TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

7.3 Algorithme MVDR à coefficients variables dans le temps 113
L
l = 1899 M = 1 M = 100
K = 2 L
K = 200
ρ −3.65 −6.54 0 −5.71 −4.02 −3.65
Tab. 7.3: Influence des paramètres sur le rapport SINR normalisé
Fig. 7.6: Formulation GSC de l’algorithme ESMI
l’équivalence est plus difficile. Cependant, on peut montrer par simulation que le résultat précédent reste
valable.
L’analyse est effectuée en statistiques exactes où les matrices estimées ˆR (j) sont remplacées par leurs
espérances. Ainsi, on a ˆR (j) ≈ σn 2s jI avec s j = 1 ∑ M ∑ K
KM m=1 k=1 tj m,k
. Ensuite, on suppose que les données
secondaires correspondent aux derniers échantillons de chaque récurrence qui contient le nombre total de
L échantillons. Après omission de la période d’échantillonnage qui n’intervient pas dans les calculs, on a
t m,k = mL − K − 1 + k. On calcule alors en Annexe F le rapport SINR spatio-temporel normalisé (par
rapport au SINR obtenu avec une antenne immobile) pour la case distance l :
ρ =
( (
s2 − ls 1 − s M−1
) ) 2
1 L
2
((s 2 − ls 1 ) 2 − s 1 (s 2 − ls 1 )(M − 1)L + s2 1 (M−1)(2M−1)L2
6
). (7.19)
Pour illustrer cette formule, on note tout d’abord que l’on observe par simulation que le SINR ne dépend
approximativement de L et K qu’au travers du quotient L K
. Ensuite, on fixe par défaut les paramètres
l = 0, M = 10, K = 100 et L = 2000 (première colonne de Tab.7.3) et on teste dans Tab.7.3 l’influence
de chacun des paramètres (autres colonnes) tout en laissant les autres inchangés. On remarque que l et
M ont une plus forte influence sur le SINR que L et K.
Pour remédier à la perte en performance, on s’intéresse maintenant à la forme GSC [81] de l’algorithme
ESMI.
Forme GSC de l’algorithme ESMI
L’algorithme ESMI correspond à l’implémentation directe de la solution d’un problème MVDR. Mais le
problème est équivalent à un problème d’optimisation sans contrainte lorsqu’il est écrit dans sa formulation
GSC [81] représentée sur Fig.7.6. Ainsi, on appelle ˜B la matrice blocante telle que ˜B˜φ = 0. La relation
entre le filtre spatial ˜w et le filtre GSC ˜w 0 est la suivante :
˜w = ˜φ − ˜B H ˜w 0
) −1
avec ˜w 0 =
(˜B ˜R˜BH
(˜B ˜R˜φ)
. La difficulté résultant de l’utilisation de l’algorithme ESMI vient du
fait qu’il est impossible de choisir une matrice blocante ˜B telle qu’il n’y ait pas ( de)
composante du signal
0
présente dans les données auxiliaires de l’algorithme GSC. En effet, le vecteur qui est orthogonal à
φ
˜φ appartient à Vect(˜B). Ce constant suggère d’utiliser une autre contrainte, que l’on présente maintenant.