TH`ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITÉ PARIS 6 Spécialité ...

Annexe E
Expression du signal reçu au niveau de
l’antenne
On cherche à exprimer le signal r c (t) reçu par le capteur C à l’instant t (cf. Fig.6.3). Pour cela,
introduisons les instants t 1 correspondant à l’émission par le radar du signal reçu à l’instant t au niveau
du capteur C et t 2 correspondant à l’instant de réflexion de ce même signal par la cible. Le signal reçu
par le capteur C à l’instant t est égal à :
r c (t) = βe(t 1 ).
(E.1)
où β est un coefficient d’atténuation aléatoire dû à la propagation aller-retour. Il nous faut donc maintenant
exprimer t 1 en fonction de t. Avec les notations de Fig.6.3, on a :
c(t 2 − t 1 ) = OM(t 2 )
c(t − t 2 ) = ‖OM(t 2 ) + CO(t)‖
(E.2)
Supposons maintenant que la cible est en translation uniforme avec une vitesse radiale v et est initialement
à la distance R 0 du radar. La distance OM(t) est donc égale à :
OM(t) = R 0 − vt.
(E.3)
Cherchons ensuite une expression approchée de la distance ‖OM(t 2 ) + CO(t)‖. En notant l = CO(t) la
distance du capteur C à l’origine de l’antenne O, on a :
‖OM(t 2 ) + CO(t)‖ = √ OM(t 2 ) 2 + l 2 − 2lOM(t 2 )sin(θ(t)).
(E.4)
En utilisant ensuite l’hypothèse selon laquelle la cible est très éloignée de l’antenne (i.e.
obtient en effectuant un développement limité au premier ordre de (E.4) en
l
OM(t 2 ) :
l
OM(t 2 )
≪ 1), on
‖OM(t 2 ) + CO(t)‖ = OM(t 2 ) − l sin(θ(t)) + o(l).
(E.5)
En insérant (E.3) et (E.5) dans (E.2), on obtient :
c(t 2 − t 1 ) = R 0 − vt 2
c(t − t 2 ) = R 0 − vt 2 − l sin(θ(t)) + o(l).
(E.6)
On transforme ensuite le système (E.6) pour exprimer t 1 en fonction de t 2 puis t 2 en fonction de t. On
obtient ainsi :
t 1 = ( )
c+v
c t2 − R 0
c
t 2 = c
c−v t − R 0
c−v + l
c−v sin(θ(t)) + o( l c ).