TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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74 Etude de performance asymptotique du filtrage spatio-temporel adaptatif large bande MSINR où et R(f) = J∑ j=1 S j (f)φ (θ j ,f + f 0 )φ(θ j ,f + f 0 ) H + σ2 n B I (4.6) R S (f) = S S (f)φ(θ S ,f + f 0 )φ(θ S ,f + f 0 ) H . Ensuite, comme R −1 (f)R S (f) est de rang un, elle possède l’unique valeur propre non nulle suivante, associée au vecteur propre R −1 (f)φ (θ S ,f + f 0 ) : et on obtient le résultat suivant : S S (f)φ(θ S ,f + f 0 ) H R −1 (f)φ (θ S ,f + f 0 ) Résultat 6 Pour une formation de faisceaux spatio-temporelle optimale avec échantillonnage temporel à la fréquence de Shannon, le SINR tend vers un SINR spatial optimal à bande nulle maximal, associé à une fréquence dans la bande I f = [− B 2 ; B 2 ] quand le nombre de retards tend vers ∞. avec R(f) donnée par (4.6). lim SINR(M) = max{S S (f)φ(θ S ,f + f 0 ) H R −1 (f)φ (θ S ,f + f 0 )} (4.7) M→∞ f∈I f Notons que le SINR spatio-temporel asymptotique (au sens du nombre de retards) (4.7) peut être interprété comme le SINR spatial optimal (au sens de la maximisation du SINR) à bande nulle maximal par rapport à une fréquence dans la bande I f . En conséquence, le filtre se comporte comme un filtre passe bande à bande infinitésimale (à la fréquence solution de la maximisation (4.7)) suivi d’une formation de faisceaux adaptative à bande nulle. Par conséquent, pour un nombre fini M de retards, le filtrage spatiotemporel optimal peut surperformer le SINR spatial optimal à bande nulle, qui correspond à la fréquence f = 0. Dans le cas où T < 1 B , les matrices spectrales R S(ω) et R(ω) sont à bande limitée sur [−πBT,πBT], de sorte que min λ,ω λ(R(ω)) = 0 et les hypothèses de Théorème 2 et Corollaire 1 ne sont plus vérifiées. L’extension de Corollaire 1 dans la sous-bande [−πBT,πBT] est alors difficile (cf. par exemple [60]). Cependant, des simulations numériques extensives montrent que le résultat s’étend dans ce cas (cf. le paragraphe 4.4.4). Dans la suite, on suppose que le signal utile est blanc, i.e. S S (f) = σ2 S B . On analyse maintenant la situation particulière d’interférences dont les spectres s’annulent en au moins une fréquence. Signaux d’interférence dont les spectres s’annulent en au moins une fréquence Dans ce cas particulier, le résultat suivant est prouvé en Annexe D : Résultat 7 En présence de plusieurs signaux d’interférence dont les spectres s’annulent en au moins une fréquence commune et d’un signal utile blanc, on a : lim SINR(M) = σ2 S N. M→∞ Ce résultat signifie qu’en présence de signaux d’interférence ayant au moins un zéro commun dans le spectre, le filtrage spatio-temporel permet d’atteindre asymptotiquement le SINR correspondant à une situation sans interférence. Notons que bien que la notion d’asymptotique soit purement théorique, nous verrons dans les paragraphes 4.4.4 et 4.4.5 que dans la plupart des cas, une faible valeur du nombre de retards est suffisant pour atteindre des performances quasi-optimales. σ 2 n
4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 75 Remarque : appliqués à des processus scalaires stationnaires au second ordre, Résultats 6 et 7 donnent respectivement lim SINR(M) = max S S (f)S −1 M→∞ f∈I IN (f) f avec S IN (f) = ∑ J j=1 S j(f) + σ2 n B en présence d’interférences et de bruit et 4.4.4 Exemples illustratifs lim SINR(M) = σ2 S . M→∞ On illustre maintenant Résultats 6 et 7 au travers de simulations numériques. On considère dans ce paragraphe une antenne linéaire uniforme et la présence d’une unique source d’interférence où [ ] φ(θ,f) = 1 e jπ f fu u ... e j(N−1)π f fu u (4.8) avec u = sin(θ) (u S = sin(θ S ) et u J = sin(θ J ) pour les signaux utile et d’interférences respectivement) et où f u dépend du choix de la distance inter-capteurs. Les paramètres de la simulation sont B f 0 = 0.3, N = 16, u J = 0.3, σ 2 J = 30 dB, σ2 n = 0 dB et σ2 S = 0 dB. Cas d’un signal d’interférence blanc Dans ce paragraphe, on suppose que le signal d’interférence est blanc dans la bande [− B 2 ; B 2 ]. Influence de la fréquence d’échantillonnage temporel On examine maintenant l’influence de la fréquence d’échantillonnage temporel sur le SINR spatio-temporel optimal. En Fig.4.1, on trace le SINR spatio-temporel optimal pour deux valeurs de la période d’échantillonnage temporel, à savoir, T = 1 B et T = 1 2B et différentes valeurs du nombre de retards. Tout d’abord, on observe que dans les deux cas, le SINR semble converger vers le SINR asymptotique donné par Résultat 6, bien que ce résultat ait été seulement prouvé pour T = 1 1 B . Cependant, on note que la convergence est plus rapide pour T = 2B que pour T = 1 B . Par conséquent, un suréchantillonnage par rapport à la fréquence d’échantillonnage de Shannon permet d’améliorer les performances en terme de SINR, à nombre donné de retards. On vérifie que des simulations numériques extensives confirment ces observations. Notons que l’influence de la fréquence d’échantillonnage temporelle a été analysée dans [59] pour une implémentation passe bande à lignes à retards de l’algorithme MMSE, dans le cas d’une antenne à deux capteurs. Dans cet article, l’auteur a également remarqué l’amélioration en performance en termes de SINR résultant de l’utilisation d’un suréchantillonnage. Ce phénomène s’interprète physiquement en remarquant que le suréchantillonnage augmente la corrélation entre les composants des interférences, ce qui améliore leur rejection. Influence de la fréquence d’échantillonnage spatial On examine maintenant l’influence de l’espacement inter-capteurs égal à c 2f u (cf. (4.8)). Pour respecter la condition d’échantillonnage de Shannon, le paramètre f u doit être au moins égal à la fréquence maximale du signal, i.e. f u = f 0 + B 2 . Cela correspond c à un espacement inter-capteurs inférieur ou égal à 2(f 0 + B ). Cependant, en pratique, l’antenne ne doit pas 2 forcément pointer dans toutes les directions de la zone visible, i.e. 90deg.≤ θ ≤ 90deg.. Par conséquent, un plus grand espacement inter-capteurs peut être utilisé, au prix d’une réduction du domaine de détection. En effet, le non respect de la condition d’échantillonnage de Shannon conduit à l’apparition de lobes de réseaux à certaines fréquences. Ces derniers peuvent néanmoins être maintenus en dehors de la région visible si le domaine de pointage de l’antenne est suffisamment limité [6, Chap. 2.5]. Ici, on analyse l’influence de f u sur le SINR spatio-temporel asymptotique optimal. Plus précisément, on compare le choix de f u = f 0 avec la fréquence d’échantillonnage f u = f 0 + B 2 pour laquelle la condition d’échantillonnage σ 2 n
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Annexe F Calcul du SINR normalisé
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Bibliographie [1] R. Monzingo and T
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BIBLIOGRAPHIE 167 [46] U. Grenander
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