TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 75
Remarque : appliqués à des processus scalaires stationnaires au second ordre, Résultats 6 et 7
donnent respectivement
lim SINR(M) = max S S (f)S −1
M→∞ f∈I
IN (f)
f
avec S IN (f) = ∑ J
j=1 S j(f) + σ2 n
B
en présence d’interférences et de bruit et
4.4.4 Exemples illustratifs
lim SINR(M) = σ2 S
.
M→∞
On illustre maintenant Résultats 6 et 7 au travers de simulations numériques. On considère dans ce
paragraphe une antenne linéaire uniforme et la présence d’une unique source d’interférence où
[
]
φ(θ,f) = 1 e jπ f
fu u ... e j(N−1)π f
fu u (4.8)
avec u = sin(θ) (u S = sin(θ S ) et u J = sin(θ J ) pour les signaux utile et d’interférences respectivement)
et où f u dépend du choix de la distance inter-capteurs. Les paramètres de la simulation sont B f 0
= 0.3,
N = 16, u J = 0.3, σ 2 J = 30 dB, σ2 n = 0 dB et σ2 S = 0 dB.
Cas d’un signal d’interférence blanc
Dans ce paragraphe, on suppose que le signal d’interférence est blanc dans la bande [− B 2 ; B 2 ].
Influence de la fréquence d’échantillonnage temporel On examine maintenant l’influence de la
fréquence d’échantillonnage temporel sur le SINR spatio-temporel optimal. En Fig.4.1, on trace le SINR
spatio-temporel optimal pour deux valeurs de la période d’échantillonnage temporel, à savoir, T = 1 B et
T = 1
2B
et différentes valeurs du nombre de retards. Tout d’abord, on observe que dans les deux cas,
le SINR semble converger vers le SINR asymptotique donné par Résultat 6, bien que ce résultat ait été
seulement prouvé pour T = 1 1
B
. Cependant, on note que la convergence est plus rapide pour T =
2B
que pour T = 1 B
. Par conséquent, un suréchantillonnage par rapport à la fréquence d’échantillonnage de
Shannon permet d’améliorer les performances en terme de SINR, à nombre donné de retards. On vérifie que
des simulations numériques extensives confirment ces observations. Notons que l’influence de la fréquence
d’échantillonnage temporelle a été analysée dans [59] pour une implémentation passe bande à lignes à
retards de l’algorithme MMSE, dans le cas d’une antenne à deux capteurs. Dans cet article, l’auteur
a également remarqué l’amélioration en performance en termes de SINR résultant de l’utilisation d’un
suréchantillonnage. Ce phénomène s’interprète physiquement en remarquant que le suréchantillonnage
augmente la corrélation entre les composants des interférences, ce qui améliore leur rejection.
Influence de la fréquence d’échantillonnage spatial On examine maintenant l’influence de l’espacement
inter-capteurs égal à c
2f u
(cf. (4.8)). Pour respecter la condition d’échantillonnage de Shannon, le
paramètre f u doit être au moins égal à la fréquence maximale du signal, i.e. f u = f 0 + B 2
. Cela correspond
c
à un espacement inter-capteurs inférieur ou égal à
2(f 0 + B ).
Cependant, en pratique, l’antenne ne doit pas
2
forcément pointer dans toutes les directions de la zone visible, i.e. 90deg.≤ θ ≤ 90deg.. Par conséquent, un
plus grand espacement inter-capteurs peut être utilisé, au prix d’une réduction du domaine de détection.
En effet, le non respect de la condition d’échantillonnage de Shannon conduit à l’apparition de lobes de
réseaux à certaines fréquences. Ces derniers peuvent néanmoins être maintenus en dehors de la région
visible si le domaine de pointage de l’antenne est suffisamment limité [6, Chap. 2.5]. Ici, on analyse l’influence
de f u sur le SINR spatio-temporel asymptotique optimal. Plus précisément, on compare le choix
de f u = f 0 avec la fréquence d’échantillonnage f u = f 0 + B 2
pour laquelle la condition d’échantillonnage
σ 2 n