TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

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Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz
Lemme 5
Sous les hypothèses de Lemme 4, si A n P
est une matrice Hermitienne MTBT générée par une séquence
absolument sommable {a i1 ,i 2 ,...,i P
}, les matrices MCBC associées C n P
(a) et C n P
(b) données par (5.2)
vérifient
(B n P
) −1 A n P
∼ (C n P
(b)) −1 C n P
(a).
Preuve : La preuve est la même que pour Lemme 4 au chapitre 4.
On introduit maintenant l’intervalle
I ω = [ min b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ); max b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )]
ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ω 1 ,ω 2 ,...,ω P
et on énonce un théorème sur la distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices
Hermitiennes MTBT.
Théorème 3 Soit A n P
et B n P
deux matrices Hermitiennes MTBT, avec B n P
définie positive, générées
par des séquences absolument sommables {a i1 ,i 2 ,...,i P
} et {b i1 ,i 2 ,...,i P
}, respectivement, et avec
min ω1 ,ω 2 ,...,ω P
b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) = m b > 0. Alors, pour toute fonction continue F sur I ω
lim
n 1 ,...,n P →∞
n 1 ...n
1 ∑ P −1
F(λ k (A n P
,B n P
))= 1 ∫ π
n 1 ...n P (2π) P ...
k=0
−π
∫ π
−π
F(b −1 (ω 1 ,...,ω P )a(ω 1 ,...,ω P ))dω 1 ...dωP.
Preuve : En utilisant Lemme 5, (B n P
) −1 A n P
est asymptotiquement équivalent multi-niveaux à
(C n P
(b)) −1 C n P
(a) et comme les matrices C n P
(b) et C n P
(a) sont respectivement semblables aux matrices
diagonales ∆ nP (b) et ∆ nP (a) avec la même matrice unitaire U nP (5.3), on obtient après utilisation de
Lemme 1, pour tout entier s,
avec
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
= lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
=
∫
1 π
(2π) P
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
−π
∫ π
−π
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
[λ s k
n 1 n 2 ...n (An P
,B n P
) − λ s k (∆−1 n P
(b)∆ nP (a))] = 0
P
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
n 1 n 2 ...n P
k=0
n
1 ∑ 1 −1
n 1 n 2 ...n P
...
∫ π
−π
n∑
2 −1
k 1 =0 k 2 =0
k=0
λ s k (∆−1
n P
(b)∆ nP (a))]
n∑
P −1
...
k P =0
b −s (2π k 1
n 1
,2π k 2
n 2
,...,2π k P
n P
)a s (2π k 1
n 1
,2π k 2
n 2
,...,2π k P
n P
)
b −s (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a s (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )dω 1 dω 2 ...dωP,
où la continuité des transformées de Fourier b(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) et a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) permettent de garantir
l’existence de l’intégrale.
Finalement, ce résultat s’étend à l’ensemble des polynômes et après invocation du théorème d’approximation
de Stone-Weierstrass, Théorème 3 est prouvé.
Comme cela a été montré dans [47,48], et tenant compte du fait que pour tous vecteurs n P , les valeurs
propres de (B n P
) −1 A n P
appartiennent à I ω , Théorème 3 conduit au corollaire suivant :
Corollaire 1
Pour tout entier positif l, les l plus petites et plus grandes valeurs propres généralisées de (A n P
,B n P
)
convergent en n 1 ,n 2 ,...,n P et
lim λ n
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ 1 n 2 ...n P −l+1(A n P
,B n P
) = min b −1 (ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P )
ω 1 ,ω 2 ,...,ω P