TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

2.4 Algorithmes de formation de faisceaux 29
[
N
avec T une matrice inversible quelconque. Ensuite, choisissons 3 T H =
−1 φ H ]
S
en prenant B une
B
matrice de dimension (N −1)×N telle que Bφ S = 0 (une telle matrice est surnommée matrice ’bloquante’
parce qu’elle bloque le signal utile). Introduisons ensuite x 0 = Bx et d 0 = N −1 φ H S x. Avec ces notations,
le filtre de Wiener est égal à : w 0 = E{x 0 x H 0 }−1 E{x 0 d ∗ 0 }. On peut alors montrer (cf. par exemple [18])
que le calcul de (2.11) conduit à la solution wMVDR H = N −1 φ H S − wH 0 B. Par conséquent, il est équivalent
d’effectuer un filtrage de Wiener sur des données transformées par T ou d’effectuer un filtrage MVDR.
Réduction de rang non adaptative (ou réduction de dimension)
Cette méthode de réduction de rang est la plus simple à implémenter car elle ne nécessite pas un calcul
adaptatif de la base de l’espace réduit. Nous présentons ici la méthode dans l’approche directe. Celle-ci
consiste à résoudre le problème d’optimisation suivant :
w = argmin Vect(T0 )
{
w H Rw } s.c. w H φ S = 1
où Vect(T 0 ) est le sous-espace réduit (de dimension inférieure à N). Notons que ce problème a une solution
lorsque φ S n’appartient pas au sous-espace orthogonal à Vect(T 0 ). La solution est alors donnée par la
relation :
w =
T 0(T H 0 RT 0) −1 T H 0 φ S
φ H S T 0(T H 0 RT 0) −1 T H 0 φ .
S
En pratique, cette méthode consiste à former des sous-réseaux avec une matrice de fusion égale à T 0 et
à résoudre le problème MVDR en sortie des sous-réseaux.
Réduction de rang adaptative, indépendante du signal utile
On présente maintenant une méthode de réduction de rang dans laquelle le sous-espace réduit est
formé à partir des données. Cette méthode est dénommée EVP pour EigenVector Projection [19] et
est basée sur la décomposition de l’espace des vecteurs complexes de dimension N en sous-espace des
interférences et sous-espace de bruit thermique (par définition le sous-espace supplémentaire du sousespace
des interférences). La méthode repose sur la décomposition en éléments propres de la matrice
R :
R = U I Λ I U H I + U NΛ N U H N
où U I est la matrice des vecteurs propres du sous-espace des interférences, Λ I la matrice diagonale des
valeurs propres associées, U N la matrice des vecteurs propres du sous-espace de bruit et Λ N = σ 2 N I.
Le problème d’optimisation s’écrit alors sous une forme identique à celle du paragraphe précédent en
remplaçant la matrice T 0 par la matrice U N :
w = argmin Vect(UN )
{
w H Rw } s.c. w H φ S = 1.
Comme pour le paragraphe précédent, la solution est donnée par la relation suivante :
w =
U N(U H N RU N) −1 U H N φ S
φ H S U N(U H N RU N) −1 U H N φ .
S
Cependant, en raison de la définition de U N cette expression se simplifie pour donner :
w =
U NU H N φ S
φ H S U NU H N φ .
S
En pratique, cette méthode sera implémentée en utilisant le fait que U N U H N = I − U IU H I . L’algorithme
EVP nécessite donc d’estimer les vecteurs propres des interférences, par exemple par une décomposition
en éléments propres après avoir estimé la dimension du sous-espace des interférences. Ce dernier point est
abordé dans la suite.
3 Pour être cohérent avec les notations de φ S définies en 2.2.