TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

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Distribution asymptotique des valeurs propres généralisées de matrices Multi-niveaux Toeplitz
Bloc Toeplitz
Lemme 1
Soit {A n P
} et {B n P
} des séquences de matrices asymptotiquement équivalentes multi-niveaux de dimension
n 1 n 2 ...n P ×n 1 n 2 ...n P et de valeurs propres respectives λ k (A n P
) et λ k (B n P
) pour k = 0...(n 1 n 2 ...n P −
1). Alors, pour tout entier positif s
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
ou encore lorsque l’une des deux limites existe,
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
(λ s k
n 1 n 2 ...n (An P
) − λ s k (Bn P
)) = 0
P
k=0
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
λ s k
n 1 n 2 ...n (An P
) =
P
k=0
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
λ s k
n 1 n 2 ...n (Bn P
).
P
Preuve
Soit D n P def = A n P
− B n P
= {d k,j }. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à Tr(D n P
), on a
|Tr(D n P
)| 2 =
∣
n 1 n 2 ...n P −1
∑
k=0
d k,k
∣ ∣∣∣∣
2
n 1 n 2
∑...n P −1
≤ n 1 n 2 ...n P
k=0
k=0
|d k,k | 2 ≤ (n 1 n 2 ...n P ) 2 |D n P
| 2
d’où on déduit
1
lim Tr(D n P
) = 0
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞ n 1 n 2 ...n P
comme les matrices A n P
et B n P
sont asymptotiquement équivalentes. Finalement, en remarquant que
on obtient
n 1 n 2 ...n P −1
∑
k=0
lim
n 1 ,n 2 ,...,n P →∞
(λ k (A n P
) − λ k (B n P
)) = Tr(D n P
),
n 1 n 2
1 ∑...n P −1
(λ k (A n P
) − λ k (B n P
)) = 0.
n 1 n 2 ...n P
k=0
Ensuite, en suivant les étapes de la preuve donnée dans [47, Th. 2], on complète la démonstration pour
tout entier positif s.
A partir de maintenant, on considère uniquement des matrices MTBT Hermitiennes, pour lesquelles
a −i1 ,−i 2 ,...,−i P
= a ∗ i 1 ,i 2 ,...,i P
ce qui est équivalent à avoir une transformée de Fourier réelle a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ) =
∑i 1 ,i 2 ,...,i P
a i1 ,i 2 ,...,i P
e −j P P
p=1 ωpip .
Pour construire une séquence de matrices MCBC qui sont équivalentes asymptotiquement multiniveaux
à {A n P
} et dont les valeurs propres sont les échantillons de a(ω 1 ,ω 2 ,...,ω P ), on définit la séquence
c n P
m 1 ,m 2 ,...,m P
(a) def =
n
1 ∑ 1 −1
n 1 n 2 ...n P
n∑
2 −1
k 1 =0 k 2 =0
n∑
P −1
...
k P =0
a(2π k 1
,2π k 2
,...,2π k P
)e j2π P P mpkp
p=1 np
(5.2)
n 1 n 2 n P
et {C n P
(a)}, la séquence de matrices MCBC 1 indicée par {c i1 ,i 2 ,...,i P
(a)}. On note que C n P
(a) peut s’écrire
de façon plus compacte sous la forme
C n P
(a) = U H n P
∆ nP (a)U nP (5.3)
où U nP est défini comme dans (5.1) et ∆ nP (a) est la matrice diagonale de dimension n 1 n 2 ...n P ×n 1 n 2 ...n P
et d’éléments a(2π k 1
n 1
,2π k 2
n 2
,...,2π k P
n P
), rangés par ordre alphabétique. On peut maintenant affirmer le
lemme suivant :
1 La structure matricielle MCBC se démontre facilement en remarquant que la séquence définie selon 5.2 est périodique.