TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

Annexe B
Preuve de Théorème 1
A partir de [88, 2.22 p.74], nous avons
λ i+1 (A m ,B m ) = inf
D m
sup
D H m B mw m = 0
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H mB m w m
(B.1)
où D m représente une matrice quelconque de dimension m × i. Soit Sm
m−i un sous-espace arbitraire de
dimension (m − i) de C m pour lequel les vecteurs (B H md 1 ,...,B H md i ) forment une base du complément
orthogonal. Par conséquent,
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H m B mw m
=
sup
D H mB m w m = 0
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H m B mw m
et par le principe d’inclusion :
inf
S m−i
m
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H mB m w m
≥ inf
D m
sup
D H mB m w m = 0
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H mB m w m
.
Comme les vecteurs propres généralisés (v 1 ,...,v m ) sont orthogonaux au sens du produit scalaire (x,y) =
x H By, le quotient de Rayleigh (4.1) devient :
wm HA ∑ m
mw m k=1
wmB H =
λ k|x k |
∑ 2
m w m
m k=1 |x k| 2
avec w m = ∑ n
k=1 x kv k et donc si Sm m−i représente le sous-espace de Cm engendré par (v i+1 ,...,v m )
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H m B mw m
=
sup
(x i+1 ,...,x m) T ≠0
∑ m
k=i+1 λ k|x k | 2
∑ m
k=i+1 |x k| 2 = λ i+1
et par conséquent
λ i+1 (A m ,B m ) = inf
S m−i
m
sup
w m ∈ Sm
m−i
w m ≠ 0
w H m A mw m
w H m B mw m