TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

30 Introduction
Fig. 2.2: Représentation d’un filtrage de Wiener multi-étages de dimension 3
Réduction de rang adaptative, dépendante du signal utile
Nous présentons enfin une méthode dans laquelle le sous-espace réduit est engendré à partir des
données et de la focalisation. La méthode présentée correspond à l’algorithme du filtrage de Wiener
multi-étages [18]. Contrairement aux algorithmes de réduction de rang indépendante du signal utile, cette
méthode présente l’avantage d’être robuste par rapport à la dimension du sous-espace des interférences (cf.
par exemple [20, chap. 5]), ce qui est très important dans les applications pratiques. De plus, contrairement
aux deux méthodes précédentes, la réduction de rang se fait ici sur le sous-espace engendré par la matrice
bloquante B dans l’approche annulation de bruit. Le critère d’optimisation est le suivant :
{ ∣∣w
w i = argmin Vect(Li )E
H Bx − φ H S x∣ ∣ 2}
où i représente la dimension du sous-espace réduit. Les matrices L i sont formées de la façon suivante :
⎛
h H ⎞
1
h H 2
L i = ⎜
B 1
⎟
⎝ . ⎠
B i−1 ...B 2 B 1
Cette méthode correspond à la troncature de la matrice permettant de transformer un problème de filtrage
de Wiener vectoriel [ ] en une succession de filtrages de Wiener scalaires. Les vecteurs h i et les matrices B i
h
H
sont tels que i
est inversible et B
B i h i = 0. A chaque étage, les données x i−1 sont transformées en
[ ] i
[ ]
di h
H
données = i
x
x i B i−1 . Enfin, les vecteurs h i sont choisis de façon proportionnels à la corrélation
i
croisée r xi−1 d i
et de norme unité. Ce choix qui paraît intuitif si l’on suppose que l’on souhaite s’approcher
du filtre optimal de Wiener à l’étage i, à savoir R −1
x i
r xi d i
, sans connaissance de la matrice de covariance
R xi . De plus, ce choix permet de justifier l’équivalence entre le filtrage de Wiener vectoriel et le filtrage
de Wiener multi-étages [18]. A titre d’illustration, Fig.2.2 représente un filtrage de Wiener multi-étages
de dimension 3.
Estimation de la dimension du sous-espace des interférences
Jusqu’à présent, nous avons supposé connue la dimension du sous-espace des interférences. Cependant,
dans la pratique cette dernière est inconnue et doit être estimée à partir des données. Des algorithmes
d’estimation sont alors souvent utilisés dont les plus courants utilisent les critères AIC (Akaike
Information Criterium) et MDL (Minimum Description Length). Ces derniers ont été introduits par
Akaike [21] et Rissanen et Schwartz [22], [23]. Ensuite, ils ont été utilisés en traitement d’antenne en
1985 par Wax et Kailath [24]. Les deux critères sont construits de la même manière, en introduisant la