TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

112 Filtrage spatial non stationnaire sur radar à antenne tournante
avec {wS m} m=1..M
les filtres spatiaux sur les M récurrences. Comme la variation angulaire dûe à la rotation
est faible, on néglige la perte en SINR résultant de la désadaptation du vecteur directionnel spatial φ
(avec ‖φ‖ 2 = N). Ainsi, on écrira :
⎛ ⎞
φ T (1)φ
⎜ ⎟
Φ = ⎝ . ⎠
φ T (M)φ
avec φ T (m) représentant le déphasage dûe à l’effet Doppler, que l’antenne soit en rotation ou non. De
plus, on omettra d’écrire la puissance du signal utile dans les expressions, comme cette dernière disparaît
dans les deux normalisations.
7.3.2 Description des algorithmes ESMI
Description de l’algorithme ESMI standard
Dans notre contexte, la matrice de covariance spatiale varie dans le temps, c’est à dire : R S = R S (t) =
E { x t x H }
t . L’idée d’Hayward [78] a consisté à écrire le filtre spatial sous la forme : wS (t) = w 0 + t∆w.
Dans ce cas, le problème MVDR s’écrit :
min
(w 0 ,∆w)/w(t) H c t=1
où différents vecteurs de contrainte c t sont proposés dans [78]. Avec ˜x t
def
=
une contrainte associée à c t , (7.17) devient :
min
˜w/ ˜w H˜c=1
E
{ ∣∣(w0
+ t∆w) H x t
∣ ∣
2 } (7.17)
E
{ ∣∣
˜w H˜x t
∣ ∣
2 } .
( ) (
xt
, ˜w def w0
=
tx t ∆w
)
, et ˜c
L’implémentation de cette minimisation standard est ensuite réalisée par une implémentation SMI, donnant
naissance à l’algorithme ESMI :
ˆ˜w ∝ ˆR −1˜c (7.18)
où ˆR =
( )
ˆR(0) ˆR(1)
avec
ˆR ˆR (j) =
(1)
ˆR(2)
P M,K
m,k=1 tj m,k x(m) k
KM
x (m)H
k
. Différents types de contraintes peuvent être
utilisées pour ce filtre étendu. Une et plusieurs contraintes indépendantes ont été proposées dans [78].
Cependant, la plus classique
( )
consiste à imposer une contrainte sur w 0 , tout en laissant ∆w libre (cf. par
φ
exemple [80] où ˜c = ). On étudie maintenant les performances en termes de SINR cet algorithme
0
ESMI standard.
Etude de performance de l’algorithme ESMI standard
Tout d’abord, montrons que l’étude de performance faite sous des hypothèses bruit thermique seul est
également valable en présence d’un seul brouilleur vu dans les lobes secondaires. Considérons un scénario
stationnaire pour lequel R 1 = σJ 2φ Jφ H J +σ2 nI est la matrice de covariance du bruit total avec φ J le vecteur
directionnel spatial du brouilleur. Après quelques manipulations algébriques, on obtient le SINR suivant :
SINR = φ H R −1
1 φ = N σ 2 n
|φ H φ J | 2
⎛
⎝1 −
∣ φ H ∣
⎞
φ J 2
+ N 2
Cela implique que SINR ≈ N si ≪ 1, i.e., si le brouilleur est vu dans les lobes secondaires
σn
2 N 2
de l’antenne. En présence de plusieurs brouilleurs dans les lobes secondaires, une preuve analytique de
N σ2 n
σ 2 J
⎠ .