TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

3.5 Application à l’étude de performance du filtrage spatial par sous-bandes indépendantes 57
et
Enfin, on note :
⎡
e(f) = ⎢
⎣
⎤
1
e j2πfT
⎥
. ⎦ .
e j2πf(M−1)T
E{y m y H m } = S f(m) + S n (m)
la matrice de covariance spatio-fréquentielle des données sur la sous-bande m avec S f (m) et S n (m) correspondant
respectivement aux matrices de covariance spatio-fréquentielle du signal utile et des interférences
plus bruit.
Expression du SINR
Un filtrage spatial est appliqué sur chaque case fréquentielle. Lorsque l’algorithme MVDR est appliqué,
le filtre spatial s’écrit :
w m =
S−1 n (m)φ m
φ m S −1 , m = 0,...,M − 1 (3.33)
n (m)φ m
avec
⎡
⎤
1
e jπu S
fm
fmax
φ m =
⎢
⎥
⎣ . ⎦
et
f m =
e jπ(N−1)u S
fm
fmax
{
f0 + mB
M pour m < M 2
f 0 − B + mB
M sinon .
Ensuite, on suppose que E{y m y H l
} = δ(m − l)E{y m y H m}, ce qui est réaliste pour d’importantes valeurs
de M, cf. par exemple [6, chap. 5]. Dans ce cas, le SINR devient [6]
SINR ≈
avec S f (m) = ∫ B
2 σ
− B S 2
B
a(f,m)φ S (f 0 +f)φ H S (f 0+f)df et S n (m) = ∫ B
2
− B 2
2
Mσn 2I N. De plus, en développant (3.32), on obtient :
∑ M−1
m=0 wH mS f (m)w m
∑ M−1
m=0 wH m S n(m)w m
(3.34)
a(f,m) = sin2 ( πM(fT − m M ))
sin 2 ( π(fT − m M )) .
σ 2 J
B
a(f,m)φ J (f 0 +f)φ H J (f 0+f)df +
Comme cela a été expliqué dans [39], la fonction a(f,m) quantifie la puissance des fréquences différentes
de f m pour m = 0...M − 1 qui affectent S n (m). Idéalement elle vaut zéro sauf pour f = f m − f 0 . En
Fig.3.10, on trace les fonctions a(f,m) pour M = 16. Afin d’étudier dans la suite les performances du
filtrage par sous-bandes indépendantes après décomposition par TFD, on se placera dans le cas où le
signal utile se trouve dans la direction normale à l’antenne. Notons que l’on peut également se ramener
à cette situation en compensant les retards intercapteurs dans la direction visée (préfocalisation). Sous
cette hypothèse, on a (cf. [6]) :
SINR ≈
∑ M−1
m=0
M 2 σ 2 S
1
1 H S −1
n (m)1
que l’on obtient en utilisant (3.33) dans (3.34) avec φ m = φ S (f) = 1 de dimension (M × 1).
(3.35)