TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

56 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande
effectuée dans la section précédente peut donc s’appliquer, conduisant à une expression des puissances
de signal et de bruit sur chaque sous-bande à partir desquelles le SINR peut être calculé. Tout d’abord,
on étudie le cas d’une décomposition en sous-bandes par Transformée de Fourier Discrète (TFD). Puis,
on s’intéresse au cas d’une décomposition en sous-bandes par utilisation d’un banc de filtre sélectif en
fréquence.
3.5.1 Décomposition par TFD
Expression des matrices de covariance spatio-fréquentielles
On note M le nombre de sous-bandes en lequel les données sont décomposées par TFD et T la
période d’échantillonnage temporel. Ensuite, on appelle f max la fréquence maximale dans la bande et on
suppose que l’échantillonnage spatial s’effectue avec une distance intercapteur minimale (donc égale à
c
2f max
) afin d’éviter toute ambiguïté spatiale. Puis, on introduit Y = [y0 TyT 1 · · ·yT M−1 ]T les données spatiofréquentielles
où (y m ) m=0..M−1 sont les données spatiales sur la fréquence m. La matrice de covariance
spatio-fréquentielle des données est E{YY H } dont les blocs sont les matrices E{y m yl H }. Ensuite, notons
e mk = e
−j2π
mk
M les éléments de la transformation par TFD et :
⎡
e m = ⎢
⎣
1
e j2π m M
.
m(M−1)
j2π
e M
On introduit également la matrice T m = [ e m0 I N e m1 I N
]
... e mM−1 I N où IN est la matrice identité
de taille (N × N). Avec ces notations, on a :
⎤
⎥
⎦ .
E{y m y H l } = T m (R S,M + R M )T H l
où R S,M et R M sont les matrices de covariance spatio-temporelles respectives du signal utile et des
interférences plus bruit. Elles sont de dimension NM × NM. En raison de la stationnarité des processus,
ces matrices sont bloc-Toeplitz et peuvent s’écrire sous la forme :
⎡
⎤
R 0 R H 1 · · · R H M−1
. R .. . .. 1 R
H M−2
⎢
⎣
.
. ..
⎥
(3.31)
. ⎦
R M−1 R M−2 ... R 0
où
et
R m =
∫ B
2
− B 2
σ 2 S
B φ(θ S,f 0 + f)φ(θ S ,f 0 + f) H e −i2πmfT df
∫ B [
2 σ
2
]
R m = J
− B B φ(θ J,f 0 +f)φ(θ J ,f 0 +f) H + σ2 n
B I e −i2πmfT df
2
avec m = 0,...,M − 1, pour ¯R S,M et ¯R M respectivement. On en déduit que [39] :
∫ B
E{y m yl H 2
}= [ σ2 S
− B B φ S(f 0 +f)φ S (f 0 +f) H + σ2 J
B φ J(f 0 +f)φ J (f 0 +f) H ]a(f,m − l)df +δ(m − l)MσnI 2 N
2
avec
a(f,m) = ∣ ∣ e
H
m e(f) ∣ ∣ 2 , m = 0,...,M − 1 (3.32)