TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

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Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz
5.2 Notations et résultats préliminaires
Tout d’abord, on formalise les définitions de matrices MTBT et Multi-niveaux Circulante Bloc Circulante
(MCBC) et on étend la notion d’équivalence asymptotique entre séquences de matrices aux séquences
de matrices bloc multi-niveaux. Ensuite, on écrit des lemmes préliminaires nécessaires à la démonstration
du principal résultat de cette annexe dans la section suivante.
Définition 1 (MTBT matrix) :
Etant donné un vecteur d’index n P = (n 1 ,n 2 ,...,n P ), une matrice P-MTBT A n P
se définit récursivement
de la manière suivante. Si P = 1, alors il s’agit d’une matrice de Toeplitz ordinaire d’ordre n 1 . Si P > 1,
alors A n P
peut être partitionnée en n P × n P blocs
A n P def =
⎡
⎢
⎣
A n P −1
0 A n P −1
−1 · · · A n P −1
. .. . .. .
A n P −1
1
−(n P −1)
. .. . .. A
n P −1
−1
.
A n P −1
n P −1 · · · A n P −1
1 A n P −1
0
où chaque bloc A n P −1
m 1
, m 1 = −(n P − 1),...,n P − 2,n P − 1 est une matrice (P − 1)-MTBT,
A n P −1
m 1
def
=
⎡
⎢
⎣
A n P −2
m 1 ,0
A n P −2
m 1 ,1
A n P −2
m 1 ,−1 · · · A n P −2
. .. . .. .
⎤
⎥
⎦
m 1 ,−(n P −1 −1)
. .. . .. A
n P −2
m 1 ,−1
.
A n P −2
m 1 ,n P −1 −1 · · · A n P −2
m 1 ,1
A n P −2
m 1 ,0
⎤
⎥
⎦
et de façon générale, pour k = 1,...,P − 2,
A n P −k
m k
def
=
⎡
⎢
⎣
A n P −k−1
m k ,0
A n P −k−1
m k ,1
A n P −k−1
m k ,−1 · · · A n P −k−1
. .. . .. .
m k ,−(n P −k −1)
. .. . .. A
n P −k−1
m k ,−1
.
A n P −k−1
m k ,n P −k −1 · · · A n P −k−1
m k ,1
A n P −k−1
m k ,0
⎤
⎥
⎦
et finalement, au dernier niveau de bloc, on trouve une matrice de Toeplitz ordinaire d’ordre n 1
⎡
a n 0
m P −1 ,0 a n 0
m P −1 ,−1 · · · a n ⎤
0
m P −1 ,−(n 1 −1)
A n 1 def
a n .
0 .. . ..
m
m P −1
=
P −1 ,1
.
⎢
.
⎣ . .. . .. a
n 0 ⎥
m P −1 ,−1 ⎦
a n 0
m P −1 ,(n 1 −1)
· · · a n 0
m P −1 ,1 a n 0
m P −1 ,0
avec pour k = 1,...,P − 1
n P −k = (n 1 ,n 2 ,...,n P −k ) and m k = (m 1 ,m 2 ,...,m k )
où pour k = 1...P
−(n P −k+1 − 1) ≤ m k ≤ n P −k+1 − 1
et où a n 0
m P −1 ,m P
, m P = −(n 1 −1),...,(n 1 −1) est le terme général a m1 ,m 2 ,...,m P
de A n P
. Finalement, notons
que l’ensemble des matrices P-dimensionelles MTBT Finally, let note that the set of all P-dimensional