TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÃ PARIS 6 SpÃ©cialitÃ© ...

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50 Robustesse de la formation de faisceaux bande étroite par rapport à la largeur de bande 0 −0.1 −0.2 −0.3 B/f 0 =0.03 r (dB) −0.4 −0.5 −0.6 B/f 0 =0.05 −0.7 −0.8 −0.9 −1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 u = sin(θ ) S S Fig. 3.4: Rapports de SINR r exact (3.10)(—) et approché (3.21)(- -) pour différentes bandes fractionnées, en fonction de la DOA de la source utile. 3.4.4 Cas d’une source d’interférence vue dans le lobe principal Comme nous l’avons détaillé dans les paragraphes précédents, le SINR peut être approximé dans le cas d’une source d’interférence vue dans le lobe principal par σ 2 S φH S ˜R −1 φ S après insertion de (3.18) dans (3.17). Après une double application du lemme d’inversion matricielle, on peut écrire : ∣ φ H S φ J,2 ∣ ∣ 2 ∣ φ H S φ J,1 ∣ ∣ 2 φ H ˜R S −1 φ S = N σn 2 − σnβ 4 − σnα 4 ∣ ∣ φ H S φ J,2 2 ∣ ∣ ∣φ H J,2 φ J,1 2 − σnβ 8 2 α + 2 σ 6 nβα Re[(φH S φ J,2 )(φ H J,1φ S )(φ H J,2φ J,1 )] avec β = 2 σ 2 J + N , α = β − |φH J,1 φ J,2| 2 σn 2 σn 4β et φ H S φ J,1 = e −j(N−1)x sin(Nx 1 1) sin(x 1 ) φ H S φ J,2 = e −j(N−1)x sin(Nx 2 2) sin(x 2 ) φ H −j2(N−1)∆x sin(2N∆x) J,2φ J,1 = e sin(2∆x)
3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 51 0 −2 −4 −6 −8 r (dB) −10 −12 −14 −16 −18 exact approche −20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 u = sin(θ ) S S Fig. 3.5: Rapports de SINR r exact (3.10) et approché (3.25) en fonction de la DOA de la source utile. où x 1 x 2 = x 0 + ∆x = x 0 − ∆x x 0 = π 2 (u S − u J ) ∆x = π 2 ∆f f 0 u J . (3.22) Ensuite, après un développement limité sous l’hypothèse N ≫ 1 et ∆f f 0 ≪ 1 sous la contrainte N ∆f f 0 ≪ 1, et σ2 J σ 2 n ≫ 1, on peut écrire pour x 0 ≠ 0 avec { ( φ H ˜R S −1 φ S ≈ φ H S R−1 φ S − b2 3σ 2 ) J ∆x2 4a N 3 σn 2σ2 J ∆x2 + 3σn 4 a = sin2 (Nx 0 ) sin 2 (x 0 ) b = Nsin(2Nx 0) sin 2 (x 0 − sin2 (Nx 0 )sin(2x 0 ) ) sin 4 (x 0 . ) On en déduit une expression approchée du critère proposé : ( r ≈ 1 − b 2 4a 3σ 2 J ∆x2 N 3 σ 2 n σ2 J ∆x2 +3σ 4 n ) (3.23) (3.24) φ H S R−1 φ S . (3.25) Pour valider cette dernière expression, on compare maintenant en Fig.3.5 la relation approchée (3.25) avec la relation exacte (3.10) en fonction de la DOA de la source utile. La bande fractionnée est égale à B f 0 = 0.1. On observe que lorsque la source utile a une DOA dans le voisinage de celle de la source d’interférence, les pertes en SINR augmentent jusqu’à une position de source utile proche de celle de la source d’interférence. Ensuite, à partir de cette position jusqu’à la DOA de la source d’interférence, les
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