TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

3.4 Calcul d’expressions explicites de la perte en SINR 49
Après avoir effectué ces approximations préliminaires, nous sommes maintenant capables de développer
l’expression du rapport de SINR et de réaliser une analyse asymptotique de r, sous l’hypothèse d’une faible
largeur de bande fractionnée et d’un nombre élevé de capteurs. Cela nous permet d’obtenir des expressions
explicites du rapport de SINR qui pouvent servir à l’analyse de l’influence des différents paramètres du
scénario. Dans la suite, nous considérons tout d’abord le cas d’une source d’interférence dans les lobes
secondaires, pour lequel nous montrons que r peut être approché par l’expression (3.21), quelque soit
la position de la source utile. Ensuite, nous considérons le cas d’une source d’interférence dans le lobe
principal, ce qui conduit à l’expression (3.25). D’autre part, nous nous intéressons à la pire position de la
source utile par rapport à la source d’interférence (au sens du critère choisi), pour laquelle nous calculons
la valeur minimale r min de r et obtenons (3.27). Enfin, nous relions cette dernière expression à la borne
inférieure sur le rapport de SINR donnée par r lb dans (3.15).
3.4.3 Cas d’une source d’interférence vue dans les lobes secondaires
En insérant (3.18) dans (3.16) nous avons
où
φ H S ˜R S φ S = σ2 S
2
φ H S φ S,1
φ H S φ S,2
[ ∣∣φ
H
S φ S,1
∣ ∣
2
+
∣ ∣φ H
S φ S,2
∣ ∣
2 ] , (3.19)
−j(N−1)∆y sin(N∆y)
= e
sin(∆y)
j(N−1)∆y sin(N∆y)
= e
sin(∆y)
(3.20)
avec ∆y = π 2
∆f
f 0
u S . Après substitution de (3.20) dans (3.19), on obtient
φ H ˜R S S φ S = σS
2 sin 2 (N∆y)
sin 2 (∆y) .
En effectuant un développement limité sous les hypothèses ∆f
f 0
N ∆f
f 0
≪ 1, on obtient l’approximation :
( ( ) )
φ H ˜R S S φ S ≈ σSN 2 2 1 − N2 B 2
144 π2 u 2 S .
f 0
≪ 1 et N ≫ 1 mais sous la contrainte
Par conséquent, après avoir remarqué que SINR ZB ≈ Nσ2 S
σ
en présence d’une source d’interférence vue
n
2
dans les lobes secondaires, le rapport r peut être approché par :
( )
r ≈ 1 − π2 NB 2
144 u2 S . (3.21)
f 0
Ce résultat obtenu pour un réseau ALU de N capteurs espacés de d : demi-longueur d’onde par rapport à
la fréquence centrale peut s’écrire sous une forme plus générale pour pouvoir être transposable à un réseau
quelconque de distance intercapteur quelconque. En effet, puisque f 0 = 2c
d et u SNd ≈ D S (dimension de
l’antenne projetée sur la direction de l’onde incidente), (3.21) devient :
r ≈ 1 − π2
36
( ) 2 BDS
.
c
On valide maintenant le résultat précédent sur des simulations. Fig.3.4 compare le rapport exact (3.10)
à l’approché (3.21) pour deux valeurs de bande fractionnée. On observe que l’approximation donnée par
(3.21) est précise pour des faibles valeurs de bande fractionnée, sauf dans les premiers lobes secondaires.