TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle 71
Comme cela a été démontré dans [47, 48], et ajouté au fait que, pour tout m, les valeurs propres de
B −1
m,n A m,n sont dans I ω , Théorème 2 conduit au corollaire suivant :
Corollaire 1 Pour tout entier l, les l plus petites et plus grandes valeurs propres généralisées de (A m,n ,B m,n )
sont convergentes en m et
lim λ nm−l+1(A m,n ,B m,n ) = minλ n (A(ω),B(ω))
m→∞ ω
et
lim λ l(A m,n ,B m,n ) = max λ 1(A(ω),B(ω)).
m→∞ ω
Remarque : les résultats de ce paragraphe s’appliquent naturellement dans le cas particulier de matrices
Toeplitz Hermitiennes (n = 1) générées par les spectres scalaires a(ω) = ∑ k a ke −ikω et b(ω) = ∑ k b ke −ikω .
En particulier, les deux limites du corollaire précédent se réduisent à respectivement min ω b −1 (ω)a(ω) et
max ω b −1 (ω)a(ω).
4.4 Application à la formation de faisceaux spatio-temporelle
La formation de faisceaux est utilisée dans de nombreuses applications. Elle consiste à filtrer spatialement
des signaux, grâce à un réseau de capteurs, et permet de former des trous dans la direction des
interférences tout en maintenant un gain donné dans la direction souhaitée. Habituellement, les signaux
sont bande étroite [33] et peuvent être efficacement traités par utilisation d’un filtrage spatial seul (cf. par
exemple [2]). Cependant, lorsque les signaux sont large bande, les performances de la formation de faisceaux
se dégradent (voir le chapitre précédent). Une sorte de compensation fréquentielle est requise pour
garder de bonnes performances en rejection des interférences. Cela peut se faire par des implémentations
dans le domaine temporel ou fréquentiel, dont les performances dépendent de l’environnement du signal
et des interférences [35,39,52,59]. Dans ce chapitre, on s’intéresse à une implémentation dans le domaine
temporel, par utilisation de lignes à retard (cf. par exemple [50]). Cette implémentation a été étudiée par
de nombreux auteurs au travers de simulations numériques [49–51,54] pour différents critères d’optimisation
des filtres. Cependant, à notre connaissance, peu de résultats analytiques existent dans le cas du
filtrage maximisant le SINR. De plus, les études précédentes ont été effectuées pour des antennes linéaires
ou circulaires ayant un nombre limité d’éléments (cf. par exemple [3,53,54]) parce que l’analyse avec un
nombre quelconque d’éléments est fastidieuse. A la différence des approches précédentes, notre approche
est asymptotique par rapport au nombre de retards mais peut être appliquée à des antennes quelconques
possédant un nombre fixé mais arbitraire de capteurs.
Comme dans [6], nous supposons que les signaux en sortie de chaque capteur ont été démodulés
en quadrature et que l’espacement entre les retards est inférieur ou égal à la période de Shannon 1 T =
B où B est la bande des signaux. Après le rappel de l’expression des matrices de covariance spatiotemporelles,
on montre que le SINR spatio-temporel optimal peut être interprété comme la valeur propre
généralisée maximale d’une paire de matrices bloc Toeplitz. Ensuite, en utilisant Corollaire 1, on étudie
les performances asymptotiques, en terme de SINR après formation de faisceaux spatio-temporelle, au
sens du nombre de retards. Finalement, on analyse l’influence des différents paramètres d’implémentation
et on illustre les résultats au travers d’exemples numériques.
4.4.1 Modélisation des données
Considérons un réseau composé de N capteurs. On note B la bande des signaux autour de la fréquence
porteuse f 0 . Ensuite, on considère un environnement composé d’un champ d’interférences, de bruit thermique
et d’un signal utile. Les signaux d’interférence et le bruit thermique sont modélisés par des processus
aléatoires stationnaires au second ordre, de largeur de bande non nulle, et de plus, le bruit thermique