TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

6.4 Détection optimale 99
reçues, l’ensemble des paramètres d’un éventuel signal utile sont inconnus. Statistiquement, cela correspond
à l’absence d’a priori sur ces derniers. Pour résoudre cette difficulté, les traitements radar consistent
à former un maillage de l’espace des paramètres utiles et à effectuer une détection en chacun des noeuds.
Cette méthode permet de se ramener à un problème de détection avec paramètres utiles connus. Cependant,
un paramètre de nuisance correspondant à la phase du signal utile est également présent. Afin de le
supprimer du problème, une approche bayésienne est utilisée. Celle-ci consiste à affecter à la phase une
densité de probabilité a priori uniforme. Physiquement, cette dernière hypothèse est justifiée par l’absence
complète d’information sur le paramètre de nuisance. Finalement, le problème de détection étudié est donc
celui d’un signal déterministe de paramètres utiles connus en présence d’un paramètre de nuisance (cf. par
exemple [74–76]). La détection consiste à choisir entre les hypothèses signal présent (H1) et signal absent
(H0) des données. On suppose ici que l’on dispose de données vectorielles sous les hypothèses suivantes :
X = S(p) + B (H1)
X = B (H0)
où S(p) est le signal utile déterministe et B un bruit blanc gaussien complexe circulaire de matrice de
corrélation C. Avant de procéder à la détection, un filtre linéaire sur les données est effectué. Si l’on note
W le filtre appliqué sur les données, les deux hypothèses deviennent :
y = W H S(p) + W H B (H1)
y = W H B (H0)
Le bruit filtré conserve le caractère gaussien centré et a pour variance W H CW où C désigne la matrice
de corrélation du bruit. Le critère de décision ensuite utilisé est le rapport de vraisemblance :
V = p(y/H1)
p(y/H0)
et p(y/H1) = ∫ ϕ
p(y/H1,ϕ)p(ϕ)dϕ où ϕ correspond à la phase aléatoire du signal filtré. Or, en raison
des hypothèses sur le bruit, la vraisemblance des données filtrées sous l’hypothèse (H0) est égale à :
et sous l’hypothèse (H1) :
H1
>
<
H0
p(y/H0) = (2πW H CW) −1 e − 1
W H CW |y|2
p(y/H1) = (2πW H CW) −1 e − 1
W H CW |y−WH S(p)| 2
En introduisant ensuite δ la phase de y, le rapport de vraisemblance consiste à intégrer pour ϕ ∈ [0 : 2π[
la quantité
V =
∫ 2π
Après calcul [73], on obtient alors :
0
n
e
1
W H CW
T
“
2|y||W H S(p)|cos(ϕ−δ)−|W H S(p)| 2”o dϕ
H1
V = e −| W H S(p)| 2
( ∣
W H CW I 0 |y| ∣W H S(p) ∣ ) >
<
H0
où I 0 est la fonction de Bessel modifiée d’ordre nul. Comme cette fonction est croissante, la règle de
décision est équivalente à :
H1
|y|
>
<
H0
T ′
T