TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

5.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices MTBT 87
Lemme 2
Soit {a i1 ,i 2 ,...,i P
} une séquence Hermitienne d’éléments absolument sommables de transformée de Fourier
a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ). Soit {c i1 ,i 2 ,...,i P
(a)} définie par (5.2). Alors, les séquences de matrices induites {A n P
}
et {C n P
(a)} sont asymptotiquement équivalentes multi-niveaux.
Preuve : Ce lemme est démontré dans [68, Lemma 1] pour des matrices Hermitiennes Toeplitz bloc
Toeplitz, i.e. pour P = 2. L’extension aux valeurs de P quelconques est immédiate.
5.3 Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices
MTBT
L’objectif de cette section est d’étendre le théorème de Szegö au cas des valeurs propres généralisées
de matrices Hermitiennes MTBT, sous l’hypothèse selon laquelle les éléments générant les matrices sont
absolument sommables.
Pour cela, on procède de la même manière qu’au chapitre 4 et l’on commence par démontrer trois
lemmes utilisés dans la preuve de Théorème 3. Ainsi, on montre tout d’abord dans Lemme 3 que les valeurs
propres de matrices Hermitiennes MTBT générées par des séquences d’éléments absolument sommables
sont bornées par les valeurs minimales et maximales de la transformée de Fourier multidimensionnelle de
la séquence. Ensuite, ce lemme est utilisé pour la preuve de l’équivalence asymptotique multi-niveaux entre
l’inverse d’une matrice Hermitienne définie positive MTBT et l’inverse de son équivalent asymptotique
multi-niveaux MCBC, dans Lemme 4. En effet, Lemme 3 montre que la norme spectrale de l’inverse
d’une matrice définie positive Hermitienne MTBT est bornée. Puis, Lemme 5 montre que le produit
de l’inverse d’une matrice Hermitienne définie positive MTBT par une matrice Hermitienne MTBT est
asymptotiquement équivalent multi-niveaux au produit de l’inverse d’une matrice Hermitienne MCBC
par une matrice Hermitienne MCBC, toutes deux obtenues suivant (5.2). Finalement, en utilisant cette
équivalence asymptotique multi-niveaux et Lemme 1, on obtient directement Théorème 3.
Lemme 3
Soit {a i1 ,i 2 ,...,i P
} une séquence Hermitienne, absolument sommable ayant pour transformée de Fourier
a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ). Alors, pour toutes les valeurs propres λ(A n P
) des séquences de matrices induites {A n P
},
on a
m a =
min a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) ≤ λ(A n P
) ≤ max a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = M a .
ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ω 1 ,ω 2 ,...,ω P
Preuve : Ce lemme est démontré dans la première étape de la preuve de [68, Lemma 1] pour des matrices
Toeplitz bloc Toeplitz, i.e., pour P = 2. L’extension à une valeur de P quelconque est immédiate.
Lemme 4
Soit B n P
une matrice définie positive Hermitienne MTBT, générée par la séquence absolument sommable
{b i1 ,i 2 ,...,i P
} de transformée de Fourier b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) et la matrice MCBC asymptotiquement
équivalente multi-niveaux associée C n P
(b) définie par Lemme 2. Si min ω1 ,ω 2 ,...,ω P
b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = m b >
0, alors
(B n P
) −1 ∼ (C n P
(b)) −1 .
Preuve : En utilisant Lemme 3, la preuve est semblable à celle de Lemme 3 au chapitre 4.