TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

26 Introduction
2.3.2 Critère Minimum Variance Distortionless Response (MVDR)
Le critère MVDR consiste à vouloir minimiser la puissance résultante de bruit, tout en imposant une
contrainte de non distortion du signal utile 1 [15]. Plus précisément, il s’agit de minimiser la variance de
bruit :
sous la contrainte sur le filtrage de la partie utile :
E{(w H b(t)) ∗ (w H b(t))} = w H Rw
w H φ S = 1.
En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, on trouve alors l’expression du filtre optimal au
sens du critère MVDR :
w MVDR =
R−1 φ S
φ H S R−1 φ S
. (2.5)
2.3.3 Critère Minimum Mean Square Error (MMSE)
Le critère MMSE consiste à minimiser l’erreur quadratique moyenne d’estimation du signal utile s(t)
par les données filtrées y(t). L’erreur quadratique moyenne a pour expression :
E{|s(t) − y(t)| 2 } = E{|s(t) − w H x(t)| 2 }.
Le filtre optimal au sens de la MMSE est tel que l’erreur de projection du signal sur l’espace des données
doit être orthogonale aux vecteurs de ce dernier. On a donc :
E{(s(t) − w H x(t)) ∗ x(t)} = 0
d’où on déduit l’expression du filtre MMSE optimal :
Le signal utile et le bruit étant supposés décorrélés, on a :
w MMSE = E{x(t)x(t) H } −1 E{s(t) ∗ x(t)}. (2.6)
Puis, en utilisant le lemme d’inversion matricielle sur (2.4), on a :
E{s(t) ∗ x(t)} = σ 2 Sφ S . (2.7)
E{x(t)x(t) H } −1 = R −1 − σ2 S R−1 φ S φ H S R−1
1 + σ 2 S φH S R−1 φ S
. (2.8)
En insérant (2.7) et (2.8) dans (2.6), on obtient l’expression finale du filtre MMSE optimal :
w MMSE =
σ 2 S
1 + σ 2 S φH S R−1 φ S
R −1 φ S . (2.9)
1 Notons, comme dans [6, chap. 6.2] qu’avec le modèle de données considéré, ce critère est équivalent au critère de minimisation
de la variance d’un estimateur sans biais.