TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

Annexe F
Calcul du SINR normalisé après
application de l’algorithme ESMI avec la
contrainte standard
En utilisant la ( formule ) de Frobenius sur l’inverse de la matrice partitionnée ˆ˜R, on obtient à partir de
(7.18) avec ˜φ φ
= :
0
ŵ 0 = ( ˆR (0) − ˆR ˆR−1 ˆR (1) (2) (1) ) −1 φ (F.1)
̂∆ω = ( ˆR ˆR−1 ˆR (1) (0) (1) − ˆR (2) ) −1 ˆR(1) ˆR−1 (0) φ
Ensuite, après des calculs simples, on obtient les expressions suivantes pour les quantités (s j ) j=0..2 :
s 0 = 1
(M + 1)L (K + 1)
s 1 = −
2 2
s 2 = L2 (M + 1)(2M + 1) (K + 1)(2K + 1) (K + 1)L(M + 1)
+ −
6
6
2
En remplaçant la matrice de covariance estimée par son espérance et en utilisant les notations précédentes
dans (F.2), on obtient l’expression du filtre spatial à l’instant t :
ŵ S (t) = ŵ 0 + t̂∆ω = (s 2 − ts 1 )
(s 2 − s 2 φ
1
Ensuite, choisissant d’analyser le SINR à la case distance l, on obtient :
⎛
Ŵ = ⎜
⎝
ŵ S (l)
ŵ S (L + l)
.
ŵ S ((M − 1)L + l)
En utilisant (F.2) et (F.3), on obtient l’expression du SINR : SINR = |ŴH Φ| 2
SINR =
∣
∣φ H φ ∑ M
φ H φ ∑ M
m=1
⎞
⎟
⎠
(
s2 −ls 1 −(m−1)Ls 1
m=1 s 2 −s 2 1
( ) 2
s2 −ls 1 −(m−1)Ls 1
s 2 −s 2 1
)∣ ∣∣
2
Ŵ H RŴ :
Finalement, après quelques manipulations algébriques, on obtient l’expression (7.19) pour le SINR normalisé
(ρ =
SINR
Φ H R −1 Φ ).
(F.2)
(F.3)