TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

106 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
Expression du critère de performance
Nous calculons dans cette partie l’expression de la puissance résiduelle de brouillage pour l’algorithme
OLS standard puis pour sa version avec coefficients variables dans le temps. Pour aboutir à ces deux
expressions, nous effectuons un développement limité déterministe du gain sur la voie principale et une
approximation sur des fonctions du signal perturbateur qui interviennent dans le calcul. Dans les deux
cas, nous calculons la puissance en fonction de l’instant t k avec 1 ≤ k ≤ K.
Version standard Le coefficient OLS est calculé par moyenne empirique selon la méthode SMI [3] :
K∑
K∑
α = ( |V a (t k )| 2 ) −1 )( V a (t k )Vp ∗ (t k )) (7.4)
k=1
Afin de simplifier cette étude, nous effectuons les hypothèses préalables suivantes :
– le gain de la voie auxiliaire est constant (G a (θ) = G a )
– le signal utile est négligé devant le signal de brouillage : σ 2 S ≪ σ2 J
– le bruit thermique est négligé devant le signal de brouillage : σ 2 n ≪ σ 2 J
Et en utilisant (7.1), (7.2) avec ces hypothèses dans (7.4) :
k=1
K∑
K∑
α = ( |G a | 2 |b(t k )| 2 ) −1 ( G a G ∗ p(ωt k + θ J ) |b(t k )| 2 ). (7.5)
k=1
Introduisons les notations suivantes :
S =
k=1
N∑
|b(t k )| 2 et T =
k=1
N∑
|b(t k )| 2 G p (ωt k + θ J ). (7.6)
La puissance résiduelle de nuisance peut alors s’exprimer de la manière suivante en introduisant (7.5) et
(7.6) dans (7.3) :
P res (1) (t l) =
∣ G p(ωt l + θ J ) − T 2
S ∣ σJ 2 . (7.7)
Notons que même si le coefficient OLS est constant sur l’ensemble des cases distances, la puissance
résiduelle ne l’est pas car elle tient compte du gain de brouillage à l’instant étudié. Ainsi, la méthode
d’antibrouillage peut être plus ou moins efficace selon la case distance traitée.
Version à coefficients variables dans le temps Cherchons maintenant à exprimer la puissance
résiduelle de brouillage dans le cas de l’algorithme OLS avec un coefficient variable dans le temps. Le
coefficient est maintenant estimé par l’expression :
(
α0
α 1
)
= (
k=1
K∑
K∑
V a (t k )Va H (t k )) −1 (
k=1
k=1
V a (t k )V ∗
p (t k ))
(
V
où V a (t k ) = a (t k )
(t k − t 0 )V a (t k )
les notations suivantes :
α(t l ) = α 0 + α 1 (t l − t 0 )
)
. Afin de ne pas trop alourdir les expressions à venir, nous introduisons
K∑
N∑
U = (t k − t 0 ) |b(t k )| 2 et V = (t k − t 0 ) 2 |b(t k )| 2 (7.8)
k=1
k=1