TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

152 Preuve de Théorème 1
est prouvé. Comme Sm−1 m−i peut être étendu à un sous-espace Sm−i m,0 de dimension (m − i) de Cm , après
transformation de w m−1 en vecteurs 1 w m = (wm−1 T ,0)T de C m de sorte que
on obtient d’après le principe d’inclusion :
w H m−1 A m−1w m−1
w H m−1 B m−1w m−1
= wH m A mw m
w H m B mw m
,
λ i+1 (A m ,B m ) ≤
min
S m−i
m,0
max
Sm,0
m−i
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H mB m w m
= min
S m−i
m−1
max
Sm−1
m−i
w m−1 ≠ 0
w H m−1 A m−1w m−1
w H m−1 B m−1w m−1
= λ i (A m−1 ,B m−1 )
et l’inégalité gauche de Théorème 1 est prouvée. L’inégalité droite se démontre de la même manière à
partir de [88, 2.22 p.74]
λ m−i (A m ,B m ) = sup
D m
pour toute matrice D m de dimension m × i.
inf
D H m B mw m = 0
w m ≠ 0
w H mA m w m
w H m B mw m
1 On considère ici les sous-matrices associées aux premières m − 1 lignes et colonnes de A m et B m. L’extension à des
sous-matrices principales quelconques associées aux mêmes m − 1 lignes et colonnes s’en déduit directement, en utilisant les
vecteurs associés w m.