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52 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande pertes en SINR décroissent rapidement. Quand les DOAs de la source utile et de la source d’interférence sont égales, les pertes ont presque disparu (le rapport exact (3.10) est égal à λ 1 σn+Nσ 2 J 2 µ 1 ≈ 1 [38] où λ NσS 2 1 et µ 1 sont les valeurs propres les plus grandes de ¯R S et ¯R respectivement). On souhaite maintenant estimer le rapport de SINR minimal r min par rapport à la DOA de la source utile et relier cette valeur à la borne inférieure r lb (3.15). Dans ce but, on montre le résultat suivant : Résultat 3 Sous l’hypothèse selon laquelle B f 0 ≪ 1 et N ≫ 1 sous la contrainte N B f 0 ≪ 1, la perte maximale en SINR rmin −1 par rapport à la DOA de la source utile atteint presque la borne supérieure r−1 lb égale au rapport entre la seconde valeur propre de la matrice de covariance interférences plus bruit et la valeur propre de bruit. Preuve En remarquant que le rapport minimal de SINR r min est atteint lorsque 0 < |x 0 | ≪ 1, on peut effectuer un développement limité du terme b2 a dans (3.25). Ainsi, en écrivant que déduit de (3.24), on obtient : b 2 a = 4sin2 (Nx 0 ) sin 2 (x 0 ) ( N tan(Nx 0 ) − 1 tan(x 0 ) ) 2 b 2 a ≈ 4 9 N6 x 2 0 (3.26) à partir d’un développement limité au 3ème ordre de tan(Nx 0 ) et tan(x 0 ) en Nx 0 et x 0 respectivement, sous l’hypothèse que x 0 ≪ 1 et N ≫ 1 sous la contrainte Nx 0 ≪ 1. Ensuite, après avoir noté que φ H S R−1 φ S ≈ N3 x 2 0 pour σ2 3σn 2 J ≫ 1, 0 < |x σn 2 0 | ≪ 1 et utilisé (3.22), on obtient l’approximation suivante de la valeur minimale de r : r min ≈ σ 2 n N 3 3 σ2 J ∆x2 + σ 2 n = N 3 3 σ2 J π2 48 σ 2 n ( B f 0 ) 2 u 2 J + σ 2 n . (3.27) ( ) 2 On remarque que N3 3 σ2 J π2 B 48 f 0 u 2 J représente le développement limité au premier ordre de la seconde valeur propre de la matrice de covariance du signal d’interférence seul (déduit de [33, expressions 27 et 28] pour NB f 0 ≪ 1), de sorte que le dénominateur de (3.27) constitue une approximation de µ 2 . Finalement, en prenant l’inverse de (3.27), on termine la preuve. Afin d’observer l’influence de la bande fractionnée sur la valeur du rapport de SINR minimal r min , on trace en Fig.3.6 cette dernière en fonction de B f 0 pour les mêmes valeurs de N que dans les simulations précédentes. Premièrement, on observe que la courbe approchée (3.27) fournit une approximation très précise de la valeur exacte r min obtenue par calcul numérique du minimum de (3.10), sauf lorsque la valeur de bande fractionnée devient trop importante (par exemple pour B f 0 > 0.02 avec les paramètres considérés). Deuxièmement, on remarque que r min décroît rapidement lorsque la largeur de bande augmente. On analyse ensuite l’influence du nombre de capteurs sur r min . Fig.3.7 montre la valeur de ce minimum à partir des expressions exacte et approchée, pour différentes valeurs de N et pour une bande fractionnée égale à B f 0 = 0.01. On vérifie que l’approximation donnée par (3.27) est précise, sauf pour des valeurs élevées du nombre de capteurs. Cela s’explique par le fait que le développement limité effectué dans le paragraphe 3.4.4 est valable sous l’hypothèse N ∆f f 0 ≪ 1 (alors que par exemple, quand N = 64, N ∆f f 0 ≈ 0.2).
3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 53 0 exact approche −5 −10 r min (dB) −15 −20 −25 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 B/f 0 Fig. 3.6: Valeurs de r min exacte et approchée (3.27) en fonction de la bande fractionnée. 0 exact approche −2 −4 r min (dB) −6 −8 −10 −12 −14 0 10 20 30 40 50 60 70 nombre de capteurs Fig. 3.7: Valeurs de r min exacte et approchée (3.27) en fonction du nombre de capteurs.
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