes LMS ont
été proposés, dont l’avantage principal est une complexité faible (de l’ordre de O(N) contre O(N 2 ) par
exemple pour des algorithmes d’implémentation récursive RLS à faible complexité), mais au détriment
d’une convergence plus lente vers le filtre optimal que les implémentations directes ou récursives. Pour
cette raison, ces dernières implémentations seront dans la suite préférées à une implémentation par une
méthode du gradient.
Pour fixer les idées, considérons l’exemple de l’implémentation LMS de l’algorithme LCMV, originellement
proposé par Frost [32]. Dans cet algorithme, le critère à minimiser a pour expression :
J = w H Rw + (w H C − f H )λ + λ H (C H w − f)
où λ est tel que la contrainte C H w = f soit respectée. Le gradient complexe de ce critère est égal à :
∆ w = Rw + Cλ.