TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

28 Introduction
Fig. 2.1: Equivalence entre les algorithmes DFP et GSC
où (ˆ.) représente une quantité estimée et où ˆλ n,n=1..N et û n,n=1..N représentent respectivement les valeurs
et vecteurs propres de la matrice de covariance de bruit estimée. Lorsque la matrice de covariance est idéale,
on a l’égalité λ n = λ min pour n supérieur à la dimension du sous-espace des interférences et donc le terme
soustrait au vecteur directionnel appartient à ce sous-espace. Par contre, lorsque des erreurs d’estimation
apparaissent, on a ˆλ n ≠ ˆλ min . Par conséquent, un vecteur appartenant au sous-espace de bruit thermique
est soustrait au vecteur de focalisation. Cela a pour conséquence de déformer le diagramme antibrouillé
[17]. Ajouter une surcharge diagonale permet alors de diminuer l’importance de ce phénomène. En effet,
les coefficients des vecteurs de bruit thermique deviennent proportionnels à :
( ˆλn−ˆλ min
ˆλ n+δ
)
≪
( ) ˆλn−ˆλ min
ˆλ n
lorsque δ ≫ ˆλ n . En pratique, on choisit une valeur de surcharge diagonale très supérieure au niveau de
bruit thermique mais si possible très inférieure aux valeurs propres associées aux interférences. Ainsi, on
se place dans le cas précédent, sans dégrader la rejection des interférences.
2.4.2 Méthodes de réduction de rang
L’algorithme MVDR consiste à rechercher un vecteur dans un espace de dimension N pour l’approche
directe ou N − 1 pour l’approche indirecte. Les méthodes de réduction de rang ont pour objectif de
réduire la dimension de l’espace dans laquelle s’effectue l’optimisation. Les vecteurs de base du nouvel
espace peuvent être prédéfinis (non adaptatifs), fonctions des données (adaptatifs) et fonctions de la
direction de focalisation (dépendants du signal utile).
Avant de nous intéresser aux méthodes de réduction de rang, nous rappelons l’équivalence entre la
formulation directe et la formulation indirecte du filtrage MVDR, utile pour la compréhension de la suite.
Filtrage MVDR : approche directe ou approche indirecte
Le problème du minimum de variance sous contrainte directionnelle est un problème d’optimisation
sous contrainte. Il est cependant équivalent à un problème d’optimisation sans contrainte lorsqu’une
transformation sur les données est appliquée afin de se ramener à un problème d’annulation de bruit par
filtrage de Wiener. Les deux schémas de Fig.2.1 sont ainsi équivalents. Dans la littérature, la forme directe
est nommée DFP (Direct Form Processor) et la forme indirecte GSC (Generalized Sidelobe Canceller).
Etudions maintenant l’équivalence entre les deux approches en montrant que les solutions aux deux
problèmes sont identiques. Tout d’abord, rappelons que l’application d’une transformation inversible à
des données ne change pas la solution d’un problème MVDR. Par conséquent cette dernière peut s’écrire
sous la forme :
w MVDR =
T(TH RT) −1 T H φ S
φ H S T(TH RT) −1 T H φ S
(2.11)